第0章矢量分析

1、第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )第第0 0章章 矢量分析（附錄一）矢量分析（附錄一）第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )本章主要內(nèi)容框架本章主要內(nèi)容框架標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)梯度梯度矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)通量通量散度散度環(huán)量環(huán)量旋度旋度等值面等值面矢量線矢量線無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)亥亥姆姆霍霍茲茲定定理理第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) ) 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)交點(diǎn)來(lái)來(lái)確定。確定。1 正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系 在電磁場(chǎng)與波理論中，在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正

2、交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )1. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體

3、積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee,點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee

4、,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓柱面圓柱面）0zz （平面平面）),(000zP第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2

5、rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系0（半平面半平面）0（圓錐面圓錐面）0rr （球面球面）),(000rPrddrsin第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )4. 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsin

6、coscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系z(mì)eeree第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )1. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個(gè)一個(gè)只用大小只用大小描述的物理量。描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA矢量矢量：一個(gè)一個(gè)既有大小又有方向既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字特性的物理量，常

7、用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示2 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )（1）矢量的）矢量的加減加減法法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBA

8、eBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )（2 2）標(biāo)量乘矢量標(biāo)量乘矢量（3）矢量的）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxB

9、ABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/A BAB第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )（4）矢量的）矢量的矢積（叉積）矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若

10、 ，則，則第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) ) 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 例如例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。 例如例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁

11、場(chǎng)等。 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)，反之為，反之為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 、),(tzyxu),(tzyxF 分布著某種物理量的分布著某種物理量的空間區(qū)域空間區(qū)域稱為物理量的稱為物理量的場(chǎng)場(chǎng)。從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：3.3.標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)、),(zyxu),(zyxF靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )本章主要內(nèi)容框架本章主要內(nèi)容框架標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)方向?qū)?shù)方向

12、導(dǎo)數(shù)梯度梯度矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)通量通量散度散度環(huán)量環(huán)量旋度旋度等值面等值面矢量線矢量線無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)亥亥姆姆霍霍茲茲定定理理第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )1.1.標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面等值面等值面: : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。)(),(常數(shù)Czyx等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等

13、值面互不相交。例如例如：電位場(chǎng)中電位場(chǎng)中等位面等位面，溫度場(chǎng)中的，溫度場(chǎng)中的等溫面等溫面 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )等高線等高線 等值線等值線: : 在平行平面標(biāo)量場(chǎng)中，函數(shù)在平行平面標(biāo)量場(chǎng)中，函數(shù) 具有相同函數(shù)值具有相同函數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲線。的點(diǎn)所組成的曲線。y)(x,)(),(常數(shù)Cyx等值線方程等值線方程：課堂提問課堂提問：常見的等值線有哪些？：常見的等值線有哪些？地面氣象圖的等溫線地面氣象圖的等溫線地形圖中的等高線地形圖中的等高線右

14、圖中的等高線密集處表示什么意思？右圖中的等高線密集處表示什么意思？有什么意義？有什么意義？第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )2. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。l0l 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)沿沿 方向增加；方向增加； l0l 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)沿沿 方向減??；方向減?。?l0l 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)沿沿 方向無(wú)變化。方向無(wú)變化。 P0lPl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)P0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。概念概念： 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscos

15、cos、 coscoscoszyxl coscoscoszyxleeee方向的單位矢量方向的單位矢量l第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？glegl-1-),cos( ，),cos()coscoscos()(llzyxzyxeggegeeezeyexel 00),cos(legl ，當(dāng)兩者方向一致，當(dāng)兩者方向一致， 方向?qū)?shù)最大方向?qū)?shù)最大當(dāng)兩者方向垂直，當(dāng)兩者方向垂直， 方向?qū)?shù)為零方向?qū)?shù)為零當(dāng)兩者方向相反，當(dāng)兩者方向相反， 方向?qū)?shù)最小方向?qū)?shù)最小glegl ，1)

