信號(hào)與系統(tǒng)_7.1-7.4PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)_7.1-7.4第1頁(yè)/共50頁(yè)第7章 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析、引 言 離散時(shí)間系統(tǒng)的研究歷史17世紀(jì)經(jīng)典數(shù)值分析技術(shù)-奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)20世紀(jì)40和50年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)研究得到了 重大發(fā)展60年代以后計(jì)算機(jī)發(fā)展、FFT算法的出現(xiàn)，超大 規(guī)模集成電路制造成功第2頁(yè)/共50頁(yè) 60年代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用是離散時(shí)間系統(tǒng)的理論研究和實(shí)踐進(jìn)入一個(gè)新階段。 1965年庫(kù)利（)和圖基()發(fā)明FFT快速傅里葉變換。 同時(shí)，超大規(guī)模集成電路研制的進(jìn)展使得體積小、重量輕、成本低的離散時(shí)間系統(tǒng)得以實(shí)現(xiàn)。20世紀(jì)未，數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)迅速發(fā)展。 通信、雷達(dá)、控制、航空與航天、遙感、聲

2、納、生物醫(yī)學(xué)、地震學(xué)、核物理學(xué)、微電子學(xué)。用數(shù)字信號(hào)處理的觀(guān)點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)和分析各種問(wèn)題。第3頁(yè)/共50頁(yè)軟件無(wú)線(xiàn)電連續(xù)、離散“混合系統(tǒng)”充分?jǐn)?shù)字化的無(wú)線(xiàn)電通信系統(tǒng)可看成一臺(tái)帶有天線(xiàn)的超級(jí)計(jì)算機(jī)通用化、模塊化、兼容性、靈活性好顯示了數(shù)字化技術(shù)的特征，也證明了連續(xù)系 統(tǒng)的必要性第4頁(yè)/共50頁(yè)離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的對(duì)比離散時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一維、二維和多維系統(tǒng)無(wú)此優(yōu)點(diǎn)一維系統(tǒng)精度高、可靠性好、重量體積小、便于大規(guī)模集成利用可編程元件技術(shù)、存儲(chǔ)器設(shè)備靈活通用工作頻率不能太高工作頻率可以很高無(wú)此優(yōu)點(diǎn)第5頁(yè)/共50頁(yè)第6頁(yè)/共50頁(yè)。k)(kTfk)(kf第7頁(yè)/共50頁(yè))(kfn012345234

3、1,04( )0,nnf nn其它( )0,1,2,3,4f n第8頁(yè)/共50頁(yè)2離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算1、相加( )( )( )z nx ny n1,3,5,7 2,4,6,8 1,3,7,11,6,82、相乘 ( )( ) ( )z nx n y n1,3,5,7 2,4,6,80,0,10,28,0,0信號(hào)的加減與相乘：信號(hào)的加減與相乘：第9頁(yè)/共50頁(yè)自變量的變換：自變量的變換：)()(banxnx1、平移（位移）：a=1, b為一整數(shù)為一整數(shù):n)(nx2012113 45n)2( nx2012113 456 7n)2( nx201211343)()(bnxnx2、反褶：a=-1，b=0

4、:n)( nx 2012113 443( )()x nxn第10頁(yè)/共50頁(yè) 離散時(shí)間信號(hào)沒(méi)有與連續(xù)時(shí)間信號(hào)一樣意義的展縮運(yùn)算，但當(dāng)離散時(shí)間信號(hào)沒(méi)有與連續(xù)時(shí)間信號(hào)一樣意義的展縮運(yùn)算，但當(dāng)a為一整數(shù)時(shí)，也相當(dāng)于時(shí)域壓縮為一整數(shù)時(shí)，也相當(dāng)于時(shí)域壓縮:)()(anxnxn)(nx201 2113 45323n)()2(nynx2012113 4 53231an)(nz201 2113 4 5323)(202)(2nxknknyn稱(chēng)作減采樣稱(chēng)作減采樣稱(chēng)作稱(chēng)作y(n)的時(shí)域擴(kuò)展，也是的時(shí)域擴(kuò)展，也是x(n)的抽選的抽選3、展縮（尺度變換）：b=0b=0第11頁(yè)/共50頁(yè)1、差分 （對(duì)應(yīng)微分運(yùn)算）( )(

