第十一章復(fù)變函數(shù)ppt課件

1、第十一章 復(fù)變函數(shù)第一節(jié) 、 復(fù)平面第二節(jié)、復(fù)變函數(shù)第三節(jié)、解析函數(shù)第一節(jié)、復(fù)平面第一節(jié)、復(fù)平面 一、復(fù)數(shù)的概念 二、復(fù)數(shù)的各種表示、模與輻角 三、復(fù)平面上的點集與區(qū)域一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念 定義；設(shè) x,y為兩個恣意實數(shù)，稱形如x+yi 的數(shù)為復(fù)數(shù)，記為 z= x+yi ，其中 i 滿足i2 =-1，i稱為虛數(shù)單位.實數(shù)x 和 y分別稱為復(fù)數(shù)z 的實部和虛部，記為x=Rez,y=Imz. 各數(shù)集之間的關(guān)系可表示為 有理數(shù)實數(shù)無理數(shù)復(fù)數(shù)純虛數(shù)虛數(shù)非純虛數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算復(fù)數(shù)的代數(shù)運算 設(shè)復(fù)數(shù) , 定義 z1 與 z2 的四那么運算如下： 加法： 減法： 乘法： 除法： 111zxiy222

2、zxiy121212()()zzxxi yy1 21 21 21 22 1() ()zzxx yy ixy xy1111 21 22 11 2222222222222(0)zx iyxxyyxy xyizzx iyxyxy121212()()zzxxi yy復(fù)數(shù)四那么運算規(guī)律：復(fù)數(shù)四那么運算規(guī)律： 1加法交換律: (2乘法交換律 3加法結(jié)合律 4乘法結(jié)合律 5乘法對于加法的分配律 復(fù)數(shù)運算的其它結(jié)果： 1 2 3假設(shè) ，那么 Z1與 Z2至少有一個為零，反之亦然.1221zzzz1221zzzz123123() ()zzzzzz123123() ()z z zz z z1231 21 3()z

3、 zzzzzz0, 00zzz 11,1zzzz 1 20zz共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)：共軛復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)： 1 2 3 4 5 6 為實數(shù)zz1 21 2zzzz11222(0)zzzzz22Re Im zzzzRe, Im22z zz zzziz zz 例例1 化簡化簡2(23 )2ii2(2 3)4 9 1222( 5 12 )(2)10 12 29(2)(2)4 12 295iiiiiiiiii 解：例2 1 22()Re , Im3 45iizzz zzii設(shè)， 求及1 22(1 2 )(34 )234(34 )(34 )5511 2(2)( 5 )11 25 10168255 ( 5 )

4、25252525168Re, Im252516816864()()25252525125iiiiiziiiiiiiiiiiiizzzzii解：所以，二、復(fù)數(shù)的各種表示、模與輻角二、復(fù)數(shù)的各種表示、模與輻角 1.復(fù)數(shù)的幾何表示 由復(fù)數(shù)z=x+iy 的定義可知，復(fù)數(shù)是由一對有序?qū)崝?shù)(x,y) 獨一確定的，于是可建立全體復(fù)數(shù)和 平面上的全部點之間的一一對應(yīng)關(guān)系，即可以用橫坐標為x ，縱坐標為y的點 表示復(fù)數(shù) 如圖，這是一種幾何表示法，通常稱為點表示，并將點 P 與數(shù) 看作同義詞. 2.復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 還可以用起點為原點，終點為還可以用起點為原點，終點為P(x,y) 的向量的向量

5、 來表示如圖，來表示如圖， x 與與 y 分別是實部和虛部分分別是實部和虛部分. 3.復(fù)數(shù)的模與輻角 復(fù)數(shù)的模 Z0對應(yīng)的向量 的長如圖, 與實軸正方向所夾的角 ，稱為復(fù)數(shù) Z的輻角,記作argz ，即 =argz+2k , k為整數(shù) 并規(guī)定 按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負. 4.復(fù)數(shù)的的三種表示式. 復(fù)數(shù)的表示式 稱為復(fù)數(shù) 的三角表示式. 復(fù)數(shù)的表示式 稱為復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式 復(fù)數(shù)的表示式 稱為復(fù)數(shù) 的代數(shù)表示式zxiyizre(cossin )z riOP OP OP 3Arg(22 )Arg( 34 )Arg(22 )arg(22 )22arctan22(0,1,2,)24ii

6、iikkkk 例 求和解：23413Re1Im33Argan31132arg133222(cossin)233izixzyzztzizziie 例求的三 角 表 示 式 與 指 數(shù) 表 示 式解 ： 因 為，設(shè)， 則又 因 為， 位 于 第 二 象 限 ， 所 以， 于 是三、復(fù)平面上的點集與區(qū)域三、復(fù)平面上的點集與區(qū)域擴展復(fù)平面 包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴展復(fù)平面.有限復(fù)平面 不包括無窮遠點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或復(fù)平面.鄰域 平面上以 z0為心 ，0為半徑的圓： 內(nèi)部一切點z0 的集合稱為點z0的 鄰域，記為 N(z0,) . 稱集合 (z0 - , z0 + ) 為 z0 的去心

