函數(shù)的奇偶性與周期性復(fù)習(xí)_老師用

1、函數(shù)的奇偶性與周期性、函數(shù)奇偶性定義奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x, 都有f( x) = f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x, 都有f( x) f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱二、需要注意的問(wèn)題1 .判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.2 .判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè) x,均有f( x)= f(x),而不能說(shuō)存在 X0 使 f( X0)= f(x。)、f( Xo) = f(Xo).3 .分段函數(shù)

2、奇偶性判定時(shí)，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而 否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性是錯(cuò)誤的.三、重要結(jié)論1 .函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論：(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0) = 0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x) = f(|x|).(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即 f(x) = 0, xD,其中定 義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū) 間上具有相反的單調(diào)性.2 .有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論：(1)若函數(shù)y = f(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y = f(x)關(guān)于x=a

3、對(duì)稱.若函數(shù)y = f(x + a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y = f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.若f(x) = f(2a x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.若f(x) + f(2a x) = 2b,則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a, b)對(duì)稱.奇偶性例題1 .函數(shù) f(x) = lg(x+1) + lg(x 1)的奇偶性是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)x + 1>0解析：由x7>0知X>1,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù).答案：C2 .設(shè)函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，當(dāng) x C (0 , +oo )時(shí)f(x) = log2x,則 f( 42) = (A.1B.

4、2C. 2D. -2解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f( 2) = fc/2) = log2q2 = ；,故選B.答案：B3.若函數(shù)f(x) = x2 | x + a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=解析：: f(x)=f(x)對(duì)于 xCR 恒成立，. | x + a| =|x + a| 對(duì)于 xCR包成立，兩邊平方整理得 ax =0對(duì)于x C R恒成立，故a = 0.答案：0四、函數(shù)的周期性1 .周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y = f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù) T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何 值時(shí)，都有f(x + T) = f(x),那么就稱函數(shù)y = f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù) 的周期.2.最小正周期

5、如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù) 就叫作f(x)的最小正周期.五、周期性重要結(jié)論定義式f(x + T) = f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x是包成立的.若f(x + a) = f(x + b),則 函數(shù)f(x)的周期為T=| a-b|.11右在止義域內(nèi)酒足 f(x +a)= f(x), f(x + a)=-, f(x + a)=-f xf x(a>0).則f(x)為周期函數(shù)，且T = 2a為它的一個(gè)周期.對(duì)稱性與周期的關(guān)系：(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x = a和直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期 函數(shù)，2| a b|是它的一個(gè)周期.(2)若函數(shù)f(

6、x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)， 2| a-b|是它的一個(gè)周期.(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x = b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4| a b|是它的一個(gè)周期.周期性例題4.函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x + 2) = ,若f(1) = 5,則f xf(f(5) =.1 .1.解：f(x + 2)=f, .f(x + 4)=f-1=f(x),f xf x十2.一 .11. f(5) = f(1) = - 5 , . f(f(5) = f( 5) = f(3)= T.f 151考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷判斷下列函數(shù)的奇偶性

7、.(1) f(x) = .1 -x2 +由2-1 ; (2)f(x) = 13 2x+ 2x-3;14 x2f(x)=3x 3 x;(4)f(x)=-| x 十 3| - 3(5)f(x)=x2+x, x>0, x2 x , x<0.x2 1 > 0,解：由 2 得x=± 1 , 1 -x2> 0, .f(x)的定義域?yàn)?1,1 .又 f(1) + f(1) = 0, f(1)f(1) = 0,即 f(x) = ± f(x). .f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 3函數(shù)f(x)=q3二2x + 42x-3的定義域?yàn)?,不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱, 函數(shù)f(x)

