第三章線性映射與線性變換

1、矩陣論講義 哈爾濱工程大學理學院哈爾濱工程大學理學院 矩陣論教學團矩陣論教學團隊隊 Department of Mathematics, College of Sciences書后要求的習題書后要求的習題, ,主動自覺做主動自覺做, ,抽查和不定時收取抽查和不定時收取 使用講義使用講義 矩陣論講義自編待出版矩陣論講義自編待出版其他輔導類參考書（自選）其他輔導類參考書（自選）課課 程程 要要 求求作業(yè)要求作業(yè)要求矩陣論網(wǎng)站矩陣論網(wǎng)站 授課預計授課預計 (4學時學時)12第三章第三章 線性映射與線性變換線性映射與線性變換線性映射與線性變換線性映射與線性變換 線性變換的不變子空間線性變換的不變子空間

2、 3酉（正交）變換酉（正交）變換 正交投影正交投影 教教 學學 內(nèi)內(nèi) 容容 和和 基基 本本 要要 求求1, 理解線性映射及線性變換的概念，掌握線性映射及變理解線性映射及線性變換的概念，掌握線性映射及變 換換 的矩陣表示。掌握線性映射的值域、核等概念的矩陣表示。掌握線性映射的值域、核等概念 .重點重點: : 線性映射及線性變換線性映射及線性變換; ;不變子空間，酉變換；不變子空間，酉變換；難點難點: : 不變子空間不變子空間2, 理解線性變換的不變子空間得相關概念和性質(zhì)理解線性變換的不變子空間得相關概念和性質(zhì) 3, 理解線性變換的不變子空間得相關概念和性質(zhì)理解線性變換的不變子空間得相關概念和性

3、質(zhì) 線性映射與線性變換線性映射與線性變換3.11.3.1 線性映射的概念與性質(zhì)線性映射的概念與性質(zhì)線性映射線性映射定義定義1 設設 是數(shù)域是數(shù)域F 上的兩個線性空間上的兩個線性空間 為為 到到 的映射，如果的映射，如果 滿足：滿足：說明：說明：稱稱 為為 的值域。的值域。若若 ，則稱線性映射，則稱線性映射 為線性變換。為線性變換。若若 , 則稱則稱 為滿射為滿射.（1）稱）稱定義定義2 為零映射。為零映射。（2）稱）稱為恒等變換。為恒等變換。設設 是線性映射是線性映射 （3）稱）稱 為為T的負映射的負映射 ，其中，其中 均有：均有： 事實上，事實上， 由數(shù)由數(shù)k決定的數(shù)乘變換：決定的數(shù)乘變換：

4、 例例1.為為V 上的線性變換上的線性變換例例2 設設 ，對，對 定義映射定義映射 ： 驗證驗證T為為 上的線性變換上的線性變換 解答解答 顯然顯然T是映射；由于是映射；由于 T為為 上的線性變換上的線性變換 定理定理1 設設 為為 到到 的線性映射，則的線性映射，則(2).(4).(5). 是是 的子空間的子空間證明證明 （1）和（）和（2）顯然，下證（）顯然，下證（3）設設 為為 中的線性相關組，則存在中的線性相關組，則存在不全為零的不全為零的 ，使得：，使得： 于是有：于是有：由由T的線性性質(zhì)則有的線性性質(zhì)則有由此可得：由此可得：是線性相關的。是線性相關的。由此知（由此知（4）可由（）可

5、由（3）直接得到，下證（）直接得到，下證（5）證明證明:從而從而由于由于由上述證明知它對由上述證明知它對 中的中的線性運算封閉，線性運算封閉，故它是故它是 的子空間的子空間設設 都是都是 到到 的線性映射的線性映射, (1)若任意的若任意的 ,均有均有: ，則稱，則稱 線性映射線性映射 相等相等.記為：記為： 。(2)稱稱 為線性映射為線性映射 的線性組合的線性組合.定義定義3定義定義4設設 是是 到到 的線性映射的線性映射, 是是 到到的線性映射，令：的線性映射，令：則稱則稱 為為 與與 的復合或者乘積的復合或者乘積設設 均為均為 是線性映射是線性映射, 定理定理2和和 分別是零映射和負映射