5、1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n前向差分 后向差分2、累加運(yùn)算 （對(duì)應(yīng)積分運(yùn)算）( )( )nkz nx k條件:收斂信號(hào)的差分與累加：信號(hào)的差分與累加：第12頁(yè)/共50頁(yè)kkfE2)(102)(1NkkfNP第13頁(yè)/共50頁(yè)二、典型離散時(shí)間信號(hào)：二、典型離散時(shí)間信號(hào)：1 1、單位樣值序列：、單位樣值序列： 函數(shù)式函數(shù)式：)(n0001)(nnn 波形圖波形圖： 位移位移：00001)(nnnnnnn01)(nn01)(0nn0n第14頁(yè)/共50頁(yè) 抽樣性：抽樣性：)()0()()(nxnnx)()()()(000nnnxnnnx 設(shè)有序列設(shè)有序列x(n) x

6、(n) ，則有，則有)0()()0()()(xnxnnxnn)()()()()(0000nxnnnxnnnxnnn1030n)0(x3)3(xn)(nx01 234512( )( ) ()mx nx mnm第15頁(yè)/共50頁(yè)2 2、單位階躍序列：、單位階躍序列： 函數(shù)式函數(shù)式：)(nu0001)(nnnu 波形圖波形圖： 位移位移：00001)(nnnnnnun01)(nu12 34n01) 2( nu12 34n01) 2( nu12 3412第16頁(yè)/共50頁(yè) 單位階躍序列的單邊特性：?jiǎn)挝浑A躍序列的單邊特性：000)()()(nnnxnunx與單位樣值序列的關(guān)系：與單位樣值序列的關(guān)系：)(

7、) 1()(nnunun)(nx01 234512n01)(nu12 3 4 5n)()(nunx01 2345120()( )knku nn01)(nu12 3 45n01) 1( nu12 3 45n01)(n第17頁(yè)/共50頁(yè) 矩形窗序列：矩形窗序列：)()()(NnununRNotherNnnxnRnxN00)()()(n01) 4( nu1234 5n01)(nu12 3 4 5n01)(4nR12 3 45n0)(nx12 3 4512n01)(4nR12 3 4521n0)()(4nRnx12 3 4512第18頁(yè)/共50頁(yè)3 3、斜變序列、斜變序列( )( )x nnu n0n

8、1( )nu n2521340t( )tu t類(lèi)似可給出以下序列：23( ),( ),( )kn u n n u nn u n第19頁(yè)/共50頁(yè)4 4、指數(shù)序列：、指數(shù)序列： 函數(shù)式函數(shù)式：nanx)( 式中底式中底a a為常數(shù)，其取值不同為常數(shù)，其取值不同，序列變化的形態(tài)不同。如圖中，序列變化的形態(tài)不同。如圖中所示：所示：n01)(nx12 341210an01)(nx12341210a n01)(nx12 34121an01)(nx1234121a第20頁(yè)/共50頁(yè) 單邊指數(shù)序列：?jiǎn)芜呏笖?shù)序列： 函數(shù)式函數(shù)式：)()(nuanxn 其波形如圖中所示：其波形如圖中所示：n01)(nx12 3

