電勢及其梯度

1、思考：萬有引力作功與路徑無關(guān)，庫侖力是否與其類似？思考：萬有引力作功與路徑無關(guān)，庫侖力是否與其類似？答：單個(gè)點(diǎn)電荷作功與路徑無關(guān)答：單個(gè)點(diǎn)電荷作功與路徑無關(guān)bal d rdrr droqEcl dEql dFdW 02041rqE drdl cos barrbarrqqdrrqqdWWba1144100200 dlEq cos0 結(jié)論：結(jié)論：在點(diǎn)電荷的電場中，電場力對試驗(yàn)電荷所在點(diǎn)電荷的電場中，電場力對試驗(yàn)電荷所做的功，只與試驗(yàn)電荷所帶電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)做的功，只與試驗(yàn)電荷所帶電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)位置有關(guān)，而與所經(jīng)歷的路徑無關(guān)問題：問題：任何帶電體系產(chǎn)生的電場的結(jié)果

2、如何？任何帶電體系產(chǎn)生的電場的結(jié)果如何？ 21EEE l dEql dFW0 l dEEq)(210 l dEql dEq2010結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)試驗(yàn)電荷在任何靜電場中移動(dòng)時(shí)，電場力所做的當(dāng)試驗(yàn)電荷在任何靜電場中移動(dòng)時(shí)，電場力所做的功只與試驗(yàn)電荷的電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與功只與試驗(yàn)電荷的電量以及起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)路徑無關(guān). 這表明靜電場力是保守力，靜電場是保守力場這表明靜電場力是保守力，靜電場是保守力場1L2LPQ)(0)(021LQPLQPl dEql dEq 0)()(021 LQPLQPl dEl dEq0)()(21 LPQLQPl dEl dE0 Ll dE結(jié)

3、論結(jié)論: : 場強(qiáng)沿任意閉合回路的線積分等于零場強(qiáng)沿任意閉合回路的線積分等于零 思考思考: 其他的保守力場是否也有環(huán)路定理？其他的保守力場是否也有環(huán)路定理？ babaldEldE1L2L存在電勢能存在電勢能aL1L2b.oq. baldEqA結(jié)論結(jié)論: : 電場力作了多少功等電場力作了多少功等于其體系的能量的改變于其體系的能量的改變 PPl dEq0 定義定義: :電勢能在量值上等于把電荷從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移電勢能在量值上等于把電荷從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到零點(diǎn)到零點(diǎn)( (無窮遠(yuǎn)處無窮遠(yuǎn)處) )電場力所做的功電場力所做的功 問題問題: :電勢能能反映電場的本質(zhì)？電勢能能反映電場的本質(zhì)？ 電勢電勢 PP

4、Pl dEqU0 結(jié)論：結(jié)論：電場中某點(diǎn)的電勢在量值上等于單位正電荷電場中某點(diǎn)的電勢在量值上等于單位正電荷放在該點(diǎn)時(shí)的電勢能放在該點(diǎn)時(shí)的電勢能，或者說，等于單位正電荷從，或者說，等于單位正電荷從該點(diǎn)沿任意路徑移到無限遠(yuǎn)處電場力所做的功該點(diǎn)沿任意路徑移到無限遠(yuǎn)處電場力所做的功 電勢的單位是伏特，符號為電勢的單位是伏特，符號為 VQPPQUUU 電勢差電勢差 QPl dEl dE QPl dE結(jié)論結(jié)論: :靜電場中任意兩點(diǎn)靜電場中任意兩點(diǎn) 和和 之間的電勢差在量之間的電勢差在量值上等于把單位正電荷從值上等于把單位正電荷從 點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到點(diǎn)經(jīng)任意路徑移到 點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，電場力所做的功時(shí)，電場力所做的功

5、PQPQ電場力所做的功可用電勢差表示為電場力所做的功可用電勢差表示為）（QPQPPQUUql dEqW 00討論討論: :功、電勢差、電勢能之間的關(guān)系功、電勢差、電勢能之間的關(guān)系.0 abAbaWW 0 qabU U則則0 q則則abU U2.0 abAbaWW 0 qabU U則則0 qabU U則則例題例題: 求單個(gè)點(diǎn)電荷求單個(gè)點(diǎn)電荷 產(chǎn)生的電場中各點(diǎn)的電勢產(chǎn)生的電場中各點(diǎn)的電勢 q PPl dEU PPl dEU rdrrq2014qrP rrdErq041 解解 rrrqE2041 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷 的場強(qiáng)為的場強(qiáng)為 q 思考思考: 這里電勢能和電勢差如何計(jì)算？這里電勢能和電勢差如何計(jì)算？

