第8章 灰色系統(tǒng)預測

1、經濟預測與決策方法第八章灰色預測模型第八章灰色預測模型1.1.什么是灰色系統(tǒng)什么是灰色系統(tǒng)一、灰色系統(tǒng)一、灰色系統(tǒng)二、灰數(shù)二、灰數(shù)某個只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)，稱為灰數(shù)。某個只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)，稱為灰數(shù)?；覕?shù)不是一個數(shù)，而是一個數(shù)集，一個數(shù)的區(qū)間，記灰數(shù)為灰數(shù)不是一個數(shù)，而是一個數(shù)集，一個數(shù)的區(qū)間，記灰數(shù)為若若 ai 在灰數(shù)在灰數(shù) 中取值中取值，則則 ai 為為 的一個可能的白化值，的一個可能的白化值，記為記為)(ia經濟預測與決策方法三、灰色系統(tǒng)理論的基本觀點三、灰色系統(tǒng)理論的基本觀點 1 1、灰色系統(tǒng)理論認為任何隨機過程都是一定幅度值范圍、灰色系統(tǒng)理論認為任何

2、隨機過程都是一定幅度值范圍、一定時區(qū)內變化的灰色量，所以隨機過程是一個灰色過程。一定時區(qū)內變化的灰色量，所以隨機過程是一個灰色過程。 在處理手法上，灰色過程是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋找在處理手法上，灰色過程是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋找數(shù)的規(guī)律，這叫數(shù)的生成。數(shù)的規(guī)律，這叫數(shù)的生成。 2 2、灰色系統(tǒng)理論認為：盡管客觀系統(tǒng)表象復雜，數(shù)據(jù)離亂，、灰色系統(tǒng)理論認為：盡管客觀系統(tǒng)表象復雜，數(shù)據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，總是有序的，對原始數(shù)據(jù)作累加處理但它總是有整體功能的，總是有序的，對原始數(shù)據(jù)作累加處理后，便出現(xiàn)了明顯的指數(shù)規(guī)律。這是由于大多數(shù)系統(tǒng)是廣義的后，便出現(xiàn)了明顯的指數(shù)規(guī)律。這是由于大多數(shù)系

3、統(tǒng)是廣義的能量系統(tǒng)，而指數(shù)規(guī)律便是能量變化的一種規(guī)律。能量系統(tǒng)，而指數(shù)規(guī)律便是能量變化的一種規(guī)律。經濟預測與決策方法2.2.生成數(shù)的主法生成數(shù)的主法隨機過程在灰色系統(tǒng)里被稱為灰色量，灰色系統(tǒng)對灰色量隨機過程在灰色系統(tǒng)里被稱為灰色量，灰色系統(tǒng)對灰色量的處理既不找概率分布，也不尋求統(tǒng)計特征，而是通過數(shù)據(jù)處的處理既不找概率分布，也不尋求統(tǒng)計特征，而是通過數(shù)據(jù)處理方法來尋找數(shù)據(jù)表現(xiàn)的規(guī)律，這種數(shù)據(jù)處理方法稱為生成法，理方法來尋找數(shù)據(jù)表現(xiàn)的規(guī)律，這種數(shù)據(jù)處理方法稱為生成法，灰色系統(tǒng)中主要有累加生成和累減生成?；疑到y(tǒng)中主要有累加生成和累減生成。一、累加生成一、累加生成記原始序列為：記原始序列為：n)(,

4、2),(,1)(0000XXXX)(,2),(,1)(1)(1)1(1nXXXX生成序列為：生成序列為：其中：其中：)() 1()(011)0()1(KXKXiXXKi經濟預測與決策方法例例10.6571.1229.53)9()8()9(929.5315.1224.40)8()7()8(824.4085.1139.28)7()6()7(739.2864. 875.19)6()5()6(675.1986. 698.12)5()4()5(598.1224. 465. 8)4() 3()4(465. 839. 326. 5) 3()2() 3(326. 598. 228. 2)2() 1 ()2(2

