3.2條件分布及其獨(dú)立性ppt課件

1、 32 條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 一、條件分布與獨(dú)立性的一般概念 二、離散型隨機(jī)變量的條件概率分布與獨(dú)立性 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)與獨(dú)立性 闡明 一、條件分布與獨(dú)立性的一般概念 條件分布函數(shù) 對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x 我們記條件概率PXx|A為F(x|A) 并稱(chēng)F(x|A)(x)為在A發(fā)生的條件下X的條件分布函數(shù) 設(shè)AYy 且PYy0 則有 )(),(,)|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY (320) 一般地 兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y之間存在著相互聯(lián)系 因而一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能會(huì)影響另一隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 (320)表明聯(lián)合分布函數(shù)包含了X與Y相互聯(lián)系的內(nèi)容 一、條件分布與獨(dú)立性

2、的一般概念 條件分布函數(shù) 對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x 我們記條件概率PXx|A為F(x|A) 并稱(chēng)F(x|A)(x)為在A發(fā)生的條件下X的條件分布函數(shù) 設(shè)AYy 且PYy0 則有 )(),(,)|(yFyxFyYPyYxXPyYxFY (320) 對(duì)給定的x和y 如果事件Xx與事件Yy獨(dú)立 則有 FX(x)FY(y) (321)F(x y) PXx Yy PXxPYy 此時(shí) F(x|Yy)FX(x) 一、條件分布與獨(dú)立性的一般概念 條件分布函數(shù) 對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x 我們記條件概率PXx|A為F(x|A) 并稱(chēng)F(x|A)(x)為在A發(fā)生的條件下X的條件分布函數(shù) 定義36(隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性) 設(shè)隨機(jī)

3、變量X Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x y) 邊緣分布函數(shù)分別為FX(x) FY(y) 如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x和y 恒有 F(x y)FX(x)FY (y) 則稱(chēng)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立 例35 設(shè)X服從0 1上的均勻分布 求在已知X0.5的條件下X的條件分布函數(shù) 解 當(dāng)x0.5時(shí) PXx X0.50 當(dāng)x0.5時(shí) PXx X0.5 F(x)F(0.5) F(x)0.5 提示要求5 . 05 . 0,) 5 . 0|(XPXxXPXxF 故先求 PXx X0.5 其中F(x)為X的分布函數(shù) 我們知道 . 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxF 例35 設(shè)X服從0 1上的均勻分布 求在已知X0.5的條件

4、下X的條件分布函數(shù) 解 當(dāng)x0.5時(shí) PXx X0.50 當(dāng)x0.5時(shí) PXx X0.5 F(x)F(0.5) F(x)0.5 其中F(x)為X的分布函數(shù) 我們知道 . 1, 1, 10, 0, 0)(xxxxxF 于是 當(dāng)X0.5時(shí) . 1, 5 . 0, 15 . 0, 5 . 05 . 0,xxxXxXP 例35 設(shè)X服從0 1上的均勻分布 求在已知X0.5的條件下X的條件分布函數(shù) 解 當(dāng)x0.5時(shí) PXx X0.50 當(dāng)x0.5時(shí) . 1, 5 . 0, 15 . 0, 5 . 05 . 0,xxxXxXP 從而可得 . 1, 1, 15 . 0, 12, 5 . 0, 0) 5 .

5、0|(xxxxXxF 5 . 05 . 0,5 . 05 . 0,) 5 . 0|(XxXPXPXxXPXxF5 . 05 . 0,5 . 05 . 0,) 5 . 0|(XxXPXPXxXPXxF 定理31(獨(dú)立性的判斷) 隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X所生成的任何事件與Y生成的任何事件獨(dú)立 即 對(duì)任意實(shí)數(shù)集A和B 有 PXA YBPXAPYB (322)定理32 如果隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立 則對(duì)任意函數(shù)g1(x) g2(y) 均有g(shù)1(X)與g2(Y)相互獨(dú)立 定義37(n個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性) 設(shè)X1 X2 Xn是n個(gè)隨機(jī)變量 其聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1 x2 xn) 邊緣分布函數(shù)

6、為Fi (xi)(i1 2 n) 如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x1 x2 xn恒有 F(x1 x2 xn)F1(x1)F2(x2) Fn(xn) 則稱(chēng)X1 X2 Xn相互獨(dú)立 (1) pi|j 0 (2)ijip1| 二、離散型隨機(jī)變量的條件概率分布與獨(dú)立性 條件概率分布 設(shè)(X Y)是二維離散型隨機(jī)向量 其概率分布為 PXxi Yyjpij i j1 2 則由條件概率公式 當(dāng)PYyj0時(shí) 有 YjijjjijippyYPyYxXPyYxXP,| (323) 其中PXxi|Yyj是在事件“Yyj ”發(fā)生的條件下 事件“Xxi發(fā)生的條件概率 通常記作pi|j 不難驗(yàn)證 數(shù)列pi|j(i1 2 )滿足概率分布所

