北京80中--二分法教學(xué)--課題

1、課題：用二分法求方程的近似解郭豫 北京市第八十中學(xué)【教學(xué)準(zhǔn)備】1、 數(shù)學(xué)分析二分法是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）新增的內(nèi)容之一。增加這部分內(nèi)容的主要目的，一是加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，突出函數(shù)的應(yīng)用，用函數(shù)的觀點看待某些方程，通過研究函數(shù)的某些性質(zhì)，把函數(shù)的零點與方程的解等同起來；二是“用二分法求方程的近似解”這部分內(nèi)容較好體現(xiàn)了算法的思想，可以為后面學(xué)習(xí)算法內(nèi)容做必要的準(zhǔn)備。教材安排遵循上述兩個主要目的，二分法首次出現(xiàn)在數(shù)學(xué)1中，然后在數(shù)學(xué)3中作為算法的具體素材。就中學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容而言，學(xué)生主要學(xué)習(xí)一元一次方程、一元二次方程以及二元一次方程組、三元一次方程組的解法，或可化為上述方程（組）的其他

2、方程，如分式方程、無理方程的解法。對于一元一次方程，我們可以通過去分母、去括號、移項、合并同類項等程序化的步驟，把它轉(zhuǎn)化為的形式。對一些特殊形式的一元二次方程，有一些特殊的解法，如提取公因式法、十字相乘法。但對一般的一元二次方程，有通法公式法，它可以給出任意一元二次方程的一般解，這個一般解就是方程的精確解。然而，在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)以及其他領(lǐng)域中產(chǎn)生的許多實際問題中的方程，既不可能，也不現(xiàn)實求其一般解。實際上，考慮實際問題的需要，也沒必要求其精確解。這時，尋求方程近似解的數(shù)值方法應(yīng)運而生。確切地說，一個數(shù)值方法是對給定問題的輸入數(shù)據(jù)和所需要的結(jié)果之間關(guān)系的一種明確的描述。數(shù)值計算方

3、法也稱計算方法或者數(shù)值分析，它是研究運用計算機或計算器解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法或相關(guān)理論。為了使數(shù)值方法在計算機上得到實現(xiàn)，我們需要給出數(shù)值方法的一般算法。它是算法和邏輯運算的完整描述，按一定程序執(zhí)行這些運算，經(jīng)過有限步，把輸入數(shù)據(jù)的每一個容許集轉(zhuǎn)化成輸出數(shù)據(jù)。作為算法體系中求方程近似解的一種重要的方法，二分法是解非線性方程的一種直觀而又簡單的算法，學(xué)生非常容易理解。實際上，求方程近似解的方法很多，不動點法、牛頓法（切線法）、割線法等等，它們都是解決一類問題的算法。二分法本質(zhì)上說是一種區(qū)間迭代的數(shù)值算法。它的前提是：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，那么函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點，即至少

4、存在一點，使得就是方程的根。具體計算步驟是，不斷縮小區(qū)間的長度，使區(qū)間中點逐步逼近根的精確值。周而復(fù)始，不斷二分以縮小區(qū)間的長度。理論上這一過程可以無限進行下去，如同古代墨經(jīng)所說的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”但實際上，只需要滿足某種精度要求的近似解，進行有限步便可終止。由于這種方法直觀而又簡單，學(xué)生對它的理解不會有任何問題，但在教學(xué)中需要注意的問題依然不少。本節(jié)課是在“方程的根與函數(shù)的零點”之后“用二分法求解方程近似解”的起始課。前面一節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了零點存在定理。并在此基礎(chǔ)之上得知函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點。本節(jié)課要解決的問題是如何找出這個零點。具體對策是如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍

5、盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們便可以得到零點的近似值。而這種逐步縮小零點范圍的具體方法就是二分法。2、 基本定位和重點分析（1）通過具體實例理解二分法的概念及適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)思想在方程求解問題中的應(yīng)用.（2）讓學(xué)生能夠初步了解無限逼近思想,理解二分法求方程近似解的算法原理，為后面算法的學(xué)習(xí)做好鋪墊.（3）鼓勵學(xué)生大膽探索，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生探尋和欣賞數(shù)學(xué)美，形成正確的數(shù)學(xué)觀；體會數(shù)學(xué)中無限逼近的過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一教學(xué)重點：通過用二分法求相應(yīng)方程的近似解，使學(xué)生體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，形成用函數(shù)觀點處理問題的

6、意識教學(xué)難點：（1）二分法的算法原理. （2）精確度的問題3、 學(xué)情分析：本節(jié)課的授課對象是我校高一（3）班，該班是我校的理科實驗班，學(xué)生知識基礎(chǔ)相對較好，有一定的研究能力.但對于二分法，學(xué)生的認(rèn)知困難主要有兩個方面:（1）對二分法的理論依據(jù)，即二分法定義的理解.（2）對無限逼近思想的理解。在教學(xué)方式上可以采取循序漸進的原則，從生活中學(xué)生感興趣的問題猜價格入手，讓學(xué)生體會怎樣把零點所在的大致區(qū)間分成兩部分，隨著逐步將區(qū)間以一分為二縮小零點所在的范圍.并借助大屏幕演示幾何圖形縮小零點范圍的具體過程，讓學(xué)生從直觀上感覺零點被無限逼近. 【教學(xué)設(shè)計】教學(xué)流程圖：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)出課題 由競猜商品價格引入

