科大自控第二章1

1、2022-4-271第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是指描述系統(tǒng)當(dāng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式是指描述系統(tǒng)當(dāng)中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型具有非唯一性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型具有非唯一性，主要形式有，主要形式有微分方程、傳遞微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、結(jié)構(gòu)圖函數(shù)、頻率特性、結(jié)構(gòu)圖和和信號(hào)流圖信號(hào)流圖等。等。同一系統(tǒng)不同形式的數(shù)學(xué)模型之間可以相互轉(zhuǎn)換同一系統(tǒng)不同形式的數(shù)學(xué)模型之間可以相互轉(zhuǎn)換建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。2022-4-272控制工程中將建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的過程簡(jiǎn)稱為控制工程中將建立

2、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的過程簡(jiǎn)稱為建模建模建模的方法：建模的方法：機(jī)理分析法（解析法）機(jī)理分析法（解析法）和和實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法建模的原則：建模的原則：一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該折中考慮一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該折中考慮模型的模型的簡(jiǎn)化性簡(jiǎn)化性與與分析結(jié)果的準(zhǔn)確性分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。建模時(shí)，必須對(duì)控制系統(tǒng)的工作原理以及構(gòu)成系統(tǒng)的各個(gè)建模時(shí)，必須對(duì)控制系統(tǒng)的工作原理以及構(gòu)成系統(tǒng)的各個(gè)部分有一個(gè)全面的了解，這就要求設(shè)計(jì)人員必須具備扎實(shí)部分有一個(gè)全面的了解，這就要求設(shè)計(jì)人員必須具備扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，并且掌握一定廣度的專業(yè)知識(shí)。的理論基礎(chǔ)，并且掌握一定廣度的專業(yè)知識(shí)。2022-4-273第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1控制

3、系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立2-2傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)2-3結(jié)構(gòu)圖及其等效變換結(jié)構(gòu)圖及其等效變換2-4信號(hào)流圖信號(hào)流圖2-5脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)2-6傳遞函數(shù)描述與轉(zhuǎn)換的傳遞函數(shù)描述與轉(zhuǎn)換的MATLAB方法方法2022-4-2741.將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)單向環(huán)節(jié)單向環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入和輸出信號(hào)。，確定每一環(huán)節(jié)的輸入和輸出信號(hào)。 所謂單向環(huán)節(jié)是指此環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與后面環(huán)節(jié)的存在與否沒有系所謂單向環(huán)節(jié)是指此環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與后面環(huán)節(jié)的存在與否沒有系。 2.根據(jù)個(gè)環(huán)節(jié)的工作原理和遵循的物理學(xué)的基本定律（根據(jù)個(gè)環(huán)節(jié)的工作原理和遵循的物理學(xué)的基本定律（基爾霍夫定律、基爾霍

4、夫定律、牛頓定律、熱力學(xué)定律、電磁感應(yīng)定律、能量守恒定律等牛頓定律、熱力學(xué)定律、電磁感應(yīng)定律、能量守恒定律等）建立各）建立各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型（微分方程或代數(shù)方程）。環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型（微分方程或代數(shù)方程）。3.聯(lián)立描述各環(huán)節(jié)變量之間關(guān)系的微分方程，消除中間變量，最后得到聯(lián)立描述各環(huán)節(jié)變量之間關(guān)系的微分方程，消除中間變量，最后得到描述整個(gè)系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系的微分方程。描述整個(gè)系統(tǒng)輸入輸出之間關(guān)系的微分方程。4.通常還按照慣例把微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)通常還按照慣例把微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的右邊，而與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的左邊，方程兩寫在方程的右邊

5、，而與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的左邊，方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。2.1 2.1 微分方程微分方程一、建立控制系統(tǒng)微分方程的步驟一、建立控制系統(tǒng)微分方程的步驟2022-4-275例例2-1 圖圖2-1所示為所示為RLC串聯(lián)電路，串聯(lián)電路， ui(t)為輸入量，為輸入量， uo(t)為輸出量。為輸出量。 列寫該電路的微分方程。列寫該電路的微分方程。RLCui(t)uo(t)i(t)圖圖2-1 RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路解解:1.引入中間變量。設(shè)回路電流為引入中間變量。設(shè)回路電流為i(t) (t)u(t)udtdi(t)LRi(t)io3.消去中間變量。將電路中電容元件的約束