7、要求的性質(zhì) 二、離散型隨機(jī)變量的條件概率分布與獨(dú)立性 條件概率分布 設(shè)(X Y)是二維離散型隨機(jī)向量 其概率分布為 PXxi Yyjpij i j1 2 則由條件概率公式 當(dāng)PYyj0時(shí) 有 YjijjjijippyYPyYxXPyYxXP,| (323) 其中PXxi|Yyj是在事件“Yyj ”發(fā)生的條件下 事件“Xxi發(fā)生的條件概率 通常記作pi|j 我們稱(chēng) PXxi |Yyjpi|j i1 2 為已知Yyj的條件下X的條件概率分布 解 在Y0時(shí) X的條件概率分布為 例36 設(shè)X與Y的聯(lián)合概率分布如下表 求Y0時(shí)X的條件概率分布以及X0時(shí)Y的條件概率分布 8 . 0005. 02 . 02

8、 . 000, 00| 0YPYXPYXP 2 . 025. 005. 000, 10| 1YPYXPYXP 025. 0000, 20| 2YPYXPYXP8 . 0005. 02 . 02 . 000, 00| 0YPYXPYXP 2 . 025. 005. 000, 10| 1YPYXPYXP 025. 0000, 20| 2YPYXPYXP 例36 設(shè)X與Y的聯(lián)合概率分布如下表 求Y0時(shí)X的條件概率分布以及X0時(shí)Y的條件概率分布 解 在X0時(shí) Y的條件概率分布為 3102 . 01 . 01 . 000, 10| 1XPXYPXYP 323 . 02 . 000, 00| 0XPXYP

9、XYP 03 . 0000, 20| 2XPXYPXYP3102 . 01 . 01 . 000, 10| 1XPXYPXYP 323 . 02 . 000, 00| 0XPXYPXYP 03 . 0000, 20| 2XPXYPXYP 定理33(獨(dú)立性的判斷) 設(shè)X Y是離散型隨機(jī)變量 其聯(lián)合概率分布為 PXxi Yyjpij (i j1 2 )邊緣概率分布分別為piX和pjY(i j1 2 ) 則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 pijpiXpjY (i j1 2 ) (327) 例37 設(shè)X與Y的聯(lián)合概率分布如下表 判斷X與Y是否相互獨(dú)立? 由于 PX0010203 PY10103015055

10、 而 PX0 Y101 可見(jiàn) PX0 Y1PX0PY1 所以X與Y不獨(dú)立 解 在前一節(jié)討論中 我們得知 由聯(lián)合概率分布可以確定邊緣概率分布 但是由邊緣概率分布一般不能確定聯(lián)合概率分布 比較表32中的兩個(gè)不同聯(lián)合概率分布 我們注意到它們具有相同的邊緣概率分布 應(yīng)注意的問(wèn)題 表32 具有相同邊緣概率分布的兩個(gè)不同的聯(lián)合概率分布 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)與獨(dú)立性 分析 設(shè)(X Y)是連續(xù)型隨機(jī)向量 分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F(x y)和f(x y) 我們希望考慮在Yy的條件下X的條件分布 由于Yy是一個(gè)零概率事件 ,|yYPyYxXPyYxXP (328) 的分子、分母均為0 因而直接根據(jù)條

11、件概率定義來(lái)考慮X的條件分布行不通 為此 我們通過(guò)極限來(lái)定義條件分布 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)與獨(dú)立性 分析 設(shè)(X Y)是連續(xù)型隨機(jī)向量 分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F(x y)和f(x y) 我們希望考慮在Yy的條件下X的條件分布 |lim|0yYyyxXPyYxXPy ,lim0yYyyPyYyyxXPy yyyYyyyxyttftutufd)(d d),(lim0 )(d),(yfuyufYx (329) xYYXuyfyufyxFd)(),()|(| (330) )(d),(|yfuyufyYxXPYx (329) 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)與獨(dú)立性 條件密度函數(shù) 設(shè)(X