7、引導(dǎo)探究，獲得新知 二分法的定義，方法步驟及其算法思想課后作業(yè)，鞏固提高歸納反思，提高認(rèn)識 初步確立函數(shù)思想解決問題，體會二分法的程序性，為下一步學(xué)習(xí)算法做好準(zhǔn)備 掌握二分法中的算法思想，適當(dāng)?shù)亟o問題編出程序，直接求解（一）創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)出課題師：組織學(xué)生做游戲“猜一猜某物品的價格”師：我手里有一盒茶葉，現(xiàn)在我告訴同敘它的價格大致在50到100元之間，下面請同學(xué)猜一猜它的價格。好的，誰先來猜一猜？（學(xué)生很感興趣，積極踴躍地參與竟猜價格的活動）生（甲）：70元師：這個價格低了，誰來繼續(xù)猜？生（乙）：75元師：這個價格也低。（老師話音剛落，學(xué)生便紛紛舉起手來）生（丙）：90元師：這個價格高了（課堂氣

8、氛逐漸熱烈了起來，不斷地有學(xué)生舉起手來參與到價格競猜的活動中來）（伴隨著學(xué)生猜價格的過程，老師在黑板上畫出數(shù)軸，記錄下了猜價格的過程）師：提出問題：競猜價格的過程中體現(xiàn)了哪些具體方法，哪位同學(xué)可以概括一下生：（1）每一次競猜的價格都把前一次價格所在的區(qū)間分為二部分.（2）在競猜的過程中逐步縮小了價格所在的區(qū)間，使結(jié)果更逼近真正價格. 師（微笑）：概括地非常好，重復(fù)概括學(xué)生所說的（1）每次都把前一次價格所在的區(qū)間分為兩部分；（2）猜的過程逐步縮小了價格所在區(qū)間，猜的次數(shù)越多，結(jié)果就越逼近真正價格.今天這節(jié)課我們就要用類似的方法求方程的近似解.（板書：用二分法求方程的近似解）（從學(xué)生感興趣的生活問

9、題入手，引導(dǎo)學(xué)生分析二分法的思想與方法，讓學(xué)生認(rèn)識到二分法無限逼近思想在生活中的應(yīng)用，引入課題）（二）引導(dǎo)探究，獲得新知師：我們上節(jié)課已經(jīng)得知，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，那 么如何將零點的范圍縮小呢？（大屏幕給出問題1：如何求方程的近似解（精確度為0.01）？）生：將區(qū)間逐漸分為二部分.師：在哪里取分點，更好操作？生：中點.師：不取中點可以嗎？（學(xué)生有的沉思，有的點頭）師：其實不取中點，也可以取三等分點、四等分點或黃金分割點等，只是相比較而言， 中點好計算，因而通常取中點.師：如何計算區(qū)間中點？生：端點相加除以2.師：中點取出后如何繼續(xù)判斷零點所在的區(qū)間？生：根據(jù)零點存在定理判斷零點所在的

10、區(qū)間（端點函數(shù)值異號，則零點在其中），這樣不斷地分下去.（引導(dǎo)學(xué)生思考如何將零點范圍縮小?從而得到結(jié)論：通過不斷地取區(qū)間中點，將區(qū)間 二等分，使零點被無限逼近.）（學(xué)生邊說邊演示大屏幕，通過圖形給出縮小零點范圍的具體過程，讓學(xué)生從直觀上感覺零點被無限逼近）師：在問題的基礎(chǔ)之上歸納出二分法的定義，并用大屏幕演示：對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法.師：請同學(xué)思考定義中有哪些關(guān)鍵詞呢？生（甲）：（1）為閉區(qū)間；(2) 為連續(xù)不斷的函數(shù)；（3）端點函數(shù)值異號；（4）使區(qū)間兩個端點無限逼近零點，進而得到零點

11、近似值； 生（乙）：不斷地把函數(shù)零點所在區(qū)間一分為二（引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注定義中的關(guān)鍵詞，從而加深對數(shù)學(xué)概念的理解）師：好的，定義中說到不斷地把函數(shù)的零點所在區(qū)間一分為二，那么分到什么 時候為止？生：沉思師：要看精確度的要求.精確度為：絕對誤差即真實值與近似值間的誤差。例如精確 度為0.01時，若區(qū)間端點差的絕對值小于0.01,則區(qū)間內(nèi)的任意一點就可以作為近似值， 但由于端點值時可知的，所以我們通常將端點值就作為近似值.師：請同學(xué)借助計算機具體求方程的近似解.生：在教師引導(dǎo)下利用計算機操作.（學(xué)生借助Excel電子表格操作，非常熟練。很多同學(xué)很快便求出了方程的近似解） 師：給定精確度，用二分法求解方程