6、，分別是零映射和負映射， ，則有：，則有： 若若 是是 上的線性變換上的線性變換,則記則記:設設 是線性映射是線性映射, 是是 的的定理定理3子空間子空間,則則:證明證明:(2)由于由于: ,所以所以即即: :例例3. 設設 ，對，對 有：有： 則則T 是是 上的線性變換。設：上的線性變換。設： 求求 和和解答：因為解答：因為 ，所以，所以而而可見可見 3.1.2 線性映射下矩陣的刻畫線性映射下矩陣的刻畫的基的基, 是是 的基的基. 設設 是線性映射，是線性映射， 記記: 則存在則存在 唯一唯一 的的 使得使得: 稱稱 為線性映射為線性映射 在基在基 與基與基 下的矩陣下的矩陣定義定義5是是

7、設設 則則 稱為線性映射在基稱為線性映射在基 與基與基下的坐標變換公式下的坐標變換公式定義定義6與基與基 下的下的的基的基, 是是 的基，則線性映射的基，則線性映射T 在基在基 設設 是線性映射，是線性映射， 是是 結(jié)論結(jié)論矩陣矩陣A是唯一的。是唯一的。設設 均為均為 線性映射線性映射, 定理定理4 為為 的基，且的基，且則有：則有：設設 ， , 定理定理5 為為上的矩陣映射上的矩陣映射,則則T在在 到到 的自然基底下的矩陣的自然基底下的矩陣即為即為 證明證明 對對 存在常數(shù)存在常數(shù) ,使得：使得： 是是 的基；的基； 與與定理定理6 設設 是線性映射，是線性映射，與與是是 的基；的基；由由

8、到到 陣為陣為P ；由；由為為Q ，T 在在 與與 下的矩陣為下的矩陣為的過渡矩的過渡矩到到 的過渡矩陣的過渡矩陣為為A ，T 在在 與與 下的矩陣為下的矩陣為B，則有：，則有： 此定理給出了四個矩陣之間的一個關系等式，此定理給出了四個矩陣之間的一個關系等式，即：即：PQAB之間的一個重要等式之間的一個重要等式定理定理4的證明的證明 由假設條件：由假設條件：（1） （2） （3） （4） 將式（將式（3）（）（4）代入（）代入（2）得到）得到（5） 再將（再將（1）代入（）代入（5）的左端得到）的左端得到比較兩端有比較兩端有從而：從而：例例4. 設設 ，對，對解答解答 （1） 由由 可知可知所

9、以所以 （2）根據(jù)定理）根據(jù)定理5所以，所以， 3.1.3 線性映射的核與值域線性映射的核與值域定義定義7 為為 的值域的值域. 特別的特別的:若若 為為 的核子空間的核子空間. 又記又記KerT定理定理7若若 則則 證明證明: 設設 是是 的基的基,則則:與基與基 下的下的的基的基, 是是 的基，的基，T 在基在基 設設 是線性映射，是線性映射， 是是 定理定理8矩陣為矩陣為A，則：，則：證明證明 由定理由定理5知知 而而 所以：所以： 下證明下證明 若若 ,則定理顯然成立；若則定理顯然成立；若 ，則可設：，則可設： 令令 ，并記，并記 則：則： ， ，并設，并設 線性無關，令線性無關，令則

10、有則有 由由 ，及，及 的線性無關性的線性無關性有：有：由此有：由此有： ， 無關無關即：即：反之，設反之，設 線性無關線性無關 令令 則則 因而得到：因而得到： ，由此有，由此有 線性無關，所以：線性無關，所以：從而有從而有 即即 所以所以 設設 是線性映射，則是線性映射，則定理定理9證明證明 ：設：設 ， 是一組基是一組基 由擴基定理，可以將其擴充成整個空間的基底：由擴基定理，可以將其擴充成整個空間的基底： 于是有：于是有：下面證明：下面證明： 線性無關。線性無關。 假設假設 即：即： 故故 ，則，則 使得：使得： 移項得到：移項得到：由次得到：由次得到：所以所以 線性無關。線性無關。 所

