概率的基本概念

1、1 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)天津大學(xué)天津大學(xué) Yanfei Lan 蘭燕飛蘭燕飛 Tianjin University2參考教材：參考教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 盛驟謝式千潘承毅主編盛驟謝式千潘承毅主編高等教育出版社高等教育出版社3第一講第一講 概率的基本概念概率的基本概念n什么是概率論什么是概率論n隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)n隨機(jī)事件隨機(jī)事件n基本事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算基本事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算n練習(xí)練習(xí)4u確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 Certainty phenomenan 在在101325a的大氣壓下，將純凈水加熱到的大氣壓下，將純凈水加熱到100時(shí)必時(shí)必 然沸騰然沸騰n 垂

2、直上拋一重物，該重物會(huì)垂直下落垂直上拋一重物，該重物會(huì)垂直下落 u隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 Random phenomenan 擲一顆骰子，可能出現(xiàn)擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點(diǎn)點(diǎn)n 股票的價(jià)格，會(huì)出現(xiàn)上漲、下降和持平三種不同的結(jié)果股票的價(jià)格，會(huì)出現(xiàn)上漲、下降和持平三種不同的結(jié)果什么是概率論什么是概率論概率論就是研究概率論就是研究隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科5隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) Random Experimentsu 試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)在相同的條件下可重復(fù)進(jìn)行u 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前可每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在

3、試驗(yàn)之前可 以確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果以確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果u 每次試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果每次試驗(yàn)前不能準(zhǔn)確預(yù)言試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪一種結(jié)果 上拋一枚硬幣上拋一枚硬幣在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況在一條生產(chǎn)線上，檢測產(chǎn)品的等級情況 微信拼手氣搶紅包？微信拼手氣搶紅包？實(shí)例6n 在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機(jī)事件隨機(jī)事件(Random Events )，簡稱，簡稱事件事件（Events) n 隨機(jī)事件通常用大寫英文字母、等表示隨機(jī)事件通常用大寫英文字母

4、、等表示例如：在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上正面向上”是一是一 個(gè)隨機(jī)事件，可用個(gè)隨機(jī)事件，可用正面向上正面向上表示表示 擲骰子，擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為結(jié)果為2，4或或6點(diǎn)，都導(dǎo)致點(diǎn)，都導(dǎo)致“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”發(fā)生。發(fā)生。 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 Random Events7 基本事件與樣本空間基本事件與樣本空間僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件基本事件 n樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) Sample Pointn 樣本空間樣本空間 Sample Spacen 基本事件基本事件 隨機(jī)試驗(yàn)中的每

5、一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)個(gè)試驗(yàn)的一個(gè) 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) ，記作，記作 i 全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間樣本空間，記作記作即即12,n 含有多個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為含有多個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為復(fù)合事件復(fù)合事件 8=| 0 T E4: 在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命E2: 射手向一目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止射手向一目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止E3: 從四張撲克牌從四張撲克牌J,Q,K,A任意抽取兩張任意抽取兩張。E1: 擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

6、擲一顆勻質(zhì)骰子，觀察骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)=1,2,=(J,Q),(Q,A)=1，2，3，4，5，6n寫出下列試驗(yàn)的樣本空間寫出下列試驗(yàn)的樣本空間點(diǎn)數(shù)：一維離散型隨機(jī)變量點(diǎn)數(shù)：一維離散型隨機(jī)變量射擊次數(shù)：一維離散型隨機(jī)變量射擊次數(shù)：一維離散型隨機(jī)變量壽命：一維連續(xù)型隨機(jī)變量壽命：一維連續(xù)型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量9 在隨機(jī)試驗(yàn)中，在隨機(jī)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件隨機(jī)事件一般是由若干個(gè)基本事一般是由若干個(gè)基本事件組成件組成 A =出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)是由三個(gè)基本事件出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)是由三個(gè)基本事件 “出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”、“出現(xiàn)出現(xiàn)3點(diǎn)點(diǎn)” 、 “出現(xiàn)出現(xiàn)5 點(diǎn)點(diǎn)” 組合而成的組合而成的隨隨機(jī)事件機(jī)事件 A 樣樣

