雙曲線的幾何性質(zhì)

1、高二學(xué)年高二學(xué)年 王鳳彥王鳳彥 (1) B2B1yxA2A1 0F1F2|x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b2 1關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱 -x代x、-y代yA1(-a,0 ) , A2(a,0)B1(0-b ) , B2(0,b)分別令x=0，y=0a (長半軸長) c（半焦距長）b（短半軸長) a2=b2+c2焦距與長軸長的比 e=c/a 0e0,bo)的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)12222byax即22ax 22221byax2、對稱性：、對稱性： 1）幾何法觀察雙曲線的形狀，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線既是軸對稱圖形軸對稱圖形 又是中心對稱圖形中心對稱圖形 2、對稱性：、對稱性： 2

2、）代數(shù)法代數(shù)法1）將方程的x用一x代替，方程不變，雙曲線關(guān)于 對稱2）將方程的y用一y代替，方程不變，雙曲線關(guān)于 對稱 3）將方程的x和y分別用一x和一y代替，方程不變，雙曲線關(guān)于 對稱y軸軸 x軸軸 原點(diǎn)原點(diǎn) 是雙曲線的對稱軸， 是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。坐稱軸坐稱軸原點(diǎn)原點(diǎn)雙曲線和它的對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)雙曲線和它的對稱軸有兩個(gè)交點(diǎn), 它們叫做雙曲它們叫做雙曲線的線的頂點(diǎn)頂點(diǎn). 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)線段線段A1A2叫做雙曲線的叫做雙曲線的實(shí)軸實(shí)軸 B1(0,b)、 B2(0, b) 雙曲線雙曲線 (a0,bo)的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)12222byax3.頂頂 點(diǎn)點(diǎn)A1A2

3、B1B2線段線段B1B2叫做雙曲線的叫做雙曲線的虛軸虛軸A1 (a, 0), A2 (a,0) 雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸時(shí)，與矩形的兩條對角線所在的直線逐漸接近時(shí)，與矩形的兩條對角線所在的直線逐漸接近.F2 yB1A2A1B2 0 xF1兩條直線兩條直線 y= x叫做雙曲線叫做雙曲線 的漸近線的漸近線. .ab12222byaxA1A2 B1 B2雙曲線雙曲線 (a0,bo)的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)12222byax4.漸近線漸近線XyO注注:實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做 等軸雙曲線等軸雙曲線.0yxM- 3 3 4

4、 - 4畫出下列雙曲線的圖形畫出下列雙曲線的圖形 （1） （2） x2 -y2= 4 .116922yx雙曲線雙曲線 (a0,bo)的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)12222byax5.離心率離心率雙曲線的離心率的取值范圍是雙曲線的離心率的取值范圍是 (1, +). 考察雙曲線形狀與考察雙曲線形狀與e的關(guān)系的關(guān)系：因此e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比 e = , 叫做雙曲線的離心率叫做雙曲線的離心率.ac三、請思考？三、請思考？ 我們已經(jīng)研究了焦點(diǎn)在我們已經(jīng)研究了焦點(diǎn)在

5、x軸上的雙曲軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)，那么當(dāng)焦點(diǎn)在線的幾何性質(zhì)，那么當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上的雙軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)又如何呢？曲線的幾何性質(zhì)又如何呢？ y a 或 y -aA1(0,-a ) , A2(0,a)A1(- a, 0) , A2(a, 0)a（實(shí)半軸長） c（半焦距長） b（虛半軸長） a2=c2-b2a （實(shí)半軸長） c（半焦距長）b （虛半軸長） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長的比 e=c/a e1 yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2A2A1B2 0 xF1x=ax=-ay=ay=-a B1關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱abyF2 yx oA2A1 B1B2F1

6、F2 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸漸 近線方程為近線方程為y= x 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，漸近漸近 線方程為線方程為y= xB1A2A1B2 0 xF1X=aX=-aba例例1:1:雙曲線雙曲線 9y216x2 = 144 的半實(shí)軸長是的半實(shí)軸長是 , , 半虛軸長半虛軸長 , , 焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)是是 , , 離心率為離心率為 , , 43(0, , 5) 、(0, , 5)45191622xy例例2 2：求下列雙曲線求下列雙曲線 的漸近線的漸近線 （1 1）

7、9y2-16x2=144； （2 2） 9y2-16x2= -144 . 總結(jié)總結(jié):（1）求矩形對角線所在的直線方程；）求矩形對角線所在的直線方程；解答：解答：（1）y=4x/3 ，0yb ba a （2）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將1換成換成0或直接將常數(shù)項(xiàng)換為或直接將常數(shù)項(xiàng)換為0.xy=bx/ay=-bx/a（2）y=4x/3221492454xye例 求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線方程。. 191622yx可得, 91625, 42ba求得455a由05），焦點(diǎn)為（5c得2524492c解：由1342222xy2、16x29y2 =144xy3452y82x3445若雙曲線的漸近線方程是若雙曲線的漸近線方程是 ，求離心率。，求離心率。xy43讓我們來共同回顧讓我們來共同回顧 本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容：本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容：1.用類比的方法探究了雙曲線的幾何性質(zhì)用類比的方法探究了雙曲線的幾何性質(zhì)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2 yx oA2A1 B1B2F1 F2 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a