11、以所以例例5. 求線性映射求線性映射 ，在基在基 與與 下的矩陣下的矩陣A，并求，并求 。 解答解答 由公式由公式 得得 所以有：所以有： 例例6.設設 為為 的基，的基， 為為 的基，的基， 試求試求 和和 ，并求，并求 和和 。解答解答 根據(jù)定義，根據(jù)定義， 則對則對 均有均有 且滿足：且滿足： 由由 將其代入上式中將其代入上式中即：即： 解得它的基礎解系為：解得它的基礎解系為：即即 又由于：又由于： 例例7. 設設 為為 的一組基，的一組基， 為為 的一組基，線性映射：的一組基，線性映射：在基在基 與基與基 下的矩陣為下的矩陣為（1）求）求 與與 ；（2）求）求 與與 。解答解答 ：根據(jù)

12、定義知：根據(jù)定義知 則對則對 均有：均有： 且且 而而則有：則有：即即解得它的基礎解系為：解得它的基礎解系為：3.1.4 再論線性變換再論線性變換其中其中 矩陣表示為矩陣表示為 同理，若用同理，若用線性表示，則有：線性表示，則有：（3-13）（3-14）若若 , 即即 是是 上的線性變換，上的線性變換，線性變換線性變換 在基在基 與與 下的矩陣。下的矩陣。 稱（稱（3-13）中的矩陣）中的矩陣A為線性變換為線性變換 在基在基 定義定義7 （1） A的第的第i 列是列是 在基在基 下的坐標下的坐標下的矩陣；而稱（下的矩陣；而稱（3-14）中的矩陣）中的矩陣 為為 定理定理10為為 的一組基，則：

13、的一組基，則：（2）線性變換）線性變換T 在取定一組基下的矩陣是唯一的在取定一組基下的矩陣是唯一的.（3） 其中：對任意的其中：對任意的 和和 在基底下的坐標為在基底下的坐標為: 在線性變換中，零變換在任意一組基下的矩陣在線性變換中，零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣；數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為皆為零矩陣；數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)量矩陣；數(shù)量矩陣； 設設 為數(shù)域為數(shù)域P上線性空間上線性空間V的一組基，的一組基，的唯一一個矩陣對應，且具有以下性質(zhì)：的唯一一個矩陣對應，且具有以下性質(zhì)：（1） 線性變換的和對應于矩陣的和；線性變換的和對應于矩陣的和； （2） 線性變換的乘積對應于矩

14、陣的乘積；線性變換的乘積對應于矩陣的乘積；（3）線性變換的數(shù)乘對應于矩陣的數(shù)乘；）線性變換的數(shù)乘對應于矩陣的數(shù)乘；定理定理11在這組基下，在這組基下，V 的每一個線性變換都與的每一個線性變換都與 中中設線性空間設線性空間V的線性變換在兩組基的線性變換在兩組基()()下的矩陣分別為下的矩陣分別為A、B，且從基，且從基() 到基到基()的的過渡矩陣矩陣是過渡矩陣矩陣是P，則，則定理定理13 可見，線性變換在不同基下的矩陣是相似的，反過來，如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一線性變換在兩組基下所對應的矩陣。例例8.設設（1） 求求V 的維數(shù)，并寫出的維數(shù)，并寫出V 的一組基；的一組基； （2） 在

15、在V 中定義線性變換中定義線性變換 T ：求求T 在（在（1）中所取基下的矩陣。）中所取基下的矩陣。解答：解答： （1） ，且一組基為，且一組基為（2） 因為因為所以：所以：同理：同理：則則T 在在 下的矩陣為下的矩陣為（2） 在在V 中定義線性變換中定義線性變換 T ：例例9. 設線性空間設線性空間 的線性變換為的線性變換為 求在自然基底下的矩陣求在自然基底下的矩陣. 解：解： 例例10， 在線性空間在線性空間 中，線性變換定義如下：中，線性變換定義如下：（1）求）求 在標準基在標準基 下的矩陣下的矩陣.（2）求在下的矩陣）求在下的矩陣.解：（解：（1）由已知，有）由已知，有自然基底自然基底