8、既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(3)：f(x)的定義域?yàn)镽,f( x)= 3 x 3x= (3x 3 x)= f(x),所以f(x)為奇函數(shù).| x+3| 30,彳馬一2 0x 0 2 JU x w 0.；f(x)的定義域?yàn)?2,0) U (0,2,口、W-x2W-x25-x2 f(x)=|x + 3| 3= x+3 3= x ' .f(x)= f(x), . f(x)是奇函數(shù).(5)易知函數(shù)的定義域?yàn)? 8, 0) U(0, +oo )關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x>0時(shí), f(x)=x2 + x ,則當(dāng)x<0時(shí)，x>0 ,故 f( x) = x2 x = f(x);當(dāng) x&l

9、t;0 時(shí)，f(x) = x2 x,則當(dāng) x>0 時(shí)，x<0 ,故f( x) = x2+x=f(x),故原函數(shù)是偶函數(shù).函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法1 .定義法：2 .圖象法:(1)司+司 個(gè)司，吟"日方 可一可)“奇奇”是偶，(2)“偶+偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶偶”是偶，(3)“奇偶”是奇，可 1內(nèi) 八匕口.3.性質(zhì)法:“奇一奇”是偶； i“偶一偶”是偶；考點(diǎn)二函數(shù)的周期性f(x+2) = f(x).當(dāng)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有C 0,2時(shí)，f(x) = 2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x 2,4時(shí)，求f(x)的解析式

10、；(3)計(jì)算 f(0)+f(1) + f(2) + f(2 017).解(1) f(x+2) = f(x), f(x + 4) = f(x+2) = f(x). .f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng) xC 2,0時(shí)，一xC0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2 = -2x-x2.又 f(x)是奇函數(shù)，. . f( x)= f(x)= 2x x2,f(x)=x2 + 2x.又當(dāng) x 2,4時(shí)，x 4C -2,0, f(x 4)=(x 4)2 + 2(x4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， .f(x)=f(x 4) =(x 4)2 + 2(x 4)=x解析：當(dāng) x>0 時(shí)，

11、f(x + 2) = 一,f x .f(x + 4) = f(x),即 4 是 f(x)(x0)的一個(gè)周期.6x + 8.從而求得 x 2,4時(shí)，f(x) = x26x+8.(3)f(0) = 0, f(2)=0, f(1)=1, f(3) = 1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f=f(2 008) + f(2 009)+ f(2 010) +f(2 011) =f(2 012) +f(2 013) +f(2 014) + f(2 015) =0,f(0) + f(1)+f(2)+- + f(2

12、 017) =f(0)+f(1) = 0+ 1=1.判斷函數(shù)周期性的兩個(gè)方法(1)定義法.(2)圖象法.例：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x>0,都有f(x + 2) = 1,且當(dāng) xC0,2)時(shí),f(x) = log2(x + 1),則求 f( 2 015) +f(2 017)的值為 f x. .f(2 017) =f(1) = log22 = 1 ,f( 2 015) =f(2 015) =f(3)= I；=T， .f( 2 015) +f(2 017) =0.答案：0考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用常見(jiàn)的命題：1 .已知奇偶性求參數(shù).2 .利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式.

13、3 .周期性與奇偶性綜合.4 .單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合.探究一已知奇偶性求參數(shù)1 .若函數(shù)f(x)=xln(x+，a + x2)為偶函數(shù)，則a _.解析：由題意得 f(x) = xln(x + a + x2)= f(x)= xln(2a+ x2 x),所以/a + x2 + x = /2,解得 a = 1.ya + x x答案：1探究二利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式2 .設(shè)函數(shù)f(x) = ln(1 +| x|)則使得f(x)>f(2x 1)成立的x的取值1十x范圍是()A. 1, 13一 11C. T, T3 3B. -00, 1 U(1 , +oo)3r1. 1,D. -00,

14、- 3 U 3, +00解析：函數(shù) f(x) = ln(1 +|x|) 2, ；f( x) = f(x),故 f(x)為偶函數(shù)，又1 +x當(dāng) xC(0, +oo )時(shí),f(x)=ln(1 +x) f(x)是單調(diào)遞增的，故 f(x)>f(2x 1 +x1)? f(| x|)> f(|2 x1|) ,| x|>|2 x 1 ,解得 1<x<1,故選 A.3答案：A探究三周期性與奇偶性相結(jié)合, 一-、，2a 33 .已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1 ,f(5)=r,a1則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A. (1,4) B. ( 2,0) C.