7、本空間本空間的任一子集的任一子集A A稱為稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件 隨機(jī)事件隨機(jī)事件（Random Events)Random Events) 例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么例如，拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)出現(xiàn)1點(diǎn)點(diǎn)”、.、“出現(xiàn)出現(xiàn)6 點(diǎn)點(diǎn)”為該試驗(yàn)為該試驗(yàn)的的基本事基本事件件 屬于事件屬于事件A的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，則稱的樣本點(diǎn)出現(xiàn)，則稱事件事件A發(fā)生發(fā)生。10特例特例必然事件必然事件Certainty Eventsn必然事件必然事件樣本空間樣本空間也是其自身的一個(gè)子集也是其自身的一個(gè)子集也是一個(gè)也是一個(gè)“隨機(jī)隨機(jī)”事件事件每次試驗(yàn)中必定有每次試驗(yàn)中必定有中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)中的

8、一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)必然發(fā)生必然發(fā)生“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”為為 必然事件。必然事件。n例例記作記作11特例特例不可能事件不可能事件Impossible Event空集空集也是樣本空間的一個(gè)子集也是樣本空間的一個(gè)子集不包含任何樣本點(diǎn)不包含任何樣本點(diǎn) n不可能事件不可能事件也是一個(gè)特殊的也是一個(gè)特殊的“隨機(jī)隨機(jī)”事件事件不可能發(fā)生不可能發(fā)生 “拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是是 不可能事件不可能事件n例例記作記作12隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲硬幣隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲硬幣Tossing a coin 擲一枚均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況擲一枚

9、均勻的硬幣，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況n試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件n隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)n樣本空間樣本空間 H：“正面向上正面向上” T ：“反面向上反面向上”=H，T13 試驗(yàn)：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況試驗(yàn)：擲一枚硬幣三次，觀察它出現(xiàn)正面或反面的情況u 隨機(jī)事件隨機(jī)事件=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTA=“正面出現(xiàn)兩次正面出現(xiàn)兩次” =HHT,HTH,THHB=“反面出現(xiàn)三次反面出現(xiàn)三次” =TTTC=“正反次數(shù)相等正反次數(shù)相等”= D=“正反次數(shù)不等正反次數(shù)不等” =14隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子隨機(jī)試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子 Rolli

10、ng two die拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)n 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)n 試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件試驗(yàn)的樣本點(diǎn)和基本事件 樣本空間樣本空間 （1，1），（），（1，2）,（1，3），（），（1，4），），（1，5），（），（1，6），），.，（，（6，1），（），（6，2），），.，（，（6，6）15u 隨機(jī)事件隨機(jī)事件試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)：拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A=“點(diǎn)數(shù)之和等于點(diǎn)數(shù)之和等于3”=（1 1，2 2），（），（2 2，1 1） B=“B=“點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之和大于11”11” =6=6，66C=“C=“點(diǎn)數(shù)之和不小于點(diǎn)數(shù)之和不小于

11、2”2”D=“D=“點(diǎn)數(shù)之和大于點(diǎn)數(shù)之和大于12”12” = = =16事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的關(guān)系與運(yùn)算 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)為其樣本空間，事件為其樣本空間，事件，A Ak k ( k =1 , 2 , 3 , . ) ( k =1 , 2 , 3 , . ) 都是都是的的子集子集事件事件事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算集合集合集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算集合之間的關(guān)系與集合的運(yùn)算17u 事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生 子事件子事件 (事件的包含事件的包含Contain ）ABBABAu 事件的樣本點(diǎn)都是事件的樣本點(diǎn)事件的樣本點(diǎn)都是事件的