7、鄰域 記作開集 假設(shè)點集 D 的每一個點都是D 的內(nèi)點，那么稱 D 為開集.閉集假設(shè)點集D的余集為開集，那么稱 D為閉集.連通集 設(shè)是D開集，假設(shè)對D 內(nèi)恣意兩點，都可用折線銜接起來，且該折線上的點都屬D那么稱開集是連通集.區(qū)域或開區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.閉區(qū)域 開區(qū)域 連同它的邊境一同，稱為閉區(qū)域，記為 .0 x zD第二節(jié)、復(fù)變函數(shù)第二節(jié)、復(fù)變函數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)的概念一、復(fù)變函數(shù)的概念：一、復(fù)變函數(shù)的概念： 定義1 設(shè) D為給定的平面點集，假設(shè)對于D 中每一個復(fù)數(shù)z=x+iy ，按著某一確定的法那么f ，總有確定的一個或幾個復(fù)數(shù) 與之對應(yīng)，那么稱 f是定義在D上的復(fù)變函數(shù)復(fù)變數(shù)

8、是復(fù)變數(shù)Z的函數(shù)，簡稱復(fù)變函數(shù)，記作 =f(z) 其中 Z稱為自變量, 稱為因變量，點集 D 稱為函數(shù)的定義域. 例1 將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù) 化為一對二元實變函數(shù). 解 設(shè) 21wz222222,1()1121zxiy wuivwzwuivxiyxyixyuxy 代入得比較實部虛部得4042142213312 cos()sin()4433224412 cossin(0,1)22332(cossin)88552(cossin)88iiikkiikwiwi 例 計算解：因為所以即第三節(jié)、解析函數(shù)第三節(jié)、解析函數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二、解析函數(shù)的定義 三、柯西黎曼條件一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)

9、變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.導(dǎo)數(shù)的定義 定義1 設(shè)函數(shù)f(z) 在包含 z0 的某區(qū)域 D內(nèi)有定義，當(dāng)變量z 在點z0 處獲得增量 時，相應(yīng)地，函數(shù) 獲得增量 假設(shè)極限 存在，那么稱f(z) 在點 z處可導(dǎo)， 此極限值稱為f(z) 在點 z處的導(dǎo)數(shù)，記 或 ，即 z000( )()limzzf zf zzz0( )f z0zzdwdz00000()()()limzz zf zzf zdwfzdzz 如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則稱f(z)在D內(nèi)可導(dǎo)。33322200023( )()( )()limlimlim 333( ) 3xxxf zzf zzf zzzzzz zzzzzf zz例求 復(fù)

10、 變 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù)解 ： 因 為 所 以 122.(1)()0,2,3( )( )( )( )4( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )5( )0)( )( )6 ( )nnCCznznfzg zfzgzfzg zfz g zfz gzfzfz g zfz gzg zg zg zfzf 導(dǎo) 數(shù) 運 算 法 則復(fù) 變 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 (以 下 出 現(xiàn) 的 函 數(shù) 均 假 設(shè) 可 導(dǎo) ):其 中為 復(fù) 常 數(shù) ；（ ） （）其 中 為 正 整 數(shù) ；（ ）（ ）（ ）（ ）()( ),( )wzwz其 中2425224242 33242 32433(1)1

11、( )(2)2( )(0)( )5(2) 420 (2)4(1) 22 (1)22( )(1) (31)zf zzif zzzfzzizzzizzzzfzzzzz例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（），（ ）解：（1）（ ）22( )2(24) (22)( )2( )2( ) 4 2 ( ) 24(3 2)(1)4 20f zzzzfiiiiiii 解：因為所以二、解析函數(shù)的定義二、解析函數(shù)的定義 定義3 假設(shè)函數(shù) f(z)不僅在點 z0處可導(dǎo)，而且在點z0 的某鄰域內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，那么稱 f(z) 在點z0 處解析，并稱點z0 是函數(shù)的解析點；假設(shè)函數(shù) f(z) 在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，那么稱 f(z)

12、 在區(qū)域 D內(nèi)解析或稱 為區(qū)域D 內(nèi)的解析函數(shù)，區(qū)域 D 稱為 的解析區(qū)域. 假設(shè) f(z) 在點z0 處不解析，但在z0 的任一鄰域內(nèi)總有 z0 的解析點,那么稱 z0 為f(z) 的奇點.例例5 討論函數(shù)討論函數(shù) f(z)=z2的解析性的解析性. 解 由例2知，f(z)=z2 在整個復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且 ，那么由函數(shù)在某區(qū)域內(nèi) 解析的定義可知，函數(shù) f(z)=z2在整個復(fù)平面上解析。( )2fzz三、三、 柯西柯西黎曼條件黎曼條件定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)有定義，那么 在 D內(nèi)解析的充分必要條件為 在 D內(nèi)任一點 處1可微； 2滿足 上式稱為柯西黎曼條件或方程，簡稱CR條件或方程. 定理

