平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)處理20101016

1、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)處理及其在醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中的應(yīng)用 之前，我們所討論的信號(hào)都是確定性的信號(hào)，從現(xiàn)在開始，我們討論隨機(jī)信號(hào)。隨機(jī)信號(hào)和確定性信號(hào)不同，它不能通過(guò)一個(gè)確切的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述，也不能準(zhǔn)確地予以預(yù)測(cè)，因此，對(duì)隨機(jī)信號(hào)一般只能在統(tǒng)計(jì)的意義上來(lái)研究。這就決定了其分析與處理的方法和確定性信號(hào)相比有著較大的差異。 在工程和生活實(shí)際中，隨機(jī)信號(hào)的例子很多，各種無(wú)線電系統(tǒng)及電子裝置中的噪聲與干擾，建筑物所承受的風(fēng)載，船在航行是所受到的波浪沖擊，許多生物醫(yī)學(xué)信號(hào)（如心電圖（ECG）、腦電圖（EEG）、肌電圖（EMG）、心音圖（PCG）等，以及我們天天都在發(fā)出的語(yǔ)音信號(hào)等都是隨機(jī)的，因此，研究隨機(jī)信號(hào)的分析與處

2、理方法有著重要的理論意義與實(shí)際意義。 例：若隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為 則稱x在（a，b）區(qū)間呈均勻分布，區(qū)間（a，b）可以處在x軸上任意位置，求該均勻分布隨機(jī)變量的均值和方差1,( )0axbP xba其他解：1( )()2bxaxmxp x dxdxabba22222( )111()()212xxxbaExmxmp x dxxabdxbaba5.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)實(shí)際中的信號(hào)主要是隨機(jī)信號(hào)。表面看來(lái)，隨機(jī)信號(hào)似乎沒有規(guī)律，其實(shí)它還是有規(guī)律的，不過(guò)這種規(guī)律性是通過(guò)大量觀測(cè)實(shí)驗(yàn)所得到的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，因此對(duì)這類信號(hào)的處理需要揭示它們的統(tǒng)計(jì)特性，要用到不少概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，這里簡(jiǎn)要地介紹隨即

3、過(guò)程的一般概念極其統(tǒng)計(jì)特性。 一隨機(jī)變量、隨機(jī)過(guò)程與概率函數(shù) （一）隨機(jī)變量與隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)變量 x 表示一個(gè)變量能隨機(jī)的取種種數(shù)值，而對(duì)應(yīng)于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所取的每一數(shù)值或某一范圍內(nèi)的值，有相應(yīng)的概率，例如打靶，設(shè)表示射靶一次命中環(huán)數(shù)的結(jié)果，其相對(duì)應(yīng)的可能值有0，1，2，10等11個(gè)數(shù)，顯然，在打靶之前，這些數(shù)雖然是已知的，但我們無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)言隨機(jī)變量將取什么值，而只能知道它將以怎樣的概率分別取這些值。 隨機(jī)信號(hào)都是一次觀測(cè)的結(jié)果。莫爾斯電碼 實(shí)際上隨機(jī)過(guò)程的每一次觀測(cè)都是不一樣的。 隨機(jī)過(guò)程可定義為一個(gè)函數(shù)，它在每次觀測(cè)的結(jié)果中以一定的概率取某一確定的，但事先未知的時(shí)間函數(shù)。 （一）概率分布函數(shù)和

4、概率密度函數(shù) 研究隨機(jī)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性不僅需要知道它的一切可能值，還必須找出與其相應(yīng)概率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，概率函數(shù)從幅度域來(lái)描述隨機(jī)函數(shù)的有關(guān)統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 分布函數(shù)：以隨機(jī)變量X小于某個(gè)可能值x的概率P（X x）來(lái)建立隨機(jī)變量的幅度分布規(guī)律，顯然，P（X x）是x的一個(gè)函數(shù)，即 P(x)=P（X x） 所以P(x)稱為隨機(jī)變量概率累積分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。在任一區(qū)間(x 1, x 2 ) 范圍的概率為 ，可以表示為：12()P xXx1221()()()P xXxP XxP Xx為了描述連續(xù)型隨機(jī)變量取各個(gè)可能值的概率的大小，求落入x與x+x之間的概率更方便些： ()P xXxx 概率密度函數(shù)：

5、表示隨機(jī)變量落入極小區(qū)間x的平均概率簡(jiǎn)稱概率密度。概率密度滿足三個(gè)特性 ： 0()( )( )limxP xXxxdP xP xxdx ( )0( )1( )( )( )baP xP x dxP bP aP x dx則概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系為：可得： ()( )xP XxP t dt1122()( )xxP xXxP x dxx2x1x0 p（x）P（X0.01，所以 、 不能完全分開，只能在波形的頂部能看出是兩個(gè)分量。 圖c是利用Welch平均法求出的周期圖，共分四段，每段32個(gè)點(diǎn)，沒有疊加，使用了漢明窗，這使譜密度變的較平滑，但分辨率降低。 圖d亦是用Welch方法求出的平均周期圖，每級(jí)

6、32個(gè)點(diǎn)，疊合16點(diǎn)，使用了漢明窗。譜變得更加光滑，分辨能力和圖c大體一致。 圖e是用自相關(guān)法求出的功率譜，M=32，沒加窗。 圖f 是只用自相關(guān)法求出的功率譜，M=16，使用了漢明窗。顯然，自相關(guān)函數(shù)的延遲M越小，譜密度變得越平滑。 5.6 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 前幾節(jié)討論了平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)和功率譜的估計(jì)。所謂平穩(wěn)信號(hào)，其主要特點(diǎn)是信號(hào)的均值，方差及均方差都不隨時(shí)間變換，其自相關(guān)函數(shù)僅和兩個(gè)觀察時(shí)間的差有關(guān)，而和觀察的具體位置無(wú)關(guān)。 平穩(wěn)信號(hào)是人們多數(shù)研究信號(hào)的一個(gè)簡(jiǎn)化的、而且也是較為合理的假設(shè)，自然界中的大部分隨機(jī)信號(hào)都可以看作是平穩(wěn)的。 但是，在實(shí)際中的卻存在非平穩(wěn)信號(hào)，這