9、41210an01)(nx12341210a n01)(nx12 34121an01)(nx1234121a第21頁(yè)/共50頁(yè)5 5、正余弦序列：、正余弦序列： 函數(shù)式函數(shù)式：)2cos(sin)(nAnAnx 上式中上式中稱(chēng)為數(shù)字角頻率稱(chēng)為數(shù)字角頻率，相對(duì)的，前邊，相對(duì)的，前邊稱(chēng)為模擬稱(chēng)為模擬角頻率。角頻率。n)(nx0 1 2 3 456 78 911011 與連續(xù)時(shí)間的正余弦信號(hào)不同，離散時(shí)間正余弦序列與連續(xù)時(shí)間的正余弦信號(hào)不同，離散時(shí)間正余弦序列不一定是周期的。不一定是周期的。N2第22頁(yè)/共50頁(yè) 設(shè)正余弦序列是由連續(xù)時(shí)間正余弦信號(hào)等間隔抽樣得設(shè)正余弦序列是由連續(xù)時(shí)間正余弦信號(hào)等間隔

10、抽樣得到的，抽樣間隔為：到的，抽樣間隔為：T Ts s 。于是。于是snTttAnx|sin)()sin(snTA)sin( nAsTTTs 2n)(nx0 1 2 3 456 78 911011At)(txsTsT2TsTAsT3sT4sT5sT6sT7sT9sT10sT11第23頁(yè)/共50頁(yè)2NTTs 當(dāng)當(dāng) 為整數(shù)，序列以為整數(shù)，序列以N N為周期的；為周期的；2kNTTs 當(dāng)當(dāng) 為有理數(shù)為有理數(shù)(N/k(N/k是既約分?jǐn)?shù)），序列是既約分?jǐn)?shù)），序列 依然以依然以N N為周期的；為周期的；n)(nx0 1 2 3 456 78 911011At)(txsTsT2TsTAsT3sT4sT5sT

11、6sT7sT9sT10sT112sTT 當(dāng)當(dāng) 為無(wú)理數(shù)，序列為非周期的。為無(wú)理數(shù)，序列為非周期的。第24頁(yè)/共50頁(yè) 與連續(xù)時(shí)間正余弦信號(hào)類(lèi)似，離散時(shí)間序列的歐拉公與連續(xù)時(shí)間正余弦信號(hào)類(lèi)似，離散時(shí)間序列的歐拉公式為：式為：)(21cosnjnjeen)(21sinnjnjeejnnjnenjsincosnjnenjsincos 與連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析類(lèi)似，正余弦序列在離散與連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析類(lèi)似，正余弦序列在離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析時(shí)，是最常用的基本信號(hào)。時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析時(shí)，是最常用的基本信號(hào)。第25頁(yè)/共50頁(yè)、離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 離散時(shí)間系統(tǒng)( )x n( )y n 按離散時(shí)間系

12、統(tǒng)的性能，可劃分為線(xiàn)性、非線(xiàn)性、時(shí)不變、時(shí)變等各種類(lèi)型。本書(shū)討論線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)。1定義 一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 是一個(gè)序列，響應(yīng) 為另一序列。( )x n( )y n第26頁(yè)/共50頁(yè)2線(xiàn)性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)1( )x n1( )y n系統(tǒng)2( )x n2( )y n系統(tǒng)1 122( )( )c x nc x n1122( )( )c y nc y n第27頁(yè)/共50頁(yè)時(shí)不變系統(tǒng)( )x n( )y n系統(tǒng)()x nN()y nN0n( )x nN0n()x nN系統(tǒng)0n( )y n0n()y nN系統(tǒng)第28頁(yè)/共50頁(yè)3離散時(shí)間系統(tǒng)的表示方法連續(xù)：微積分方程離散：差分方程22(

13、 )( )( ),df td f tf tdtdt線(xiàn)性組合( ), (1), (2), (1), (2),x nx nx nx nx n線(xiàn)性組合連續(xù)：微分（積分）、乘系數(shù)、相加三種基本運(yùn)算離散：延時(shí)（移位）、乘系數(shù)、相加三種基本運(yùn)算連續(xù)：基本電路元件離散：基本單元：延時(shí)（移位）元件、乘法器、相加器, ,R L C第29頁(yè)/共50頁(yè)( )x n( )y n1E單位延時(shí)( )x n( )y n( )( )x ny n相加( )y na( )ay n乘系數(shù)( )y n( )ay na( )y n( )ay na（ ）T D1z第30頁(yè)/共50頁(yè)如圖所示離散時(shí)間系統(tǒng)寫(xiě)出描述系統(tǒng)工作的差分方程。( )(