5、28. 2) 1 () 1 (101101101101101101101101101XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXK累計生成序列累計生成序列10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(1KX經濟預測與決策方法累減生成累減生成例例10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65. 8 ,26. 5 ,28. 2)(0KX令令K0，X1(0)=071.1229.5310.65)9()9()9(915.1224.4039.52)7()8()8(885.1139.28

6、24.40)6()7()7(764. 875.1939.28)5()6()6(686. 689.1275.19)4()5()5(524. 465. 889.12) 3()4()4(439. 326. 565. 8)2() 3() 3(398. 228. 226. 5) 1 ()2()2(228. 2028. 2)0() 1 () 1 (1011011011011011011011011011XXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXKXXXK累計生成序列累計生成序列71.12,15.12,85.11,64. 8 ,86. 6 ,24. 4 ,39. 3 ,98. 2 ,28

7、. 2)(1KX經濟預測與決策方法3.3.關聯(lián)度關聯(lián)度關聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關聯(lián)程度的方法。計算關聯(lián)關需先計算關聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關聯(lián)程度的方法。計算關聯(lián)關需先計算關聯(lián)系數(shù)。關聯(lián)系數(shù)。關聯(lián)系數(shù)計算方法：關聯(lián)系數(shù)計算方法：設參考序列為設參考序列為)() 3(),2(),1 ()(00000nXXXXKX被比較序列為被比較序列為)(),3(),2()(nXXXKXiiii關聯(lián)系數(shù)定義為：關聯(lián)系數(shù)定義為：)()(maxmaxp)()()()(maxmaxp)()(minmin)(0000KXKXKXKXKXKXKXKXKniiiii其中：其中：（1）為第）為第K點點X0與與Xi的絕對差

8、。的絕對差。)()(0KXKXi（接下頁）（接下頁）經濟預測與決策方法)()(minmin0KXKXi（3）是兩級最大差，其含義與最小差相似。）是兩級最大差，其含義與最小差相似。（4）p稱為分辨率稱為分辨率0p1，一般采取，一般采取P0.5（5）對單位不一，初值不同的序列，在計算關聯(lián)系數(shù)前應首選進行初值化，）對單位不一，初值不同的序列，在計算關聯(lián)系數(shù)前應首選進行初值化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個數(shù)據(jù)。即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個數(shù)據(jù)。2、關聯(lián)度、關聯(lián)度被比較序列與參考序列的關聯(lián)度是各類關聯(lián)系數(shù)的平均值，即被比較序列與參考序列的關聯(lián)度是各類關聯(lián)系數(shù)的平均值，即（2）為兩級最小差。其中是

9、第）為兩級最小差。其中是第一級最小差，表示在一級最小差，表示在Xi序列上找各點與序列上找各點與X0的最小差。的最小差。)()(minmin0KXKXini)()(min0KXKXi)()(minmin0KXKXi為第二級最小差，表示在各序列找出的最小差基礎上尋求所有序列中的最為第二級最小差，表示在各序列找出的最小差基礎上尋求所有序列中的最小差。小差。nKiiKnr1)(1經濟預測與決策方法例例設參考序列為設參考序列為Y0（8，8.88，16，18，24，32），），被比較序列為被比較序列為Y1（10，11.66，18.34，20，23.4，30）Y2（5，5.625，5.375，6.875，8

10、.125，8.75）求其關聯(lián)度：求其關聯(lián)度：611111)(61)(1KnKKKnr7988. 0)5294. 06360. 08180. 08714. 09445. 01 (6449. 02rr1、r2表明表明X1和和X0的關聯(lián)程度大于的關聯(lián)程度大于X2與與X0的關聯(lián)程度。的關聯(lián)程度。經濟預測與決策方法4. . GM（1.1）預測模型預測模型一、一、GMGM（1.11.1）模型）模型設時間序列設時間序列X0有幾個觀察值，有幾個觀察值，n)(,2),(,1)(0000XXXX累加生成序列累加生成序列n)(,2),(,1)(0101XXXX，生成序列，生成序列X1滿足：滿足：UaxdtdX11式