13、函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析的充要條件為 1 在D內(nèi)延續(xù)；2 在 D 內(nèi)滿足CR條件 ， ( )( , )( , )f zu x yiv x y,uvuvxyyx ,uuvvxyxy( )( , )( , )f zu x yiv x y,uvuvxyyx 2222222226( )( )()2( , ), ( , )2( , ), ( , )2( , )( , )2 ,2( , )( , )f zzf zzxiyxyi xyu x yxyv x yxyu x yxyv x yxyu x yv x yuvuvxyxyyxu x yv x yCR 2例 討論函數(shù)的可導(dǎo)性，并求其導(dǎo)數(shù)解：由得則顯然，在復(fù)

14、平面內(nèi)和的偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，且即和處處滿足條件且處處可微，所以,f（z)=z 在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且f (z)=2z第四節(jié)、初等解析函數(shù)第四節(jié)、初等解析函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù) 二、對數(shù)函數(shù) 三、冪函數(shù) 四、三角函數(shù)一、一、 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 定義3 復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)定義為 指數(shù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)： 1指數(shù)函數(shù) ez在整個Z的有限平面內(nèi)都有定義，且處處不為零. 2ez1+z2 =ez1ez2 3指數(shù)函數(shù)是以2i 為周期的周期函數(shù) 4指數(shù)函數(shù)ez 在整個復(fù)平面上解析，且有 (ez)=ez (cossin )zx iyxeeey iy二、對數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù) 定義4 對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù).假設(shè) ，

15、那么稱 是Z的對數(shù)函數(shù)，記作 對數(shù)函數(shù)是一個多值函數(shù)，每一個Z 對應(yīng)著多個LnZ的值.假設(shè)令k=0 ，那么上式中的多值函數(shù)便成為了單值函數(shù)，那么稱這個單值函數(shù)為多值函數(shù)LnZ 的主值. 記作lnz 例1 求 .解 由于-1的模為 1，其輻角的主值為 ，所以 而 又由于 iii的模為1，而其輻角的主值為 ，所以 (0,)wzezwLnwzln( 1),Ln( 1),lnLnii和ln( 1)ln1iiLn( 1)2(21) (0, 1, 2, )ik iki k 1lnln1Ln2(2)2222(0,1,2,)iiiiikikik復(fù)變量對數(shù)函數(shù)具有與實變量對數(shù)函數(shù)同樣復(fù)變量對數(shù)函數(shù)具有與實變量對

16、數(shù)函數(shù)同樣的根本性質(zhì)：的根本性質(zhì)： 5對數(shù)函數(shù)的解析性可以證明 Lnz在除去原點與負實軸的Z平面內(nèi)解析，所以 Lnz的各個分支也在除去原點與負實軸的Z平面內(nèi)解析。Ln11 212122(1)0lnln(2)0 Lnln(21) ,(0, 1,2,)(3),Ln2,(0, 1,2,)(4)Ln()LnLn,Ln()LnLnzzzxzxzxxxikkezezki kzz zzzzzz時，三、冪函數(shù)三、冪函數(shù) 定義5 設(shè) 為恣意復(fù)常數(shù)，定義普通冪函數(shù)為 它是指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，是多值函數(shù)(因 對數(shù)函數(shù)是多值的). 冪函數(shù)的幾種特殊情形：1當(dāng) 為整數(shù)時，是與K 無關(guān)的單值函數(shù)0,n 為正整數(shù)時，

17、 f(z)=zn為Z的 次乘方， 2當(dāng) 為有理數(shù) 時為既約分數(shù)， n0 ，Ln(0)zzez2ln1,ikzewze Ln(ln2)mmmzziknnnzzee只需 n 個不同的值，即當(dāng) K 取 0,1,2,n-1時的對應(yīng)值.3當(dāng) 為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，z 有無窮多個值. 此時的 z 與根式函數(shù) 的區(qū)別 是無窮多值函數(shù).而后者的值是有限的。1nz1當(dāng)當(dāng) =n n 為正整數(shù)時，為正整數(shù)時，zn 在整個在整個復(fù)平面內(nèi)單值解析，且復(fù)平面內(nèi)單值解析，且 2當(dāng) =-nn 為正整數(shù)時， 在除原點的復(fù)平面內(nèi)解析，且 1()nnznz 1nnzz222 Ln( 1)2(21)22 21(ln12)(2)Ln222

18、3222Ln(2)333 2232( 1)( 1)(0, 1, 2,)3(0, 1, 2,)444cos()sin(),0,1,2333313,22kiik iiiii kkiiiikieeeekiieeekiieekikkii例 求解：例 求解：例 求解：所以 的三個值分別為13,122i四、三角函數(shù)四、三角函數(shù)定義7 設(shè) Z 為任一復(fù)變量，稱 與 分別為復(fù)變量Z的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，分別記為sinz 與cosz 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)：1sinz 與 cosz都是以 2為周期的周期函數(shù) 2 sinz為奇函數(shù)，cosz 為偶函數(shù)，即對恣意的Z 有 31( )()2izizf zeei1( )()2izizg zeei22121212121212sin()cos ,sincos12sin()sincoscossincos()coscossinsinzzzzzzzzzzzzzzzz4 和和 都是無界的都是無界的. 由于 可見，當(dāng) 無限增大時， 趨于無窮大，同理可知， 也是無界的.()()11co