測量學(xué)第五章誤差理論

1、 測量學(xué)測量學(xué)第六章第六章 測量誤差基本知測量誤差基本知識識本章要點(diǎn)：本章要點(diǎn)： 有關(guān)測量誤差的基本知識 偶然誤差的特性 觀測值中誤差算法 觀測值函數(shù)中誤差算法 誤差傳播定律 權(quán)的概念一、一、有關(guān)測量誤差的基本知識有關(guān)測量誤差的基本知識1、誤差產(chǎn)生的原因kkk產(chǎn)生產(chǎn)生測量測量誤差的三大因素：誤差的三大因素：儀器原因儀器原因 儀器精度的局限儀器精度的局限, ,軸系殘余誤差軸系殘余誤差, ,等。等。人的原因人的原因 判斷力和分辨率的限制判斷力和分辨率的限制, ,經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn), ,等。等。外界影響外界影響 氣象因素氣象因素( (溫度變化溫度變化, ,風(fēng)風(fēng), ,大氣折光大氣折光) ) 上述三大因素總稱為上

2、述三大因素總稱為觀測條件觀測條件在上述條件基本在上述條件基本相同相同的情況下進(jìn)行的同類測量稱為的情況下進(jìn)行的同類測量稱為 等精度觀測等精度觀測2、測量誤差的分類與對策、測量誤差的分類與對策 鋼尺尺長誤差鋼尺尺長誤差 D Dk k 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 D Dt t 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i i 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C C 計(jì)算改正計(jì)算改正計(jì)算改正計(jì)算改正 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (前后視等距前后視等距) )操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) ) 一、一、有關(guān)測量誤差的基本知識有關(guān)測量誤差的基本知識（1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差對某一量多次觀測后，誤差在

3、符號與數(shù)值上都相對某一量多次觀測后，誤差在符號與數(shù)值上都相同或按一定規(guī)律變化同或按一定規(guī)律變化舉例：舉例：解決方法：解決方法：估讀、氣泡居中判斷、估讀、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差瞄準(zhǔn)、對中等誤差一、一、有關(guān)測量誤差的基本知識有關(guān)測量誤差的基本知識2、測量誤差的分類與對策、測量誤差的分類與對策（2）偶然誤差）偶然誤差對某一量多次觀測后，從表面上看不出任何規(guī)律對某一量多次觀測后，從表面上看不出任何規(guī)律舉例：舉例：解決方法：解決方法：？瞄錯(cuò)目標(biāo)、讀錯(cuò)瞄錯(cuò)目標(biāo)、讀錯(cuò)一、一、有關(guān)測量誤差的基本知識有關(guān)測量誤差的基本知識2、測量誤差的分類與對策、測量誤差的分類與對策（3）粗差（錯(cuò)誤）粗差（錯(cuò)誤）由于觀

4、測粗心或某種干擾造成的特別大的誤差由于觀測粗心或某種干擾造成的特別大的誤差舉例：舉例：解決方法：解決方法：多次觀測（多余觀測）多次觀測（多余觀測）剔除明顯的錯(cuò)誤剔除明顯的錯(cuò)誤對同一角度進(jìn)行了多次觀測，得到：對同一角度進(jìn)行了多次觀測，得到：603324、603336、603400、603348、603318、603506、 603354、603400（二）處理原則二）處理原則粗差粗差細(xì)心，多余觀測細(xì)心，多余觀測系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差找出規(guī)律，加以改正找出規(guī)律，加以改正 偶然誤差偶然誤差？對于一項(xiàng)觀測值，只有偶然誤差影響其對于一項(xiàng)觀測值，只有偶然誤差影響其精度精度二、二、偶然誤差的特性偶然誤差的特性1、

5、實(shí)驗(yàn)論證、實(shí)驗(yàn)論證358個(gè)三角形內(nèi)角和個(gè)三角形內(nèi)角和系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差盤左盤右盤左盤右粗差粗差限差限差60偶然誤差偶然誤差存在存在358個(gè)偶然誤差個(gè)偶然誤差（角度閉合差）（角度閉合差）i= 180 (i +i+ I)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。二、二、偶然誤差的特性偶然誤差的特性誤差區(qū)間 負(fù)誤差 正誤差 誤差絕對值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059

6、440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表6-1 偶然誤差的統(tǒng)計(jì) -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d二、二、偶然誤差的特性偶然誤差的特性 有限性有限性：在有限次觀測：在有限次觀測中，偶然誤差應(yīng)小于限中，偶然誤差應(yīng)小于限值。值。

7、 漸降性漸降性：誤差小的出現(xiàn)：誤差小的出現(xiàn)的概率大的概率大 對稱性對稱性：絕對值相等的：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等正負(fù)誤差概率相等 抵償性抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的限增大時(shí)，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。平均數(shù)趨近于零。2)(221)(xexfd= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f二、二、偶然誤差的特性偶然誤差的特性二、二、偶然誤差的特性偶然誤差的特性偶然誤差符合誤差正態(tài)分布曲線偶然誤差符合誤差正態(tài)分布曲線22221)(ef nnnnn2222212lim.lim方差：方差：標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：nnlim二、二、偶然誤差的特性偶然誤差的特性