16、,cos(zeyexegzyx 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zeeez 1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 sin11rererer球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)eyexezyx 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3. 梯度梯度意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念：定義矢量函數(shù)定義矢量函數(shù) 為標(biāo)量場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng) 的梯度，記作的梯度，記作 g gradzeyexezyx grad引入哈密頓算子引入哈密頓算子 ，故，故 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )標(biāo)量場(chǎng)的梯度是標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)矢

17、量場(chǎng)，它在空間某，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) ) 作業(yè)作業(yè)1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一

18、標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：場(chǎng)。試求： (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ooo60cos45cos60coszyxleeee第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )本章主要內(nèi)容框架本章主要內(nèi)容框架標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)方

19、向?qū)?shù)方向?qū)?shù)梯度梯度矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)通量通量散度散度環(huán)量環(huán)量旋度旋度等值面等值面矢量線矢量線無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)亥亥姆姆霍霍茲茲定定理理第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )如何推出？如何推出？意義意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。dzdydxyxzAAA矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。的方向。矢量線矢量線O drlrdl1.1.矢量線矢量線0 l dAA直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中：線元線元例如例如：靜電

20、場(chǎng)中靜電場(chǎng)中電力線電力線，流速場(chǎng)中的，流速場(chǎng)中的流線流線xyzxyzxyzyzxzxyeeeA dlAAAdxdydzeA dzAdyeAdxA dzeA dyA dx第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )閉合曲面的面元閉合曲面的面元開曲面的上的面元開曲面的上的面元2.2.矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 面元矢量面元矢量 ：面積很小的有向曲面：面積很小的有向曲面),(zyxASdne面積元矢量面積元矢量Sd描述矢量場(chǎng)的分布情況描述矢量場(chǎng)的分布情況dSeSdn 確定繞行確定繞行l(wèi)的方向后，的方向后，沿繞行方向按右手螺沿繞行方向按右手螺旋旋拇指方向拇指方向閉合曲面的閉合曲面的外法線方向

21、外法線方向面積元的法向單位矢量面積元的法向單位矢量第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )通量的概念通量的概念 在矢量場(chǎng)中，取一曲面在矢量場(chǎng)中，取一曲面S S，那么矢量場(chǎng)，那么矢量場(chǎng)A A在在S S上的面積分為上的面積分為以以流速場(chǎng)流速場(chǎng)為例為例, ,說(shuō)明通量的意義：說(shuō)明通量的意義：0 0 流出多于流入，流出多于流入，S S內(nèi)有生成流體的內(nèi)有生成流體的“源源”流出小于流入，流出小于流入，S S內(nèi)有吸收流體的內(nèi)有吸收流體的“洞洞”流出等于流入，流出等于流入，S S內(nèi)無(wú)源或者正源等于負(fù)源內(nèi)無(wú)源或者正源等于負(fù)源SzyxSdxdyAdxdzAdydzASdASSdv0第第0 0章章 矢

22、量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的閉合曲面的通量通量從從宏觀上宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通通量與量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源源的關(guān)系。的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義0 通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0 有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )3.3.矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任一點(diǎn)

23、（小為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任一點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用用極限極限方法得到這一關(guān)系：方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的稱為矢量場(chǎng)的散度散度。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在任一點(diǎn)任一點(diǎn)附近的附近的通量特性通量特性VSdzyxAzyxASV),(lim),(0第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系22111()(sin)()sin

24、sinrAr AAArrrr ()zAAAAz 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系yzxAAAAxyz 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )散度定理（又稱高斯定理，散度定理（又稱高斯定理，奧氏公式奧氏公式）體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度