11、中式中a稱發(fā)展灰數(shù)，稱發(fā)展灰數(shù)，U稱內生控制灰數(shù)。稱內生控制灰數(shù)。設設為待估參數(shù)向量為待估參數(shù)向量ua，利用最小二乘法求解可得，利用最小二乘法求解可得YnBBBTT1)(其中其中1)() 1(2/11)3()2(2/11)2() 1 (2/1111111nXnXXXXXB)()4()3()2(0000nXXXXYnaueauXiXai) 1 () 1(01)() 1() 1(110iXiXiX經濟預測與決策方法二、模型檢驗二、模型檢驗灰色預測模型檢驗一般有殘差檢驗，關聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗?；疑A測模型檢驗一般有殘差檢驗，關聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗。1.1.殘差檢驗殘差檢驗首先按模型計算首先按模型計

12、算) 1(1iX，其次將，其次將) 1(1iX累減生成累減生成)(0iX，最后計算，最后計算原始序列原始序列)(0iX)(0iX與與的絕對殘差的絕對殘差），（niiXiXi,1,2,)()()(000及相對誤差及相對誤差), 2 , 1( ,/00ni%(i)X(i)2.2.關聯(lián)度檢驗關聯(lián)度檢驗按關聯(lián)度計算方法算出按關聯(lián)度計算方法算出 與原始序列與原始序列 的關聯(lián)系數(shù)，然后算出關聯(lián)的關聯(lián)系數(shù)，然后算出關聯(lián)度，根據(jù)經驗，當度，根據(jù)經驗，當p=0.5p=0.5時，關聯(lián)度大于時，關聯(lián)度大于0.60.6便是滿意的。便是滿意的。)(0iX)(0iX經濟預測與決策方法3.3.后驗差檢驗后驗差檢驗（1 1）

13、首先計算原始序列的平均值）首先計算原始序列的平均值（2 2）再計算原始序列的均方差）再計算原始序列的均方差（3 3）再次計算殘差的均值）再次計算殘差的均值（4 4）然后再求殘差的均方差，式中）然后再求殘差的均方差，式中（5 5）計算方差比）計算方差比（6 6）計算小誤差概率）計算小誤差概率niiXnX100)(111nSiS其中其中2001) 1 (XXS)(0i)(1)(00ini122nSS2002)(iS12SSC 1006745. 0)( SiP。01000,6745. 0,)(SePSSieii即即令令不不合合格格勉勉強強合合格格合合格格則則有有若若 好好195%65. 065. 0

14、50. 035. 0c70. 070. 080. 095. 00PSpi，小于若相關誤差，關聯(lián)度、后驗差檢驗在允許范圍之內，則可用所建模型進若相關誤差，關聯(lián)度、后驗差檢驗在允許范圍之內，則可用所建模型進行預測，否則應進行殘差修正。行預測，否則應進行殘差修正。經濟預測與決策方法例：某縣皮棉產量如表，試建立例：某縣皮棉產量如表，試建立GN(1.1)預測模型，并預測第預測模型，并預測第8期皮棉產量。期皮棉產量。序序 號號123456產量產量( (百萬擔百萬擔) )2.673.133.253.363.563.72解：令解：令X0(1)、 X0(2)、 X0(3)、 X0(4)、 X0(5)、 X0(6

15、)對立于原始序列數(shù)據(jù)對立于原始序列數(shù)據(jù)第一步，構造累加生成序列：第一步，構造累加生成序列：生成序列生成序列X1=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第二步，構造數(shù)據(jù)矩陣第二步，構造數(shù)據(jù)矩陣B和數(shù)據(jù)向量和數(shù)據(jù)向量Yn：183.17119.14173.101425.71235.41)69.1997.15(211)97.1541.12(211)41.1205.9(211)05.980.5(211)80.567.2(211)6()5(21)5()4(21)4()3(211)3()2(211)2()1 (211111111111XXXXXXXXXXBTTnXXY72. 356

16、. 326. 325. 313. 3)6()2(00，經濟預測與決策方法第三步，計算第三步，計算BTB，(BTB)-1Yn：541.5441.5446375.707183.17119.14173.101425. 71235. 41111183.1719.1473.10425. 7235. 4BBT226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0541.5441.5446375.707)(11BBT02.172836.19072. 356. 336. 325. 313. 31111183.1719.1473.10425. 7235. 4nTYB925663. 204387