12、樣本點(diǎn)例如例如拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)拋擲兩顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A=A=出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點(diǎn)點(diǎn) B=B=出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) 事件是事件的事件是事件的子事件子事件 記作記作AB18相等事件（相等事件（Equal）BAAB且A=BBA事件事件A與事件與事件B含有相同的樣本點(diǎn)含有相同的樣本點(diǎn) 例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)” 與事件與事件“出現(xiàn)出現(xiàn)2，4或或6點(diǎn)點(diǎn)”是相等事件。是相等事件。19u 事件事件A A與事件與事件B B至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生ABAB和事件和事件 Union121nniiAAAA=121niiAAAA=u

13、由事件由事件A A與事件與事件B B所有樣本點(diǎn)組成所有樣本點(diǎn)組成u 多個(gè)事件的和多個(gè)事件的和和事件和事件ABAB發(fā)生發(fā)生A發(fā)生或發(fā)生或B發(fā)生發(fā)生 20積事件積事件IntersectionBAn1iin21AAAA1iin21AAAAu 多個(gè)事件的積多個(gè)事件的積u 由事件和事件的公共樣本點(diǎn)組成由事件和事件的公共樣本點(diǎn)組成 積事件積事件ABAB發(fā)生發(fā)生 事件和事件同時(shí)發(fā)生事件和事件同時(shí)發(fā)生21互斥事件互斥事件 (互不相容事件互不相容事件) ExclusiveABu 事件事件A A與事件與事件B B不能同時(shí)發(fā)生不能同時(shí)發(fā)生u 事件事件A A與事件與事件B B沒有公共的樣本沒有公共的樣本點(diǎn)點(diǎn)事件事件A

14、與事件與事件B互斥互斥 AB= 22AAA ( )AAAA AA對立事件對立事件 Contraryu 事件事件A A不發(fā)生不發(fā)生u 是由所有不屬于是由所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的樣本點(diǎn)組成u 性質(zhì)性質(zhì)cA記作記作 23 差事件差事件 DifferenceABu 由屬于事件由屬于事件A A但不屬于事件但不屬于事件B B的樣本點(diǎn)組成的樣本點(diǎn)組成,BABA差事件差事件A-BA-B發(fā)生發(fā)生 事件事件A A發(fā)生且事件發(fā)生且事件B B不發(fā)生不發(fā)生性質(zhì)性質(zhì) ABAAB24完備事件組完備事件組121,nA AA（ ）互不相容122nAAA （ ）12,nA AA完備事件組完備事件組 1A2A3A4A25概率論概

15、率論 集合論集合論樣本空間（必然事件）樣本空間（必然事件） 全集全集不可能事件不可能事件 空集空集子事件子事件 ABB 子集子集ABB和事件和事件 ABB 并集并集ABB積事件積事件 ABB 交集交集ABB 差事件差事件 A-B-B 差集差集A-B-B 對立事件對立事件 補(bǔ)集補(bǔ)集 AA26事件之間的運(yùn)算律事件之間的運(yùn)算律u 交換律交換律 ABBAABBAu 結(jié)合律結(jié)合律 ()()A BCAB Cu 分配律分配律 ()()()A BCABAC)CA)(BA()BC(Au 摩根律摩根律 BAABBABA27某射手向目標(biāo)射擊三次，用某射手向目標(biāo)射擊三次，用 表示第表示第 次次擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)iAi試

16、用試用 及其運(yùn)算符表示下列事件及其運(yùn)算符表示下列事件：1,2,3,i iA（1 1）三次都擊中目標(biāo)：三次都擊中目標(biāo)： 123A A A（2 2）至少有一次擊中目標(biāo)至少有一次擊中目標(biāo)： 123AAA（3 3）恰好有兩次擊中目標(biāo)：恰好有兩次擊中目標(biāo)： 123123123A A AA A AA A A（4 4）最多擊中一次：最多擊中一次： 121323A AA AA A（5 5）至少有一次沒有擊中目標(biāo)：至少有一次沒有擊中目標(biāo)： 123123AAAA A A（6 6）三次都沒有擊中目標(biāo)：三次都沒有擊中目標(biāo)： 123123A A AAAA復(fù)合事件的表示復(fù)合事件的表示281. A,B,C1. A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試為同一樣