6、關(guān)系方程帶入上式消去中間變量。將電路中電容元件的約束關(guān)系方程帶入上式dt(t)duCi(t)o整理可得：整理可得：(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCioo2o2RLT1RCT2(t)u(t)udt(t)duTdt(t)udTTioo22o221若令若令可得：可得：2.列寫回路的列寫回路的KVL方程方程二、環(huán)節(jié)和系統(tǒng)建模舉例二、環(huán)節(jié)和系統(tǒng)建模舉例1、電氣系統(tǒng)、電氣系統(tǒng) 2022-4-2762、機(jī)械系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng) 例例2-2 圖圖2-2是彈簧是彈簧質(zhì)量質(zhì)量阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)。設(shè)外作用力阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)。設(shè)外作用力F為為輸入量，位移輸入量，位移x為輸出量，試求該系統(tǒng)的微分方程

7、。為輸出量，試求該系統(tǒng)的微分方程。mFxkf圖圖2-2 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng)解：解：gfkFFFF中間變量：為了方便，在建模過程中引入的一中間變量：為了方便，在建模過程中引入的一些變量。些變量。消去中間變量的方法：消去中間變量的方法： maF根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律用輸入量和輸出量表示中間變量，帶入基用輸入量和輸出量表示中間變量，帶入基本方程中。本方程中。2022-4-27kxFkdtdxfFf22dtxda 22dtxdmdtdxfkxFfkFFFFi maFiFkxdtdxfdtxdm22消去中間變量消去中間變量整理成標(biāo)準(zhǔn)形式整理成標(biāo)準(zhǔn)形式系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)

8、學(xué)模型元件約束關(guān)系方程元件約束關(guān)系方程基本數(shù)學(xué)關(guān)系方程基本數(shù)學(xué)關(guān)系方程mFxkf圖圖2-2 彈簧彈簧-質(zhì)量質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng)2022-4-278例例2-3 求圖求圖2-4所示他激直流電動(dòng)機(jī)在電樞控制情況下的微分方程。所示他激直流電動(dòng)機(jī)在電樞控制情況下的微分方程。圖中，圖中， 為電動(dòng)機(jī)角速度（為電動(dòng)機(jī)角速度（rad/s），），Mc為折算到電機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩為折算到電機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩 （N.m），），Ua為電樞電壓（為電樞電壓（V）。設(shè)激磁電流恒定，并忽略電樞效應(yīng)。）。設(shè)激磁電流恒定，并忽略電樞效應(yīng)。ia圖圖2-3 電樞控制的他激直流電動(dòng)機(jī)電樞控制的他激直流電動(dòng)機(jī)-UaMceaUf解：

9、解：圖圖2-4所示他激直流電動(dòng)機(jī)在電樞控制情況所示他激直流電動(dòng)機(jī)在電樞控制情況 下：下： Ua為輸入，為輸入， 為輸出量，為輸出量， Mc為擾動(dòng)量為擾動(dòng)量為了便于列寫方程，引進(jìn)中間變量為了便于列寫方程，引進(jìn)中間變量：電動(dòng)機(jī)電樞兩端的反電勢(shì)電動(dòng)機(jī)電樞兩端的反電勢(shì)ea（V）；電）；電樞電流樞電流ia（A）；電動(dòng)機(jī)軸上產(chǎn)生的電）；電動(dòng)機(jī)軸上產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩磁轉(zhuǎn)矩M（N.m）。）。 2022-4-279 電樞回路電樞回路KVL方程：方程： 反電動(dòng)勢(shì)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系方程：反電動(dòng)勢(shì)與轉(zhuǎn)速的關(guān)系方程：電動(dòng)機(jī)軸上產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩電動(dòng)機(jī)軸上產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩：電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程：電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程：J折算到電動(dòng)機(jī)軸

10、上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（折算到電動(dòng)機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kgm2）。）。)(122cmeacmeaaemeameaMCCRdtdMCCLuCdtdCCJRdtdCCJL聯(lián)立、消去中間變量，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式聯(lián)立、消去中間變量，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式 -UaMceaUfaaaaaaueiRdtdiLeaCe amiCM cMMdtdJCe電動(dòng)機(jī)的電勢(shì)常數(shù)（電動(dòng)機(jī)的電勢(shì)常數(shù)（Vs/rad）；）；Cm電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)（電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)（Nm/A）；）；2022-4-2710電動(dòng)機(jī)的電動(dòng)機(jī)的電磁時(shí)間常數(shù)電磁時(shí)間常數(shù)，單位，單位: saaaRLT meaMCCJRTeuCK1meamCCRK將所得數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)組合寫成