15、(-1,0) D. (T,2)解析：: f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù), .f(5) = f(5 6) = f(1) = f(1),2a 32a 3a 4VV,即節(jié)(。,解得小達(dá)依故選A. f<1，f(5) =,答案：A探究四單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合4 .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4) = f(x),且在區(qū)間0,2上是 增函數(shù)，則()A. f( 25)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f( 25)C. f(11)<f(80)<f( 25)D. f(25)<f(80)<f(11)解析：: f(x)

16、滿足 f(x 4) = f(x),；f(x 8) = f(x), 函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則 f( 25)=f(1), f(80)=f(0), f(11)=f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x 4) = f(x),得f(11) =f(3) = 一 f(1)=f(1).f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù)，, f(-1)<f(0)<f(1),即 f( 25)<f(80)<f(11).答案：Dx + 1 2 + sin x5 .設(shè)函數(shù)f(x) =x的最大值為 M ,最小值為 m ,則M + m

17、=2x + sin x解析易知 f(x) = 1 +x2+12x + sin x 設(shè) g(x) = f(x)1=u+1 -,則g(x)是奇函數(shù).f(x)的最大值為M,最小值為m ,g(x)的最大值為M 1 ,最小值為m 1 , . .M 1 +m 1 =0,. M + m =2.答案26 .已知 f(x) = x5 + ax3 + bx 8 ,且 f(2) = 10,則 f(2)等于()A. -26B, -18 C, -10D . 10解析：由 f(x) = x5 + ax3+bx 8 知 f(x)+8 =x5 + ax3+bx ,令F(x)=f(x)+8可知F(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)( x)+F(

18、x) = 0. F( 2) + F(2) = 0,故 f(2) + 8 +f(2)+ 8 = 0. .f(2) = 26.答案：A練習(xí)A組*1 .若f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“f(0)=0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的()A.必要不充分條件B.充要條件C ,充分不必要條件D.既不充分也不必要條件1 x112 .已知函數(shù)f(x) = x + log20x +1,則f 2 +f -2的值為()1A. 2B.2C.0D. 210g 233 .設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x C 2,1)時(shí)，f(x)=4x2 2, 2<x<0x, 0<x<1A. 0B. 1C.

19、1D. -124 .在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x + 3)=f(x),當(dāng) 0<x&l 時(shí)，f(x) = 2x,則 f(2015)=()A. -2B. 2C. -1D.1225.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0, +oo )上是增函數(shù)，且f(1) = 0,則不等式xf(x)-f(- x)<0的解集為()A. x| 1<x<0 ,或 x>1B , x| x< 1 ,或 0<x<1C. xx< 1,或 x>1D . x| 1<x<0,或 0<x<16 .已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(2) = 1 ,

20、且對(duì)任意的xR,都有f(x + 3) = f(x),則 f(2 017) =.x+1x+a7 .函數(shù)f(x) =3為奇函數(shù)，則a=.x8 .已知函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：直線x=1是函數(shù)f(x)的一 條對(duì)稱軸； f(x + 2) = f(x);當(dāng) 10Xi<X203 時(shí)，fM) f(x/(x2 Xi)<0, 則f(2 015) , f(2 016) , f(2 017)從大到小的順序?yàn)?.x2 + 2x , x>0 ,9 .已知函數(shù)f(x)= 0, x = 0,是奇函數(shù).x2 + mx , x<0(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1, a 2上單

