概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課本第七章7-3

1、第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念一、區(qū)間估計(jì)的基本概念二、典型例題二、典型例題三、小結(jié)三、小結(jié)一、區(qū)間估計(jì)的基本概念一、區(qū)間估計(jì)的基本概念1. 置信區(qū)間的定義置信區(qū)間的定義,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX滿足滿足和和確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對(duì)于給定值對(duì)于給定值數(shù)數(shù)含有一個(gè)未知參含有一個(gè)未知參的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)總體設(shè)總體.1 ,1 ,1) ,(為置信度為置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間分別稱為置信度為分別稱為置信度為

2、和和間間的置信區(qū)的置信區(qū)的置信度為的置信度為是是則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明.) ,( , , , 是隨機(jī)的是隨機(jī)的而區(qū)間而區(qū)間沒有隨機(jī)性沒有隨機(jī)性但它是一個(gè)常數(shù)但它是一個(gè)常數(shù)雖然未知雖然未知被估計(jì)的參數(shù)被估計(jì)的參數(shù) : 1),(),(2121的本質(zhì)是的本質(zhì)是因此定義中下表達(dá)式因此定義中下表達(dá)式 nnXXXXXXP). ,(1 ,1 ) ,( 的概率落入隨機(jī)區(qū)間的概率落入隨機(jī)區(qū)間以以而不能說參數(shù)而不能說參數(shù)的真值的真值的概率包含著參數(shù)的概率包含著參數(shù)以以隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間 : 1),(),(2121還可以描述為還可以描述為另外定義中的表達(dá)式另外定義中的表達(dá)式 nnXXX

3、XXXP若反復(fù)抽樣多次若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n) ), ,( 間間每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)按按伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理, 在這樣多的區(qū)間中在這樣多的區(qū)間中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的約約占占真真值值的的約約占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每個(gè)個(gè)這這樣樣的的區(qū)區(qū)間間或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反復(fù)抽樣反復(fù)抽樣若若 .10 1000 個(gè)個(gè)真值的約為真值的約為個(gè)區(qū)間中不包含個(gè)區(qū)間中不包含則得到的則得到的 2. 求置信區(qū)間的一般步驟求置信區(qū)間的一般步驟( (共

4、共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括數(shù)數(shù)且不依賴于任何未知參且不依賴于任何未知參的分布已知的分布已知并且并且其中僅包含待估參數(shù)其中僅包含待估參數(shù)的函數(shù)的函數(shù)尋求一個(gè)樣本尋求一個(gè)樣本ZXXXZZXXXnn .1);,( ,1 )2(21 bXXXZaPban使使出兩個(gè)常數(shù)出兩個(gè)常數(shù)定定對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為是是就就那么那么都是統(tǒng)計(jì)量都是統(tǒng)計(jì)量其中其中不等式不等式得到等價(jià)的得到等價(jià)的若能從若能從 nnnXXXXXXbXXXZa.,1,區(qū)間估計(jì)精度降

5、低區(qū)間估計(jì)精度降低可信程度增大可信程度增大間長度增大間長度增大置信區(qū)置信區(qū)增大增大置信水平置信水平固定固定樣本容量樣本容量 n.,1區(qū)間估計(jì)精度提高區(qū)間估計(jì)精度提高可信程度不變可信程度不變間長度減小間長度減小置信區(qū)置信區(qū)增大增大樣本容量樣本容量固定固定置信水平置信水平n 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出解解.1 , , , ),(,2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為的置信水平的置信水平求求為未知為未知為已知為已知其中其中的樣本的樣本是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體設(shè)設(shè) NXXXn , 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是

6、因?yàn)橐驗(yàn)?X),1 , 0(/ NnXU 且且 ,)1 , 0(/數(shù)的數(shù)的是不依賴于任何未知參是不依賴于任何未知參NnX 例例2二、典型例題二、典型例題 ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分位點(diǎn)的定義知分位點(diǎn)的定義知由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 ., 1 2/2/ znXznX的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成.2/ znX其置信區(qū)間的長度為其置信區(qū)間的長度為. 22/ zn ,05. 0 , 1 ,16 2 n中取中取如果在例如果在例,96. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.

7、961610.95 X的置信區(qū)間的置信區(qū)間得一個(gè)置信水平為得一個(gè)置信水平為由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值,20. 5 x則置信區(qū)間為則置信區(qū)間為),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即 .1 :的置信區(qū)間是不唯一的的置信區(qū)間是不唯一的置信水平為置信水平為注意注意 ,05. 0 2 中如果給定中如果給定在例在例 ,95. 0/ 01. 004. 0 znXzP 則又有則又有,95. 0 04. 001. 0 znXznXP 即即 .0.95, 04. 001. 0的置信區(qū)間的置信區(qū)間為為的置信水平的置信水平也是也是故故 znXznX其置信區(qū)間

8、的長度為其置信區(qū)間的長度為. )(01. 004. 0zzn 比較兩個(gè)置信區(qū)間的長度比較兩個(gè)置信區(qū)間的長度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL 顯然顯然置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高.說明說明: 對(duì)于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)對(duì)于概率密度的圖形是單峰且關(guān)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱的情況軸對(duì)稱的情況, 易證取易證取a和和b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),能使能使置信區(qū)間長度最小置信區(qū)間長度最小.今抽今抽9件測量其長度件測量其長度, 得數(shù)據(jù)如下得數(shù)據(jù)如下(單位單位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 1 22/2/ znXznX的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為得得根據(jù)例根據(jù)例,333.147,96. 1,05. 0, 4, 9025. 0知知由由 xzn 149.946). (144.720, 0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的置信度為的置信度為 ),16,( NX 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布設(shè)某工件的長度設(shè)某工件的長度. 95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平為的置信水平為試求參數(shù)試求參數(shù) 例例3三、小結(jié)三、小結(jié) 點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度,