11、具有一定實(shí)際意義的物理量，即令將所得數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)組合寫成具有一定實(shí)際意義的物理量，即令電動(dòng)機(jī)的電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)機(jī)電時(shí)間常數(shù)，單位，單位：s電動(dòng)機(jī)的電動(dòng)機(jī)的電壓作用系數(shù)電壓作用系數(shù)，單位，單位: rad/(Vs)電動(dòng)機(jī)的電動(dòng)機(jī)的負(fù)載作用系數(shù)負(fù)載作用系數(shù)，單位：，單位：)/(mkgsrad2022-4-2711電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化規(guī)律電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化規(guī)律(t)(t)取決于兩種輸入信號(hào)取決于兩種輸入信號(hào)電樞電壓電樞電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化規(guī)律。根據(jù)線性系統(tǒng)的和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化規(guī)律。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理：兩種輸入信號(hào)同時(shí)作疊加原理：兩種輸入信號(hào)同時(shí)作用下轉(zhuǎn)速的變化，等于各輸入信號(hào)單獨(dú)作

12、用時(shí)轉(zhuǎn)速變化的疊加。用下轉(zhuǎn)速的變化，等于各輸入信號(hào)單獨(dú)作用時(shí)轉(zhuǎn)速變化的疊加。電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的跟隨特性，是指負(fù)載轉(zhuǎn)矩電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的跟隨特性，是指負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc一定時(shí)，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速跟隨一定時(shí)，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速跟隨電樞電壓電樞電壓Ua變化的特性變化的特性隨動(dòng)系統(tǒng)隨動(dòng)系統(tǒng)研究電動(dòng)機(jī)的抗干擾特性時(shí)，電動(dòng)機(jī)的電樞電壓恒定，討論電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速研究電動(dòng)機(jī)的抗干擾特性時(shí)，電動(dòng)機(jī)的電樞電壓恒定，討論電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化的規(guī)律隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化的規(guī)律恒值調(diào)節(jié)系統(tǒng)恒值調(diào)節(jié)系統(tǒng))(22ccamauMMaMdtdMTKuKdtdTdtdTT電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型2022-4-2712三、相似系統(tǒng)、相似量三、相似系統(tǒng)、相似量

13、Fkxdtdxfdtxdm22 例例2-2機(jī)械位移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型機(jī)械位移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 例例2-1的的RLC串聯(lián)電路中，串聯(lián)電路中，Cquoq作為輸出時(shí)的數(shù)學(xué)模型作為輸出時(shí)的數(shù)學(xué)模型i22uqC1dtdqRdtqdL量量q作為被控量作為被控量，則，則(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCioo2o2若以電容元件極板上的電荷若以電容元件極板上的電荷2022-4-2713象這樣象這樣具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。相相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中位于對(duì)應(yīng)位置上的變量或參數(shù)稱為相似量。似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中位于對(duì)應(yīng)位置上的變量或參數(shù)稱

14、為相似量。機(jī)械位移系統(tǒng)機(jī)械位移系統(tǒng)mfkxFRLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路LR1/CqUi按照輸入量定義相似系統(tǒng)：按照輸入量定義相似系統(tǒng)： 力力-電壓相似系統(tǒng)電壓相似系統(tǒng) 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，利用相似系統(tǒng)的概念可相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系，利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，并依此出現(xiàn)了仿以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，并依此出現(xiàn)了仿真研究方法。真研究方法。i22uqC1dtdqRdtqdLFkxdtdxfdtxdm222022-4-2714四、四、微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示 微分方程也稱動(dòng)態(tài)特性方程。當(dāng)