6、例題例題: :在示波器、電視機(jī)、計(jì)算機(jī)顯示器中，均有電在示波器、電視機(jī)、計(jì)算機(jī)顯示器中，均有電子在電場中被加速而獲得動(dòng)能的情況。已知電子在子在電場中被加速而獲得動(dòng)能的情況。已知電子在1000v1000v的電壓中加速，求電子獲得的速度。的電壓中加速，求電子獲得的速度。解：解：電場力作功電場力作功 UUeA 1000106 . 119 由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理: :AEk J16106 . 1 0 ovJmv162106 . 121 smv/1087. 17 若電子經(jīng)過若電子經(jīng)過 U=1v U=1v 的電場：的電場：AEk UUeJ19106 . 1 eV1 smv/1093. 55 Ep解：兩電荷的

7、電勢能分別是：解：兩電荷的電勢能分別是： qUWqUW WWW UUq ldEq l dEq dlEq cos cosEl q EpW 即：即：例題例題. .求一電偶極子求一電偶極子 在均勻電場在均勻電場E E中的電勢能。中的電勢能。l qp cosEp u等勢面等勢面等勢面與電場分布的關(guān)系：等勢面與電場分布的關(guān)系：(1)(1) 等勢面與電力線處處正交等勢面與電力線處處正交, ,且電且電場線的方向指向電勢降低的方向。場線的方向指向電勢降低的方向。(2) (2) 在同一等勢面上移動(dòng)電荷在同一等勢面上移動(dòng)電荷, ,電電 場力的功恒等于場力的功恒等于0 0。+q1U2Ur4qUo 1U 定義定義:

8、:電勢相等的曲面電勢相等的曲面 思考思考: 等勢面變化快慢和什么有關(guān)？等勢面變化快慢和什么有關(guān)？u電勢梯度：電勢梯度：電勢隨空間的變化率。電勢隨空間的變化率。E與與U描述電場各點(diǎn)描述電場各點(diǎn)性質(zhì)的物理量性質(zhì)的物理量P1P2l dE E與與U 的關(guān)系？的關(guān)系？在電場中取相距在電場中取相距 的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)P P1 1、P P2 2：dll dEUUPP 21dUUUPP 21l dEdU cosEdldldUE cos即即：電勢電勢U U沿沿 方向方向的空間變化率的空間變化率l d491 1 靜電場中任意給定點(diǎn)靜電場中任意給定點(diǎn)的的E E沿某方向的分量為：沿某方向的分量為：dldUEl 2 2 場中

9、任一點(diǎn)沿不同方向，場中任一點(diǎn)沿不同方向，U U的空間變化率不同的空間變化率不同 當(dāng)當(dāng) = 0= 0時(shí)時(shí), , ,|EnddndU有最大值：有最大值：EdndU 結(jié)論：結(jié)論：P1P2l dE xUEx yUEy zUEz 例如該點(diǎn)電場例如該點(diǎn)電場E E的三個(gè)坐標(biāo)分量：的三個(gè)坐標(biāo)分量：dndU電勢梯度電勢梯度ndndUE Ugrad 則：則：例題例題: 一個(gè)均勻帶電圓環(huán)一個(gè)均勻帶電圓環(huán), 半徑為半徑為R 電量為電量為Q。其軸。其軸線上任意一點(diǎn)的電勢為線上任意一點(diǎn)的電勢為 求其場強(qiáng)。求其場強(qiáng)。X X. .P Po oRxr解：根據(jù)點(diǎn)電荷電勢疊加，解：根據(jù)點(diǎn)電荷電勢疊加，P P點(diǎn)的電勢點(diǎn)的電勢224p

10、oQURxP P點(diǎn)的電場：點(diǎn)的電場：0zU0yU xUEExP 2322oxR4Qx 方向沿方向沿X X軸正向軸正向224poQURx即：即：E E 取決于取決于U U 在該點(diǎn)的空間變化在該點(diǎn)的空間變化率而與該點(diǎn)率而與該點(diǎn)U U 值的大小無關(guān)。值的大小無關(guān)。2 2 E E的又一單位：的又一單位：V/mV/m= N/C3 3 求求E E的三種方法的三種方法點(diǎn)電荷電場疊加點(diǎn)電荷電場疊加 ：用高斯定理求對稱場：用高斯定理求對稱場：電勢梯度法：電勢梯度法： rrdqEo42 gradUE 1 內(nèi)內(nèi)SioEqSdE 1gradUE 52u注意要點(diǎn)注意要點(diǎn)例題例題: 求均勻帶電球面內(nèi)外的電勢分布，設(shè)球面電