12、Y)是連續(xù)型隨機(jī)向量 密度函數(shù)為f(x y) 通過(guò)極限運(yùn)算我們得到 對(duì)給定的y 如果fY(y)0 則稱(chēng)PXx|Yy為Yy的條件下X的條件分布函數(shù) 記作FX|Y (x|y) 類(lèi)似地 可以討論在Xx的條件下 Y的條件分布 由(329)知 記)(),()|(|yfyxfyxfYYX 稱(chēng)fX|Y(x|y)為Yy的條件下X的條件密度函數(shù) )(),()|(|yfyxfyxfYYX 稱(chēng)fX|Y(x|y)為Yy的條件下X的條件密度函數(shù) 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)與獨(dú)立性 設(shè)(X Y)是連續(xù)型隨機(jī)向量 密度函數(shù)為f(x y) 如果fX(x)0 fY(y)0 那么 由條件密度函數(shù)的定義 我們?nèi)菀字?密度函

13、數(shù)有下列乘法公式 f(x y)fX(x)fY |X(y|x)fY (y)fX|Y(x|y) (333)條件密度函數(shù) )(),()|(|yfyxfyxfYYX )(),()|(|xfyxfxyfXXY ., 0,1|,121)(),()|(22|其他xyxxfyxfxyfXXY ., 0, 1|,12d),()(2其他xxyyxfxfX , 0, 1,1),(22其他yxyxf 例38(1) 設(shè)(X Y)是在D(x y)|x2y21上服從均勻分布的隨機(jī)向量 求fY|X(y|x) 由于(X Y)的密度函數(shù)為 解 于是其邊緣密度函數(shù)fX(x)為 于是 對(duì)一切x(|x|1) 有 ., 0,1|,121

14、)(),()|(22|其他yxyyfyxfyxfYYX ., 0, 1|,12d),()(2其他yyxyxfyfY 例38(2) 設(shè)(X Y)是在D(x y)|x2y21上服從均勻分布的隨機(jī)向量 求fX|Y (x|y) 由于(X Y)的密度函數(shù)為 解 于是其邊緣密度函數(shù)fY(y)為 于是 對(duì)一切y(|y|1) 有 , 0, 1,1),(22其他yxyxf 22211221)()1 (21 21e1 21yx 222112)()1 (21 21e1 21yx 222222222121212122)( 2)()(2)()1 (21 221e 21e1 21yyyxx 例 39 設(shè)) ; , ; ,

15、(),(222121NYX 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x) 解 由3 1 知 ), ,(211NX), ,(222NY 于是 解 )(),()|(|yfyxfyxfYYX 22211221)()1 (21 21e1 21yx 例 39 設(shè)) ; , ; ,(),(222121NYX 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x) 解 由3 1 知 ), ,(211NX), ,(222NY 于是 解 )(),()|(|yfyxfyxfYYX 故 在Yy的條件下 X服從正態(tài)分布 X)1 ( ),(2212211yN 對(duì)稱(chēng)地 在Xx的條件下 Y服從正態(tài)分布 )1 ( ),(222

16、1122xNY xyYXtutfufdd)()( xyYXYXttfuufyFxFyxFd)(d)()()(),( 定理34(獨(dú)立性的判斷) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X Y)的密度函數(shù)為f(x y) 邊緣密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y) 則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 f(x y)fX(x)fY(y) (334) 必要性 如果X與Y相互獨(dú)立 則對(duì)任意x y 有 證明 于是fX(x)fY(y)是(X Y)的密度函數(shù) 即 f(x y)fX(x)fY(y) xyYXttfuufd)(d)( xyYXtutfufyxFdd)()(),( 定理34(獨(dú)立性的判斷) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)向量(X Y)的密度函數(shù)為f(

17、x y) 邊緣密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y) 則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 f(x y)fX(x)fY(y) (334) 證明 充分性 若f(x y)fX(x)fY(y) 那么 )()(yFxFyX 從而X與Y相互獨(dú)立 例310(1) 設(shè)隨機(jī)向量(X Y)的密度函數(shù)為 , 0, 10 , 10,4),(其他yxxyyxf 判斷X與Y是否相互獨(dú)立 解 易知 , 0, 10,2)(其他xxxfX ., 0, 10,2)(其他yyyfY 由于 f(x y)fX(x)fY(y) 故X與Y相互獨(dú)立 例310(2) 設(shè)隨機(jī)向量(X Y)的密度函數(shù)為判斷X與Y是否相互獨(dú)立 , 0, 10,8),(其他yxxyyxg , 0, 10),1 (4)(2其他xxxxgX 解 易知 ., 0, 10,4)(2其他yyygY 對(duì)任意滿足1x0y00的點(diǎn)(x0 y0) 有g(shù)(x0 y0)0 但 0)1 (16)()(3020000yxxy