14、 )(1)y nx nay n( )(1)( )y nay nx n常系數(shù)線(xiàn)性差分方程（遞歸關(guān)系式）一階后向差分可用迭代法求解：( )x n( )y n1Ea第31頁(yè)/共50頁(yè)從 時(shí)刻考慮：0n (0)( 1)(0)yayx(1)(0)(1)yayx(2)(1)(2)yayx( )x n( )y na1E(1)y n(1)( )( )y nx nay n1( ) (1)( )y ny nx na一階前向差分 可以看出，以上兩個(gè)系統(tǒng)并沒(méi)有本質(zhì)的差別，僅輸出信號(hào)后者較前者延時(shí)一位。第32頁(yè)/共50頁(yè) 階線(xiàn)性常系數(shù)差分方程一般形式N01( )(1)()Na y na y na y nN01( )(1

15、)()Mb x nb x nb x nM階數(shù)：未知序列變量序號(hào)的最高值與最低值之差線(xiàn)性： 及 都只有一次冪且不存在 它們的相乘項(xiàng)。00()()NMkmkma y nkb x nm()y nk()x nm常系數(shù)：指 ， 是常數(shù)，決定系統(tǒng)的特征。 kamb第33頁(yè)/共50頁(yè)01( )(1)()Na y na y na y nN01( )(1)()Mb x nb x nb x nM 后向形式的差分方程（數(shù)字濾波器描述中常用）：各未知序列之序號(hào)自 以遞減方式給出。 前向形式的差分方程（狀態(tài)變量分析法中常用） ：各未知序列之序號(hào)自 以遞增方式給出。nn01( )(1)()Na y na y na y n

16、N01( )(1)()Mb x nb x nb x nM第34頁(yè)/共50頁(yè)設(shè)系統(tǒng)方程為：設(shè)系統(tǒng)方程為：引入變量引入變量q(n)，以上方程可表示為：，以上方程可表示為：)()2() 1()(21nxnqanqanq) 1()()(10nqbnqbny) 1()()2() 1()(1021nxbnxbnyanyanyD2a1a)(nx)2( nq)(nqD0b1b)(ny 在以后的學(xué)習(xí)中，還會(huì)遇到許多系統(tǒng)的描述方法。在以后的學(xué)習(xí)中，還會(huì)遇到許多系統(tǒng)的描述方法。第35頁(yè)/共50頁(yè)4. 微分方程 差分方程 微分方程與差分方程在形式上有相似之處。( )( )( )dy tAy tx tdt(1)( )(

17、 )y nay nx n在一定的條件下，可以相互轉(zhuǎn)化。 對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù) ，在 各點(diǎn)取樣，且令時(shí)間間隔足夠小，則( )y ttnT(1)()( )ynTy nTdy tdtT因此微分方程可寫(xiě)為：第36頁(yè)/共50頁(yè)(1)( )( )( )y ny nAy nx nT(1)(1) ( )( )y nAT y nTx n例：如圖所示低通濾波網(wǎng)絡(luò)( )x tRC( )y t( )( )( )dy tRCy tx tdt對(duì)激勵(lì)信號(hào) 抽樣得 （ 足夠?。? )x t()x nT( )x nT簡(jiǎn)寫(xiě)為 ，系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型可近似為第37頁(yè)/共50頁(yè)整理得(1)1( )( )TTy ny nx nRCRC( )x tR