17、9. 002.172836.190226382. 1094319. 0094319. 0008667. 0)(1nTTYBBB即即a=-0.043879 u=2.925663經濟預測與決策方法第四步，得出預測模型：第四步，得出預測模型：6757663457691345796au66.5656942.67(1)925663. 2043879. 00438801(1)0011.e.)(iX.XauXXdtdxi.第五步：殘差檢驗：第五步：殘差檢驗：（1）計算：）計算：69.196757.663457.69)6(668.196757.663457.69)6(597.156757.663457.69)

18、5(443.126757.663457.69)4(303. 96757.663457.69)3(278. 56757.663457.69)2(167. 26757.663457.69) 1 (0504388. 01504388. 01404388. 01304388. 01204388. 01104388. 0101eXieXieXieXieXieXieXi經濟預測與決策方法（2 2）累減生成序列：）累減生成序列：)(0iX71. 3,54. 3,40. 3,25. 3,10. 3,67. 2) 1 (71. 397.1568.19)5()6()6(54. 343.1297.15)4()5()

19、5(40. 303. 943.12) 3()4()4(25. 378. 503. 0)2() 3() 3(11. 367. 278. 5) 1 ()2()2(67. 2) 1 (0110110110110110)1(10XXXXXXXXXXXXXXXXXX原始序列原始序列72. 3,56. 3,36. 3,25. 3,13. 3,67. 20X（3）計算絕對誤差及相對誤差序列：）計算絕對誤差及相對誤差序列：絕對誤差序列絕對誤差序列00，0.02，0.04，0.02，0.01相對誤差序列相對誤差序列0/2.67100%，0.02/3.13 100%，0/3.25 100%，0.04/ 3.361

20、00%，0.02/3.56 100%，0.01/3.72 100%=0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%相對誤差小于相對誤差小于1.19%，模型精確度高。，模型精確度高。經濟預測與決策方法第六步，進行關聯(lián)度檢驗：第六步，進行關聯(lián)度檢驗：（1）計算序列）計算序列X0與與X0的絕對誤差的絕對誤差(i)：04. 001. 0 ,02. 0 ,04. 0 , 0 ,02. 0 , 0max)(max001. 0 ,02. 0 ,04. 0 , 0 ,02. 0 , 0min)(min01. 071. 372. 3)6()6()6(02. 054. 356. 3)5()5()5(04.

21、040. 336. 3)4()4()4(025. 325. 3) 3() 3() 3(02. 011. 313. 3)2()2()2(067. 267. 2) 1 () 1 () 1 (000000000000iiXXXXXXXXXXXX經濟預測與決策方法（2 2）計算關聯(lián)系數(shù)：）計算關聯(lián)系數(shù)：由于只有兩個序列，故不再尋第二級最小及最大：由于只有兩個序列，故不再尋第二級最小及最大：15.004.0004.05.0)3(50.04.005.002.004.05.0)2(104.05.0004.05.00)1()5.0,2, 1()(max)()(max)(min)(piiPiiPii（3 3）計

22、算關聯(lián)度：）計算關聯(lián)度：67.05.004.001.004.05.0)6(50.05.004.002.004.05.0)5(33.05.004.004.004.05.0)4(niinr167.0)67.05.033.015.01(61)(1r=0.67 是滿足是滿足 p=0.5 時的檢驗準則時的檢驗準則 r0.6 的。的。經濟預測與決策方法第六步，后驗差檢驗：第六步，后驗差檢驗：（1）計算）計算82. 372. 356. 336. 325. 313. 367. 2610X（2 2）計算）計算X0序列均方差：序列均方差：3671. 016)28. 372. 3()28. 313. 3()28.