25、的體積分，即度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA VSdV dASA 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)量如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)量恒為零恒為零，稱該矢量場(chǎng)為，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)無(wú)旋場(chǎng)旋場(chǎng)，又稱為，又稱為保守場(chǎng)保守場(chǎng)。環(huán)量的概念環(huán)量的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線閉合曲線L 的的環(huán)量環(huán)量定義為該矢量對(duì)閉合曲線定義為該矢量對(duì)閉合曲線L的線積分，即的線積分，即q 如

26、果矢量場(chǎng)對(duì)于任意閉合曲線的環(huán)量如果矢量場(chǎng)對(duì)于任意閉合曲線的環(huán)量均不為零均不為零，稱該矢量場(chǎng)，稱該矢量場(chǎng)為為有旋矢量場(chǎng)有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源旋渦源。q 電流是磁場(chǎng)的旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。l dzyxAL),(4. 矢量場(chǎng)的環(huán)量矢量場(chǎng)的環(huán)量第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) ) 如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應(yīng)

27、線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )SLMAne環(huán)量面密度環(huán)量面密度n001rotlimdlimLSSAAlSdSdS稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)量面密度環(huán)量面密度。ne特點(diǎn)特點(diǎn)：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的面元方向處的面元方向 有關(guān)。有關(guān)。ne 過點(diǎn)過點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為L(zhǎng)，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0 時(shí)，極限時(shí)，極

28、限ne矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在任一點(diǎn)任一點(diǎn)附近的附近的環(huán)量環(huán)量狀態(tài)狀態(tài)思考：思考：矢量場(chǎng)的方向與面元矢量方向呈不同關(guān)系時(shí)，環(huán)量面矢量場(chǎng)的方向與面元矢量方向呈不同關(guān)系時(shí)，環(huán)量面密度的大小也不一樣。何時(shí)達(dá)到最大值呢？密度的大小也不一樣。何時(shí)達(dá)到最大值呢？第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) ) 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的環(huán)量環(huán)量給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。矢量場(chǎng)的旋度。 5. 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度 概念概念：矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在 M

29、 點(diǎn)處的旋度為一矢量，點(diǎn)處的旋度為一矢量， 其其數(shù)值數(shù)值為為M 點(diǎn)的環(huán)量密度點(diǎn)的環(huán)量密度最大值最大值， 其其方向方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)為取得環(huán)量密度最大值時(shí)面元矢量的方向面元矢量的方向，即，即物理意義物理意義：旋渦源密度矢量旋渦源密度矢量性質(zhì)性質(zhì)： nnmaxrotrotAAeA nnrot AeA任一方向的環(huán)量面密度等于任一方向的環(huán)量面密度等于該點(diǎn)的的旋度在面元矢量方該點(diǎn)的的旋度在面元矢量方向的向的投影投影第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )yyzzxxxyzAAAAAAAeeeyzzxxy旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式: :1zzeeeAzAAA 2sin1sinsi

30、nrrerereArrArArA 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xyzxyzeeexyzAAA第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)()0A ()0 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )ddCSAlAS斯托克斯定理斯托克斯定理此定理在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。此定理在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任

31、意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)量等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即量等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即nd()dnrot AAe Snd()d() dAeAS S第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) ) 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)就好像就好像海平面海平面 散度散度就是海底的就是海底的泉眼泉眼，形容矢量場(chǎng)向外發(fā)散程度，這種，形容矢量場(chǎng)向外發(fā)散程度，這種程度用一個(gè)數(shù)值就可以描述，故它是個(gè)程度用一個(gè)數(shù)值就可以描述，故它是個(gè)標(biāo)量標(biāo)量 旋度旋度就是海底的就是海底的漩渦漩渦，形容矢量場(chǎng)偏離程度的，這種程，形容矢量場(chǎng)偏離程度的，這種程度得用大小和偏離角度（方向偏離程度）來(lái)描述，故它度得用大小和偏離角度（方向偏離程度）來(lái)描述，故它是個(gè)是個(gè)矢量矢量4. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 第第0 0章章 矢量分析矢量分析( (附錄一附錄一) )0,0FF