7、一類信號(hào)的均值及方差在隨時(shí)間而變化，其自相關(guān)函數(shù)也和觀察的具體時(shí)間位置有關(guān)，而且信號(hào)的頻率也會(huì)隨時(shí)間而變化。如語(yǔ)音、腦電及其它含有較多突變分量的信號(hào)。 非平穩(wěn)信號(hào)又稱為時(shí)變信號(hào)。對(duì)這一類信號(hào)，其一階、二階統(tǒng)計(jì)量和功率譜的估計(jì)顯然不能簡(jiǎn)單地使用平穩(wěn)信號(hào)的估計(jì)方法，研究和處理中必須考慮它們的時(shí)變因素。 對(duì)平穩(wěn)信號(hào)，前述的經(jīng)典功率譜估計(jì)方法都是建立在傳統(tǒng)的傅里葉變換的基礎(chǔ)上的。估計(jì)中本省就存在著問題（如窗函數(shù)產(chǎn)生泄露問題）。其實(shí)，傅里葉變換在信號(hào)的分析中自身就存在著不足，即缺乏時(shí)頻定位功能。 傅里葉變換的表達(dá)式為：()( )( ), 5.6.111( )()(), 5.6.222j tj tj tj

8、 tX jx t edtx t ex tX jedX je 00()X j0( )x t()X j()X j()X j( )x t顯然，對(duì)給定的某一個(gè)頻率（如 ），為求得該頻率處的傅里葉變換 ，式對(duì)t的積分需要從 到 ，即需要整個(gè) x(t) 的“知識(shí)”。反之，如果我們要求某一時(shí)刻如 ，由式，我們需要將 對(duì) 從 到 做積分，同時(shí)也需要 整個(gè)的“知識(shí)”。實(shí)際上，由式所得到的 是信號(hào) 在整個(gè)積分區(qū)間的時(shí)間范圍內(nèi)所具有的頻率特征的平均表示。因此，我們?nèi)绻胫涝谀骋粋€(gè)特定時(shí)間（如 ）所對(duì)應(yīng)的頻率是多少，或?qū)δ骋粋€(gè)特定頻率（如 ）所對(duì)應(yīng)的時(shí)間是多少，那么傅立葉變換則無(wú)能為力。也就是說(shuō)，傅立葉變換不具有時(shí)

9、間和頻率的“定位”能力。傅立葉變換的這一缺點(diǎn)對(duì)統(tǒng)計(jì)特性不斷隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)來(lái)說(shuō)，使用起來(lái)更加困難。0t 0因此，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，人們希望能有一種分析方法，把時(shí)域分析和頻域分析結(jié)合起來(lái)，即找到一個(gè)二維函數(shù)，它既能反映該信號(hào)的頻率內(nèi)容，也能反映出該頻率內(nèi)容隨時(shí)間變化的規(guī)律。研究這一問題的信號(hào)處理的理論稱為信號(hào)的聯(lián)合時(shí)頻分布。其中最重要的是以Cohen類為代表的雙線性時(shí)頻分布。()1( ,)()() ( , )222jtuxC tx ux ugedud d N2N1，321 。x(n)的波形如圖a所示，x(n)的傅立葉變換的幅頻特性 如圖b所示。 ()jX e從圖中我們只能看到在1，2，3處有三

10、個(gè)頻率分量，并知道這三個(gè)頻率分量的大小，但看不出x(n)在何時(shí)有1，何時(shí)有2，3，即傅立葉變換無(wú)時(shí)間定位功能。 (a) (b)0100200300400500600-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810102030405060708090100020406080100120圖c是用STFT求出的x(n)的聯(lián)合時(shí)頻分布后，再求幅平方得到的譜圖。該圖是三維圖形的二維投影，一個(gè)軸是時(shí)間，一個(gè)軸是頻率。由該圖可以清楚地看到x(n)的時(shí)間與頻率的關(guān)系。 TimeFrequency02040608010012014016018000.050.10.150.20.25(c)2(

11、)exp()exp()x nj njn n 例2、令該信號(hào)稱作線性調(diào)頻信號(hào)，也稱作Chirp信號(hào)，其頻率與時(shí)間n成正比，00.511.522.5x 105-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81t無(wú)論從時(shí)域還是頻域，都很難看出該信號(hào)的調(diào)制類型及其他特點(diǎn)。050010001500200025003000350040004500020406080100120140160180200從x(n)的時(shí)頻分布圖上，我們可以看出，該信號(hào)的頻率與時(shí)間成正比，而且信號(hào)的能量主要集中在時(shí)間-頻率平面的一條曲線上。TimeFrequencyQuadractic Chip: start at

12、100Hz and cross 200Hz at t=1sec00.511.522.533.5050100150200250300350400450500Matlab的specgram.m文件可用來(lái)求出一個(gè)信號(hào)的頻譜，并繪出其三維圖形。t=-2:0.001:2; % +/-2 secs 1kHz sample ratey=chirp(t,100,1,200,q); % Start 100Hz, cross 200Hz at t=1sec specgram(y,128,1E3,128,120); % Display the spectrogramhelp specgramSPECGRAM Spectrogram using a Short-Time Fourier Transform (STFT).B = SPECGRAM(A) ca