18、C( )y t( )x t( )x n( )y t( )y n (1)( )( )( )RCy ny ny nx nT第38頁(yè)/共50頁(yè)例：如圖所示電阻梯形網(wǎng)絡(luò)，各支路電阻都為 ，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)地的電壓為 。且已知兩邊界節(jié)點(diǎn)電壓為 ， 。試寫(xiě)出求第 個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓 的差分方程。R( ),0,1,2,v n nN(0)vE()0v N n( )v nERRRRRRRRRRRR(0)v(1)v(2)v(3)v(4)v(1)v N ()v N解：對(duì)任意節(jié)點(diǎn) ，運(yùn)用 可寫(xiě)出1nKCL第39頁(yè)/共50頁(yè)( )3 (1)(2)0v nv nv n二階后向差分方程借助邊界條件，可求得 。( )v n(2)(1)(1

19、)(1)( )v nv nv nv nv nRRRRRR(2)v n(1)v n( )v n第40頁(yè)/共50頁(yè): z經(jīng)典法：齊次解特解時(shí)域分析零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)變換域分析變換法、常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的求解第41頁(yè)/共50頁(yè)f(k)= f(k+1)- f(k)一階前向差分：f(k)= f(k) - f(k -1)一階后向差分：2= = =-f(k)f(k) - f(k -1)f(k) -f(k -1)f(k) -2f(k 1)+ f(k 2)二階差分：n-10mm-10 y(k)+ay(k -1)+a y(k -n) =b f(k)+bf(k -1) + b y(k -m)差分運(yùn)算具有線(xiàn)性性質(zhì)：

20、第42頁(yè)/共50頁(yè)此方法我們稱(chēng)之為此方法我們稱(chēng)之為迭代法迭代法。2 u( )kk( )3 ( -1)2 ( -2)( )y ky ky kf k( )y k(0)0, (1)2,yy( )f k 對(duì)于k=2k=2,將已知初始值y(0)=0,y(1)=2y(0)=0,y(1)=2代入上式,得:( )-3 ( -1)-2 ( -2) ( )y ky ky kf k(2) - 3 (1) - 2 (0) (2) - 2yyyf類(lèi)似的,依次迭代可得(3)3 (2)2 (1)(3)10(4)3 (3)2 (2)(4)10yyyfyyyf 解解: :將差分方程中除 以外的各項(xiàng)都移到等號(hào)右端.得 : :(

21、)y k第43頁(yè)/共50頁(yè) 二、二、 常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的經(jīng)典解法常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的經(jīng)典解法 差分方程的經(jīng)典解法與微分方程的解法相似，是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)在差分方程的經(jīng)典解法與微分方程的解法相似，是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)在n0時(shí)刻的一組邊界條件時(shí)刻的一組邊界條件-初始條件，將系統(tǒng)的輸出分解為初始條件，將系統(tǒng)的輸出分解為自由響應(yīng)自由響應(yīng)與與受迫響應(yīng)受迫響應(yīng)求解的：求解的：)()()(nynynyph例如：設(shè)有系統(tǒng)方程：例如：設(shè)有系統(tǒng)方程：)()2(61) 1(65)(nxnynyny 且已知且已知)()41()(nunxn1) 1 ()0( yy 試求試求n0時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)y(n)。

22、第44頁(yè)/共50頁(yè)解：解： 求一個(gè)方程的齊次通解。求一個(gè)方程的齊次通解。 解差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程：解差分方程對(duì)應(yīng)的特征方程：061652 得到方程的特征根：得到方程的特征根：211312 所以設(shè)系統(tǒng)的齊次通解為：所以設(shè)系統(tǒng)的齊次通解為：nnhAAny)31()21()(21 求方程對(duì)應(yīng)自由項(xiàng)的特解，即受迫響應(yīng)。求方程對(duì)應(yīng)自由項(xiàng)的特解，即受迫響應(yīng)。 方程的自由項(xiàng)當(dāng)方程的自由項(xiàng)當(dāng)n0時(shí)時(shí)nnx)41()( 于是令于是令n0時(shí)特解時(shí)特解npBny)41()(第45頁(yè)/共50頁(yè) 將其代入方程左邊，并使方程平衡將其代入方程左邊，并使方程平衡nnnnBBB)41()41(61)41(65)41(21 即即nnB)41()41)(616620