21、調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10 .函數(shù)y = f(x)(x w 0)是奇函數(shù)，且當(dāng)xC(0, +oo )時(shí)是增函數(shù)，若f(1)1=0,求不等式f x x 2 <0的解集練習(xí)B組1 .設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則 卜列結(jié)論中正確的是()A. f(x)g(x)是偶函數(shù)B . | f(x)| g(x)是奇函數(shù)C . f(x)| g(x)|是奇函數(shù)D . | f(x)g(x)|是奇函數(shù)2 .設(shè)函數(shù) f(x)(x R)滿足 f(x+ 冗)f欽)+ sin x .當(dāng) 0 0 x< 九時(shí)，f(x)= 0,1 A.21C. 0D. 23.下列

22、函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A. y =71 +x2B . y = x + -x- 1_vC. y = 2D . y = x + e4.已知定義在R上的函數(shù)f（x） = 21"m1 1（m為實(shí)數(shù)）為偶函數(shù).記a = f（log0.53）, b = f（log25）, c = f（2m）,則 a, b , c 的大小關(guān)系為（）A. a<b<cB . a<c<bC. c<a<bD . c<b<a5 .設(shè)函數(shù) f（x）=ln（1 +x）ln（1 x）,則 他）是（）A.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在（0,1）上

23、是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)A組練習(xí)答案:1 .解析：f(x)在R上為奇函數(shù)？ f(0) = 0; f(0) = 0? /f(x)在R上為奇函數(shù)，如f(x) = x2,故選A.答案：A _11 +V17 1 -V17 x _1 + x2 .解析：由題思知，f(x)1 = x + log2丁;，f(-x)-1 =x + log21x =x一log2、x= (f(x) 1),所以 f(x)1 為奇函數(shù)，則 f； 1+f - 1 = 0, 1 十x2211所以 f 2 +f 2 =2.答案：A一 , 5113 .解析：因?yàn)閒(x)是周期為3的周期函

24、數(shù)，所以f 2=f 2 + 3=f 2=1 04X -2 2_2 = 1 ,故選 D.答案：D4 .解析：由f(x+3)=f(x)得函數(shù)的周期為3,所以f(2 015) =f(672 X 3-1)= f(1) = f(1) = 2,故選 A.答案：A5 .解析：:奇函數(shù)f(x)在(0, +8 )上是增函數(shù)，f(x)=-f(x), xf(x)-f(-x)<0, a xf(x)<0,又 f(1) = 0, f(1) = 0,從而有函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:則有不等式xf(x)-f(-x)<0的解集為x| 1<x<0 或 0<x<1,選 D.答案：D6 .

25、解析：由 f(x+3) = f(x)得函數(shù) f(x)的周期 T = 3,則 f(2 017) =f(1) = f( 2),又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(2 017) =f(2)=1.答案：17 .解析：由題意知，g(x) = (x+1)(x + a)為偶函數(shù)， a = 1.答案：18 .解析：由f(x + 2) = f(x)得f(x+4)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù), 由知 f(x)在1,3上是減函數(shù).所以 f(2 015) =f(3), f(2 016) =f(0) = f(2), f(2 017) =f(1),所以 f(1)>f(2)>f(3),即 f(

26、2 017)> f(2 016)> f(2 015).答案：f(2 017)> f(2 016)> f(2 015)9 .解：設(shè) x<0, WJx>0,所以 f( x)= ( x)2 + 2( x)= x1 即 0<x x 2 <1 ,解得 2<x<4 或 4<x<0. 2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)= f(x),于是 x<0 時(shí)，f(x)=x2+ 2x = x2 + mx ,所以 m=2.(2)要使f(x)在1 , a 2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知a2> 1,a-2< 1,所以1<a< 3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.10 .解：y = f(x)是奇函數(shù)，.(1) = f(1) = 0.又= y=f(x)在(0, +oo )上是增函數(shù)，1 一x-2 >0 ,1x-2 <1 ,；y = f(x)在(8, 0)上是增函數(shù)，一 1- 一右 f x x-2 <0 = f(1), 一 1_.f x x <0 =f( 1) ,1 一x 2 <0,1x一萬(wàn) <一i.1x x2 < 1,解得 x e ?.原不等式的解集是x Lx<A7或匕<x<0244B組練習(xí)答案：1 .解析：由題意可知f(x)=