23、367. 2(1)(2222001nXiXS（3 3）計算殘差的均值：）計算殘差的均值：015. 001. 002. 004. 0002. 00)(61i（4 4）計算殘差的均方差：）計算殘差的均方差：0252. 016)015. 001. 0()015. 002. 0()015. 00(1)(22222niS經濟預測與決策方法（5 5）計算）計算C C：0414. 03671. 00152. 012SSC（6 6）計算小誤差概率：）計算小誤差概率：S00.67450.36710.247635. 01005. 0 ,005. 0 ,025. 0 ,015. 0 ,005. 0 ,15. 0)(

24、01，CPSeie故故都都小小于于所所有有有較好的預測精度。有較好的預測精度。故模型故模型6757.663457.691)(04388. 01ieiX第八步，模型經檢驗合格后可用于預測，預測公式為：第八步，模型經檢驗合格后可用于預測，預測公式為：)() 1() 1(1)1(0iXiXiX本例中本例中i i=7=7 23. 46757.66e3457.696757.663457.69)7()8()8(74388. 084388. 01)1(0eXXX即該縣第八期皮棉產量為即該縣第八期皮棉產量為4.234.23百萬擔。百萬擔。經濟預測與決策方法有關建模的問題說明有關建模的問題說明（1 1）給定原始

25、序列）給定原始序列X X0 0中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建立模型，對中的數(shù)據(jù)不一定要全部用來建立模型，對原始序列的取舍不同，可得模型不同，即原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a a、u u的值不同。的值不同。（2 2）建模的數(shù)據(jù)取舍應保證建模序列等時距、相連，不得有跳）建模的數(shù)據(jù)取舍應保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。躍出現(xiàn)。（3 3）一般建模數(shù)據(jù)序列應當由最新數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構成，當）一般建模數(shù)據(jù)序列應當由最新數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構成，當再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采取兩種處理方法：一是將新信息加入原再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采取兩種處理方法：一是將新信息加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的

26、一個數(shù)據(jù)，始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個數(shù)據(jù)，再加上最新數(shù)據(jù)，所形成序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。再加上最新數(shù)據(jù)，所形成序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。經濟預測與決策方法三、三、GMGM（1.11.1）的區(qū)間預測）的區(qū)間預測設原始序列：設原始序列：母列：母列：子列：子列：)8(),2(),1(0000XXXX)8(),7(),6(),5()8(),5(),4()8(),4(),3()8(),3(),2(000040000300002000010XXXXXXXXXXXXXXXXX)()()()()()()()()()(4)1.1(403)1.1(302)1.1(201)1

27、.1(10)1.1(0lkxhXlkxhXlkxhXlkxhXlkxhXGMGMGMGMGM)(),(minmaxlkXlkX預測區(qū)間預測區(qū)間經濟預測與決策方法例：某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)如下表：例：某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)如下表：123456789X(0)(1)390.6X(0)(2)412X(0)(3)320X(0)(4)559.2X(0)(5)380.8X(0)(6)542.4X(0)(7)553X(0)(8)310X(0)(9)5611011121314151617X(0)(10)300X(0)(11)632X(0)(12)540X(0)(13)406.2X(0)(14)313.8X(0)

28、(15)576X(0)(16)587.6X(0)(17)318.5規(guī)定規(guī)定320，并認為，并認為x(0)(i) 為旱災，試作災變預測。為旱災，試作災變預測。解：給定數(shù)列為解：給定數(shù)列為),5 .318, 6 .587,576, 8 .313, 2 .406 ,540,632,300,561,310,553, 4 .542, 8 .380, 2 .559,320,412, 6 .390( )17(),16(),15(),14(),13(),12(),11(),10( ),9(),8(),7(),6(),5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0()0()0()0()

29、0()0()0()0()0()0()0()0()0(xxxxxxxxxxxxxxxxxx經濟預測與決策方法按照按照x(0)(i)320為異常值，有為異常值，有x(0)為為x(0)=(320,310,300,313.8,318.5) =(x(0)(1)， x(0)(2)， x(0)(3)， x(0)(4)， x(0)(5) =(x(0) (3)， x(0) (8)， x(0) (10)， x(0) (14)， x(0) (17)。為此，有為此，有或者寫為或者寫為P=(p(1)，p(2)， p(3)， p(4)， p(5)=(3，8，10，14，17)。將將P中數(shù)據(jù)作中數(shù)據(jù)作1次累加生成，得次累加生成，得P(1)有有41) 1 () 1 () 1 () 1 () 1 (31) 1 () 1 () 1 () 1 (21) 1 () 1 () 1