15、輸入為恒定值，電動(dòng)機(jī)處于平衡狀態(tài)微分方程也稱動(dòng)態(tài)特性方程。當(dāng)輸入為恒定值，電動(dòng)機(jī)處于平衡狀態(tài)時(shí)，變量的各階導(dǎo)數(shù)均為時(shí)，變量的各階導(dǎo)數(shù)均為0，可得電動(dòng)機(jī)的靜態(tài)特性方程，可得電動(dòng)機(jī)的靜態(tài)特性方程當(dāng)電動(dòng)機(jī)在工作在某靜態(tài)工作點(diǎn)當(dāng)電動(dòng)機(jī)在工作在某靜態(tài)工作點(diǎn)(Uao,o o,M,Mcoco)附近的一個(gè)小范圍內(nèi)時(shí)，如附近的一個(gè)小范圍內(nèi)時(shí)，如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，電動(dòng)機(jī)將偏離當(dāng)前的平衡狀態(tài)，系統(tǒng)各變量都將發(fā)生果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，電動(dòng)機(jī)將偏離當(dāng)前的平衡狀態(tài)，系統(tǒng)各變量都將發(fā)生變化。用變化。用表示變化量，電動(dòng)機(jī)在原平衡狀態(tài)附近運(yùn)動(dòng)的各變量的增量表示變化量，電動(dòng)機(jī)在原平衡狀態(tài)附近運(yùn)動(dòng)的各變量的增量表示式為表示式為這是一個(gè)代數(shù)

16、方程，它表示平衡狀態(tài)下輸入量、輸出量之間的關(guān)系，也稱這是一個(gè)代數(shù)方程，它表示平衡狀態(tài)下輸入量、輸出量之間的關(guān)系，也稱為為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型。線性系統(tǒng)的靜特性可以用一個(gè)。線性系統(tǒng)的靜特性可以用一個(gè)線性代數(shù)方程線性代數(shù)方程描述。描述。)(22ccamauMMaMdtdMTKuKdtdTdtdTTcmauMKuK2022-4-2715在平衡狀態(tài)附近工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)微分方程的增量化表示式在平衡狀態(tài)附近工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)微分方程的增量化表示式線性系統(tǒng)微分方程的變量表示和增量表示線性系統(tǒng)微分方程的變量表示和增量表示具有相同的形式，非線性系統(tǒng)則不然。具有相同的形式，非線性系統(tǒng)則不然。0)(22ccamaum

17、maMdtMdTKuKdtdTdtdTTaaauuu0cccMMM0)(22ccamauMMaMdtdMTKuKdtdTdtdTT變量形式微分方程：變量形式微分方程：推導(dǎo)過程2022-4-2716五、五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化以上列舉的各元件，都假設(shè)其具有線性特性，因而求得的數(shù)學(xué)模型均是線以上列舉的各元件，都假設(shè)其具有線性特性，因而求得的數(shù)學(xué)模型均是線性微分方程。求解線性常微分方程，可得輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的性微分方程。求解線性常微分方程，可得輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)，時(shí)域響應(yīng)，即被控量的實(shí)際值隨時(shí)間變化的規(guī)律即被控量的實(shí)際值隨時(shí)間變化的規(guī)律。但是。但是實(shí)際系統(tǒng)多多少少

18、都有非線性，嚴(yán)格地講，其特性只能用非線性方程描述實(shí)際系統(tǒng)多多少少都有非線性，嚴(yán)格地講，其特性只能用非線性方程描述目前還沒有求解非線性方程的統(tǒng)一的方法目前還沒有求解非線性方程的統(tǒng)一的方法在一定條件下對(duì)非線性特性進(jìn)行線性化，將非線性方程用近似的線性方程在一定條件下對(duì)非線性特性進(jìn)行線性化，將非線性方程用近似的線性方程來代替，就可以利用線性系統(tǒng)理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，從而避免了非來代替，就可以利用線性系統(tǒng)理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，從而避免了非線性造成的數(shù)學(xué)處理上的困難，而且所得到的結(jié)果可以在一定范圍內(nèi)近似線性造成的數(shù)學(xué)處理上的困難，而且所得到的結(jié)果可以在一定范圍內(nèi)近似地反映系統(tǒng)的真實(shí)特性。地反映系統(tǒng)