16、設設 在標準基在標準基 下的矩陣為下的矩陣為A，即，即即：即： 為過渡矩陣為過渡矩陣因而，因而，（2） 設在設在 下的矩陣為下的矩陣為B，則，則解答解答: （1）A不可逆不可逆,所以，所以，D不可逆不可逆 可見可見B可逆，可逆，T為可逆線性變換。為可逆線性變換。經(jīng)計算得，經(jīng)計算得， 故故 定義定義9 設設 是數(shù)域是數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 上的線性變上的線性變換換 。令。令稱稱 是線性變換是線性變換 的值域，而的值域，而 是線性變換是線性變換的核。的核。 的維數(shù)稱為的維數(shù)稱為 的秩，的秩， 的維數(shù)稱為的維數(shù)稱為 的零度。的零度。 解答解答 （1） 只需解方程只需解方程 即可，解得基礎解系

17、為即可，解得基礎解系為 所以：所以：（2） 的維數(shù)的維數(shù) 例例13* 設線性變換設線性變換 在在4維線性空間維線性空間 的的基基 下的矩陣為下的矩陣為（2）求）求 的一組基，把它擴充成的一組基，把它擴充成 的一的一組基，并求組基，并求 在這組基下的矩陣在這組基下的矩陣 。（1）求）求 的一組基，把它擴充成的一組基，把它擴充成 的一的一組基，并求組基，并求 在這組基下的矩陣在這組基下的矩陣 ；解：解：（1）對任意）對任意因此因此解得基礎解系解得基礎解系則則 的基為的基為將將 的基擴張為的基擴張為 的基的基由于由于從而從而所以所以 在在 的這組基下的矩陣為的這組基下的矩陣為（2）由于）由于由于由于

18、從而從而這說明這說明因此因此由于由于將將 的基擴張為的基擴張為 的基的基從而從而這樣這樣所以所以 在在 的這組基下的矩陣為的這組基下的矩陣為 對于一個有限維的對于一個有限維的n維線性空間維線性空間V，設，設T是一個是一個線性變換，總有線性變換，總有T(V)?V，如何才能選到，如何才能選到V的一個的一個基，使基，使T關于這個基的矩陣具有盡可能簡單的形式關于這個基的矩陣具有盡可能簡單的形式. 由于一個線性變換關于不同基的矩陣是相似的由于一個線性變換關于不同基的矩陣是相似的. 因因而問題也可以這樣提出：在一切彼此相似的而問題也可以這樣提出：在一切彼此相似的n階矩階矩陣中，如何選出一個形式盡可能簡單的

19、矩陣？陣中，如何選出一個形式盡可能簡單的矩陣？ 線性變換的不變子空間線性變換的不變子空間3.2 本節(jié)介紹一個關于線性變換的重要概念本節(jié)介紹一個關于線性變換的重要概念不變不變子空間子空間. 同時利用不變子空間的概念，來說明線性同時利用不變子空間的概念，來說明線性變換的矩陣的化簡與線性變換的內(nèi)在聯(lián)系變換的矩陣的化簡與線性變換的內(nèi)在聯(lián)系.定義定義1 設設 是數(shù)域是數(shù)域F上線性空間上線性空間V的線性變換，的線性變換，則稱則稱W是的不變子空間，簡稱為是的不變子空間，簡稱為 子空間子空間. W是是V的的子空間，若的的子空間，若 有有V的平凡子空間（的平凡子空間（V及零子空間）對于及零子空間）對于V的的任意

20、一個變換任意一個變換 來說，都是來說，都是 子空間子空間. Hot定理定理1兩個子空間的交與和仍是子空間兩個子空間的交與和仍是子空間子空子空間間設設 則則W是是證：證： 顯然成立顯然成立. .任取任取 設設 則則 故故W為為 的不變子空間的不變子空間.由于由于 定理定理2的充要條件是的充要條件是證：證： 有有 故故 為為 的不變子空間的不變子空間. 線性變換線性變換 的值域的值域 與核與核 都是都是 的的不變子空間不變子空間. .所以，所以， 也為也為 的不變子空間的不變子空間. . 又任取又任取 有有例例1.證：證： 對存在對存在 使使于是有于是有: : 為為 的不變子空間的不變子空間. .