11、量求均勻帶電球面內(nèi)外的電勢分布，設(shè)球面電量為為 ，半徑為，半徑為 QR解解 RoQPrPr當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；Rr rrrQE2041 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，Rr 0 EP（1 1）球面內(nèi)任一點(diǎn)）球面內(nèi)任一點(diǎn) 的電勢的電勢Rr （ ） RRrrPPrdErdErdEl dEURQdrrQR0204141 RrdE（ ）P（2 2）球面外任一點(diǎn)）球面外任一點(diǎn) 的電勢的電勢Rr RoQPr rPPrdEl dEUrQdrrQr0204141 VrRq04RO電勢分布曲線電勢分布曲線1r例題例題:半徑為半徑為 R的無限長帶電圓柱，電荷體密度為的無限長帶電圓柱，電荷體密度為 ， 求離軸為求離軸為 r處的處的 U

12、=？R R.pr r解：由高斯定理求得各處的電場解：由高斯定理求得各處的電場Rr r r2RERro2 r r2o 0Uppl dEU設(shè)設(shè)r r, U, U = 0= 0Rr PprdEU 設(shè)設(shè) r= Rr= R處，處，U= 0U= 0 0 0Rrln2RUo2p drr2RPo2 po2rln2R rRln2Rdrr2RrdEUo20UPRro2p r2Eo R.prRr r r2RERro2 r r2o 22oRrorR2drr2URr 0r= 0處，處，2oR2 Rrln2RUo2p U= Umax=r2Eo 問題問題: 如果是一個(gè)無限長均勻帶電直線呢？如果是一個(gè)無限長均勻帶電直線呢？點(diǎn)

13、電荷系的電勢：點(diǎn)電荷系的電勢： 在點(diǎn)電荷系在點(diǎn)電荷系 的電場中的電場中k21qqq iq.P P任意點(diǎn)任意點(diǎn)P P處的電位處的電位 Ppl dEU l dEEEPk 21 PkPPldEldEldE21kokoorqrqrq 4442211kUUU 21 iioiiiPrqUU4電勢疊加原理電勢疊加原理u電勢疊加原理電勢疊加原理連續(xù)帶電體的電勢連續(xù)帶電體的電勢:+q.P取電荷元取電荷元 ，其在任意點(diǎn)，其在任意點(diǎn)P處的電勢：處的電勢：dqdqrpPoPr4dqdU 電勢是標(biāo)量，積分是標(biāo)量迭加。電勢是標(biāo)量，積分是標(biāo)量迭加。 電勢迭加比電場迭加要簡便。電勢迭加比電場迭加要簡便。注：注： PoPr4d

14、qU整個(gè)帶電體在任意點(diǎn)整個(gè)帶電體在任意點(diǎn)P處的電勢：處的電勢：例題例題: 計(jì)算電偶極子電場中任一點(diǎn)計(jì)算電偶極子電場中任一點(diǎn)的電勢。的電勢。 rqrqVP0044式中式中r+與與r-分別為分別為+q和和-q到到P點(diǎn)的距離，由圖可知點(diǎn)的距離，由圖可知yPx+q q re/2re/2Or+r r解解 ：設(shè)電偶極子如圖放置，電偶：設(shè)電偶極子如圖放置，電偶極子的電場中任一點(diǎn)極子的電場中任一點(diǎn)P P的電勢為的電勢為u疊加法應(yīng)用疊加法應(yīng)用302044cosrrPrqrVeeP 由于由于r re ，所以所以P點(diǎn)的電勢可寫為點(diǎn)的電勢可寫為2200cos2cos4cos21cos214 eeeePrrrqrrrr

15、qV因此因此 cos2errr cos2errr 例題例題: 計(jì)算均勻帶電計(jì)算均勻帶電Q的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)的圓環(huán)軸線上任意一點(diǎn)P電勢電勢RrxXo解：取環(huán)上電荷元解：取環(huán)上電荷元 ， dq其在其在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位點(diǎn)產(chǎn)生的電位dqr4dqdUo 22oxR4dq PU Q22oPxR4QU .Pr思考思考: 如果是均勻帶電圓盤，則電勢如何求解？如果是均勻帶電圓盤，則電勢如何求解？RrxXodq22oPxR4QU R4QUoP x4QUoP 相當(dāng)于點(diǎn)電荷相當(dāng)于點(diǎn)電荷22oxr4dqdU dq= 2 rdr xxR2dUU22o .Pr當(dāng)當(dāng)x= 0，1當(dāng)當(dāng)x R，2若是一帶電圓盤？若是一帶電圓盤？3討論：討論：u課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.理解掌握電勢及其梯度的概念和求解理解掌握電勢及其梯度的概念和求解0 Ll