19、的真實(shí)特性。2022-4-2717非線性數(shù)學(xué)模型線性化的條件非線性數(shù)學(xué)模型線性化的條件1.靜態(tài)非線性特性。靜態(tài)非線性特性。)(xfy3.系統(tǒng)在某個(gè)靜態(tài)工作點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)工作，即：微偏系統(tǒng)在某個(gè)靜態(tài)工作點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)工作，即：微偏)(00 xfy 2.非線性特性不嚴(yán)重，在工作點(diǎn)處連續(xù)，沒有非線性特性不嚴(yán)重，在工作點(diǎn)處連續(xù)，沒有 折斷點(diǎn)、跳躍點(diǎn)等。折斷點(diǎn)、跳躍點(diǎn)等。y0 x0yxxy圖2-5 非線性函數(shù)的線性化yyyxxxoo這樣，在這樣，在 處將非線性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)處將非線性函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù))f(xy00202200)()(! 21)()()()(00 xxdxxfdxxdxxdfxf

20、xfyxx2022-4-2718當(dāng)當(dāng) 足夠小時(shí)，忽略足夠小時(shí)，忽略 的二階以上高階無窮小量得的二階以上高階無窮小量得0 xx 0 xx )()()(000 xxdxxdfxfyx)(00 xxKyy或)(00 xfy 0)(xdxxdfK 其中非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型這種線性化的方法也叫微偏法，其實(shí)這種線性化的方法也叫微偏法，其實(shí)質(zhì)是在系統(tǒng)工作點(diǎn)附近的小偏差范圍質(zhì)是在系統(tǒng)工作點(diǎn)附近的小偏差范圍內(nèi)，以切線代替實(shí)際曲線對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行內(nèi)，以切線代替實(shí)際曲線對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究。使用時(shí)應(yīng)注意其適用范圍。研究。使用時(shí)應(yīng)注意其適用范圍。xyy0 x0yx圖圖2-5 非線性函數(shù)的線性化非線性函數(shù)的線性化xy2022

21、-4-2719例例2-6 三相橋式可控硅整流電路的輸入量為控制角三相橋式可控硅整流電路的輸入量為控制角，輸出量為整流電，輸出量為整流電壓壓Ud。輸入。輸入-輸出之間的關(guān)系為輸出之間的關(guān)系為 。UI為輸入交流電電為輸入交流電電壓的有效值。求其線性化的書寫模型。壓的有效值。求其線性化的書寫模型。cos34. 2IdUU 解：解：顯然顯然Ud是是的非線性連續(xù)函數(shù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在。的非線性連續(xù)函數(shù)，且各階導(dǎo)數(shù)存在。 設(shè)額定工作點(diǎn)為設(shè)額定工作點(diǎn)為0， Ud0，當(dāng)控制角當(dāng)控制角在在0附近的小范圍內(nèi)變化時(shí)，將非線性函數(shù)在附近的小范圍內(nèi)變化時(shí)，將非線性函數(shù)在0處展開成處展開成泰勒級(jí)數(shù)并取其線性部分泰勒級(jí)數(shù)并取

22、其線性部分)(000ddUUUdddKddUd0令令 即非線性函數(shù)即非線性函數(shù) 在工作點(diǎn)（在工作點(diǎn)（ 0， Ud0 ）處）處切線的斜率切線的斜率 ，則有則有cos34. 2IdUUKUd用變量表示增量，可得用變量表示增量，可得KUd2022-4-2720線性化是相對(duì)于某一額定工作點(diǎn)（平衡點(diǎn)）進(jìn)行的。工作點(diǎn)不同，則對(duì)線性化是相對(duì)于某一額定工作點(diǎn)（平衡點(diǎn)）進(jìn)行的。工作點(diǎn)不同，則對(duì)應(yīng)的切線斜率不同，線性化微分方程的系數(shù)也就不同，因此，在線性化之應(yīng)的切線斜率不同，線性化微分方程的系數(shù)也就不同，因此，在線性化之前，必須確定元件的靜態(tài)工作點(diǎn)。前，必須確定元件的靜態(tài)工作點(diǎn)。變量的變化必須是小范圍的。變量只有