21、 若若 則則 與與 都是都是 子空間子空間. 其次，由其次，由 對對 有有 所以所以,只需證明只需證明 即有即有:例例2. 故故 為為 的不變子空間的不變子空間. 例例3.任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間. 例例4. 線性變換線性變換 的特征子空間的特征子空間 是是 的的有有 不變子空間不變子空間.例例5.由由 的特征向量生成的子空間是的特征向量生成的子空間是 的不變子空間的不變子空間的特征向量的特征向量. . 設設則則 為為 的不變子空間的不變子空間. . 證：設證：設 是的分別屬于特征值是的分別屬于特征值 任取任取 設是設是 維線性空間維線性空間V的線性

22、變換，的線性變換，W是是V 的的子空間，子空間， 為為W的一組基，把它擴允為的一組基，把它擴允為V的一組基：的一組基：在基在基 下的矩陣具有下列形狀下的矩陣具有下列形狀: 若若 在基在基 下的矩陣為下的矩陣為 ，則，則 定理定理3 反之，若反之，若 不變子空間不變子空間. . 則由則由 生成的子空間必為生成的子空間必為 的的事實上，因為事實上，因為W是是V的不變子空間的不變子空間. 均可被均可被線性表出線性表出. .即，即，從而，從而， 設設在這組基下的矩陣為在這組基下的矩陣為 若若 ，則，則 為為V的一組基，且在這組基下的一組基，且在這組基下 的矩陣為準對角陣的矩陣為準對角陣 設設 是是 維

23、線性空間維線性空間V V的線性變換，的線性變換， 都是都是 的不變子空間，而的不變子空間，而 是是 的一組基，且的一組基，且 （1） 定理定理4的子空間的子空間 為為 的不變子空間，且的不變子空間，且V具有直和分解：具有直和分解： 由此即得：由此即得：下的矩陣為準對角矩陣下的矩陣為準對角矩陣(1), 則由生成則由生成 V的線性變換在某組基下的矩陣為準對角形的線性變換在某組基下的矩陣為準對角形V可分解為一些的不變子空間的直和可分解為一些的不變子空間的直和.反之，若反之，若 在基在基設設3 3維線性空間維線性空間V V的線性變換在基的線性變換在基下的矩陣為下的矩陣為 證明：證明： 是的不變子空間是

24、的不變子空間. 令令 由由 練習練習1 1有有 即即 故故W為的不變子空間為的不變子空間. 設設T 是酉是酉(歐氏歐氏)空間空間V的線性變換，如果對的線性變換，如果對任意的任意的 ，均有，均有則稱則稱T是酉是酉(歐氏歐氏)空間空間V的一個酉的一個酉(正交正交)變換。變換。定義定義1 例例1 設設A為為n階酉階酉(正交正交)矩陣，證明矩陣，證明為為Cn(Rn)上的酉（正交）變換上的酉（正交）變換 證明：證明：T(x)=Ax是是R2上的上的平面旋轉(zhuǎn)變換。平面旋轉(zhuǎn)變換。酉酉(正交正交)變換變換 正交投影正交投影3.33.3.1 酉酉(正交正交)變換變換例例2 設設其中其中,證明證明H是是Cn上的酉變

25、換。上的酉變換。 證明：證明：豪斯何爾德鏡像變換豪斯何爾德鏡像變換 是酉矩陣是酉矩陣 (4) T在在V的任一標準正交基下的矩陣是酉的任一標準正交基下的矩陣是酉(正交正交)矩陣矩陣定理定理1：設：設T是酉（歐氏）空間是酉（歐氏）空間V 的線性變換，那么下的線性變換，那么下 列命題等價。列命題等價。(1) T是酉（正交）變換；是酉（正交）變換；(2)(3) 設設 是是V 的標準正交基，則的標準正交基，則 (4) 也是也是V的標準正交基；的標準正交基；證明：證明： (1) (2)，顯然成立。，顯然成立。(2) (3)顯然顯然 。只需在。只需在 條件下條件下推出推出 。替換為替換為iy所以，所以， 也是也是V的標準正交基。的標準正交基。=0(3) (4)設設T在在V的任一標準正交基下的矩陣是的任一標準正交基下的矩陣是A,即即 說明說明A是從標準正交基是從標準正交基 到標準正交到標準正交基基 ）矩陣。）矩陣。 的過渡矩陣。的過渡矩陣。 由本章第二節(jié)定理由本章第二節(jié)定理4知知A是酉（正交）矩陣。是酉（正交）矩陣。 (4) (1)設設T在在V的標準正交基的標準正交基 下的矩陣是酉下的矩陣是酉(正交正交)矩陣矩陣A，即，即，使得，使得由于內(nèi)積在標準