12、近似解的步驟是什么？ 生：共同討論，相互補充，得出結(jié)論（1）尋找確定近似解所在的區(qū)間，驗證.（2）不斷二分解所在的區(qū)間，即取區(qū)間的中點.（3）計算；若，則若則令若則令（4）判斷是否達到給定的精確度：即若，則得出近似解=（或）； 否則重復(fù)步驟24.（通過信息技術(shù)的應(yīng)用使學(xué)生親身經(jīng)歷動手操作解決實際問題的過程，并從中體驗函 數(shù)與方程的聯(lián)系，體會二分法無限逼近的思想并掌握用二分法求解方程近似解的方法和步 驟，體會二分法程序化的思想，為后面學(xué)習(xí)算法做好鋪墊.） （三）歸納反思，提高認(rèn)識師：1.函數(shù)思想是數(shù)學(xué)中一個重要思想，它在解方程問題中發(fā)揮了重要的作用.2二分法是用函數(shù)思想求方程近似解的一個載體，是

13、一種常用方法.3二分法求方程近似解的步驟主要體現(xiàn)了無限逼近的思想.4通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有哪些感受 生：體會到了二分法無限逼近的思想. 體會到函數(shù)與方程的聯(lián)系，培養(yǎng)了用函數(shù)思想解決問題的意識.【教學(xué)實踐】參看課堂實錄【教學(xué)反思】二分法是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）新增的內(nèi)容之一。增加這部分內(nèi)容的主要目的，一是加強函數(shù)與方程的聯(lián)系，突出函數(shù)的應(yīng)用，用函數(shù)的觀點看待某些方程，通過研究函數(shù)的某些性質(zhì)，把函數(shù)的零點與方程的解等同起來；二是“用二分法求方程的近似解”這部分內(nèi)容較好體現(xiàn)了算法的思想，可以為后面學(xué)習(xí)算法內(nèi)容做必要的準(zhǔn)備。教材安排遵循上述兩個主要目的，二分法首次出現(xiàn)在數(shù)學(xué)1中，然后在數(shù)學(xué)3中

14、作為算法的具體素材。本節(jié)課是在“方程的根與函數(shù)的零點”之后“用二分法求解方程近似解”的起始課。前面一節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了零點存在定理。并在此基礎(chǔ)之上得知函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點。本節(jié)課要解決的問題是如何找出這個零點。具體對策是如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們便可以得到零點的近似值。而這種逐步縮小零點范圍的具體方法就是二分法。對于二分法，學(xué)生的認(rèn)知困難主要有兩個方面:（1）對二分法的理論依據(jù)，即二分法定義的理解。（2）對無限逼近思想的理解。在教學(xué)方式上可以采取循序漸進的原則，從生活中學(xué)生感興趣的問題猜價格入手，讓學(xué)生體會怎樣把零點所在的大致區(qū)間分成兩部分，隨著

15、逐步將區(qū)間以一分為二縮小零點所在的范圍。并借助大屏幕演示幾何圖形縮小零點范圍的具體過程，讓學(xué)生從直觀上感覺零點被無限逼近. 這樣有助于學(xué)生從幾何直觀轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系得出二分法的定義進而再利用定義轉(zhuǎn)化為二分法的操作程序；本節(jié)課使用了計算機輔助教學(xué)，并讓學(xué)生親身經(jīng)歷計算機操作。在信息技術(shù)環(huán)境下，學(xué)習(xí)二分法，一是給學(xué)生提供了快速計算的工具，提高效率；二是給學(xué)生提供了驗證的工具，檢驗結(jié)論的正確性。這兩方面在學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”時都是必要的。在引入部分：為了使學(xué)生更好地理解二分法的定義，教學(xué)設(shè)計時從學(xué)生比較感興趣的猜價格問題入手。把“猜價格過程中將價格所在的大致區(qū)間分成兩部分，逐步縮小價格所在的

16、區(qū)間，隨著無限地猜下去，所得結(jié)果無限逼近真正價格的具體做法”類比到“用二分法求方程近似解問題中”。這樣引入，不僅貼近生活而且讓學(xué)生明白二分法來源于生活，來源于實際。符合新課改倡導(dǎo)的理念：數(shù)學(xué)在生活中是有用的。在探究部分：采用教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法。師生不斷交流，形成概念。并在強化概念的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生使用信息技術(shù)親身體驗二分法求解方程近似解的步驟，為下一步學(xué)習(xí)算法做好鋪墊。信息技術(shù)的應(yīng)用一是給學(xué)生提供了快速計算的工具，提高效率；二是給學(xué)生提供了驗證的工具，檢驗結(jié)論的正確性。在小結(jié)部分：教師方面引導(dǎo)學(xué)生得出一般方法和結(jié)論。學(xué)生方面交流后談一節(jié)課的感想和體會。從學(xué)生學(xué)習(xí)的效果上看主要有以下三方面特點：1.在探索概念階段