23、在足夠小的范圍內(nèi)變化，才能保變量的變化必須是小范圍的。變量只有在足夠小的范圍內(nèi)變化，才能保證線性化具有足夠的精度。證線性化具有足夠的精度。線性化方程通常是以增量方程描述的。線性化方程通常是以增量方程描述的。如果元件或系統(tǒng)存在本質(zhì)非線性，即函數(shù)具有間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)，微偏理如果元件或系統(tǒng)存在本質(zhì)非線性，即函數(shù)具有間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)，微偏理論不再適用，而只能利用非線性系統(tǒng)理論解決。論不再適用，而只能利用非線性系統(tǒng)理論解決。求取非線性環(huán)節(jié)的線性化數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)注意下列幾點(diǎn)求取非線性環(huán)節(jié)的線性化數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)注意下列幾點(diǎn)2022-4-2721六、線性系統(tǒng)的微分方程六、線性系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)是由多個(gè)元件組成的。

24、在編寫控制系統(tǒng)的微分控制系統(tǒng)是由多個(gè)元件組成的。在編寫控制系統(tǒng)的微分方程時(shí)，通常是方程時(shí)，通常是先先列寫組成系統(tǒng)的各單向元件的方程，列寫組成系統(tǒng)的各單向元件的方程，然后然后按照它們?cè)谙到y(tǒng)中的連接情況將方程合并，消去中按照它們?cè)谙到y(tǒng)中的連接情況將方程合并，消去中間變量；間變量；最后最后整理出只包含系統(tǒng)輸出變量（即被控量）整理出只包含系統(tǒng)輸出變量（即被控量）和輸入變量（包括給定輸入和擾動(dòng)輸入）的微分方程，和輸入變量（包括給定輸入和擾動(dòng)輸入）的微分方程，并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。在列寫過程中，為使信號(hào)的傳送關(guān)系并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式。在列寫過程中，為使信號(hào)的傳送關(guān)系更加明確，往往還要畫出相應(yīng)的方塊圖。更加明確，往往還

25、要畫出相應(yīng)的方塊圖。2022-4-2722例例2-8 編寫圖編寫圖2-11所示轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的微分方程所示轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的微分方程功率放大器電動(dòng)機(jī)負(fù)載減速器運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器電位器測(cè)速發(fā)電機(jī)uf反饋連接ugu1u2Mc圖圖2-11 轉(zhuǎn)速自動(dòng)控制系統(tǒng)原理圖轉(zhuǎn)速自動(dòng)控制系統(tǒng)原理圖2022-4-2723解：解：系統(tǒng)中電動(dòng)機(jī)為被控對(duì)象，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速系統(tǒng)中電動(dòng)機(jī)為被控對(duì)象，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速為為被控量，電位器的輸出被控量，電位器的輸出Ug為給定輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為給定輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc為擾動(dòng)輸入?？刂葡到y(tǒng)由為擾動(dòng)輸入?？刂葡到y(tǒng)由輸入電位器、運(yùn)算放輸入電位器、運(yùn)算放大器大器、運(yùn)算放大器、運(yùn)算放大器、功率放大器、被控對(duì)

26、象、功率放大器、被控對(duì)象和和測(cè)速反饋裝置測(cè)速反饋裝置等組成。等組成。運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器起信號(hào)求差并放大的作用；運(yùn)算放大器起信號(hào)求差并放大的作用；運(yùn)算放大器（連同（連同RC網(wǎng)絡(luò)）網(wǎng)絡(luò)）起倒相和校正的作用，它使系統(tǒng)穩(wěn)定工作且有較好的動(dòng)態(tài)性能。該系統(tǒng)的起倒相和校正的作用，它使系統(tǒng)穩(wěn)定工作且有較好的動(dòng)態(tài)性能。該系統(tǒng)的方塊圖如圖方塊圖如圖2-12所示。所示。 運(yùn)算放運(yùn)算放大器大器運(yùn)算放運(yùn)算放大器大器功率功率放大器放大器電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)測(cè)速測(cè)速發(fā)電機(jī)發(fā)電機(jī)ugufueu1u2uaMc圖圖2-12 轉(zhuǎn)速自動(dòng)控制系統(tǒng)方塊圖轉(zhuǎn)速自動(dòng)控制系統(tǒng)方塊圖2022-4-27241.運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器 efguKuuKu111)(2.運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器 )(1122udtduKu3.功率放大器功率放大器 23uKua4.電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī) )(22ccamaummaMdtdMTKuKdtdTdtdTT5.測(cè)速發(fā)電機(jī)連同分壓器測(cè)速發(fā)電機(jī)連同分壓器 ffKucmaumMKuKdtdTmaTT 一般有一般有 2022-4-