8、大，曲線越矮胖，誤差分散，大，曲線越矮胖，誤差分散，精度低精度低小，曲線越高瘦，誤差集中，小，曲線越高瘦，誤差集中，精度高精度高三、三、中誤差中誤差nnlimnm標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差中誤差中誤差（1）中誤差）中誤差中誤差中誤差有限個(gè)次數(shù)觀測的偶然誤差求的標(biāo)準(zhǔn)差有限個(gè)次數(shù)觀測的偶然誤差求的標(biāo)準(zhǔn)差m m1 1較小較小, , 誤差分布比較集中，觀測值精度較高；誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m m2 2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。 兩組觀測值中誤差圖形的比較兩組觀測值中誤差圖形的比較：m m1 1= = 2.72.7 m m2 2= = 3.63.6 三

9、、三、中誤差中誤差（1）中誤差）中誤差三、三、中誤差中誤差（2）相對誤差）相對誤差例：有兩把不同的鋼尺，進(jìn)行一段距離的測量，問例：有兩把不同的鋼尺，進(jìn)行一段距離的測量，問那個(gè)的值更可靠？那個(gè)的值更可靠？mmtmmmlmmtmmml2036. 018. 0502036. 018. 03021相對中誤差相對中誤差=中誤差中誤差/觀測值觀測值 =1/M1)(),(,)()(212121dxxfxxdxxfxXxPxx)(xf 如果函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)概率d= /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24()yx=f三、三、中誤差中誤差（3）極限誤差）極限誤差9973. 0)

10、33()(9545. 0)22()(6826. 0)()(1)(,),(332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正態(tài)分布為服從參數(shù)隨機(jī)變量時(shí)當(dāng)三、三、中誤差中誤差（3）極限誤差）極限誤差m2允m3允或：三、三、中誤差中誤差（3）極限誤差）極限誤差 但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，如何評定觀測值的精度，即： =？ m=？尋找最接近真值的值x四、 觀測值中誤差計(jì)算 （1）真值的確定）真值的確定集中趨勢的測度（最優(yōu)值） 中位數(shù)：設(shè)把n個(gè)觀測值按大小排列，這時(shí)位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。 眾數(shù)：在n個(gè)數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。 切尾平均數(shù)：去掉 lmax, lmin以后的平均數(shù)。

11、xnlniil 1算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解四、 觀測值中誤差計(jì)算 （1）真值的確定）真值的確定xnlnlniil1一、算術(shù)平均值：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解證明（x是最或然值） 將上列等式相加，并除以n,得到 XnlnnnnlXnlim0lim4）特性根據(jù)偶然誤差第（xnlnnlXlXlX2211 若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù) 為最優(yōu)解xiiilxllvl改正值的特性 0ivv定義改正值似真差滿足最小二乘原則的最優(yōu)解0l- 2 2xvdxvvdminiivv最小二乘0)(ilxxnl已知觀測值真值的情況iilX 3、計(jì)算中誤差未知觀測值真值的情況1、求出真誤差2、計(jì)算中誤差nm

12、1、求出算術(shù)平均值2、求出各觀測值的改正數(shù)xnlnlniil1iiilxllv1nvvm四、 觀測值中誤差計(jì)算 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差例子 毫米16.3232.61540452.123mnll次序 觀測值 l 改正數(shù) v vv 1 123.457 -5 25 2 123.450 +2 4 3 123.453 -1 1 4 123.449 +3 9 5 123.451 +1 1 和 123.452 0 40 28計(jì)算中誤差例子 土木土木3班班土木土木4班班組別組別觀測值觀測值組別組別觀測值觀測值第第1組組1795954合格合格第第1組組1795857超限超限第第2組組1804313超限超限第第2組組1795

13、912合格合格第第3組組1800430超限超限第第3組組1795939合格合格第第4組組1795924合格合格第第4組組1800503超限超限第第5組組1800003合格合格第第5組組1795933合格合格第第6組組1800100合格合格第第6組組1800036合格合格第第7組組1800421超限超限第第7組組1795946合格合格第第8組組1800018合格合格第第8組組1800021合格合格第第9組組1795930合格合格第第9組組1795954合格合格10組組1800003合格合格10組組1800003合格合格11組組1800024合格合格11組組1795936合格合格 已知：mx1,m

14、x2,mxn 求：my=?.),(21xxfy設(shè)有函數(shù)式：nmyyy y=? 五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 1、誤差傳播定律、誤差傳播定律五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 1、誤差傳播定律、誤差傳播定律一一. .觀測值的函數(shù)觀測值的函數(shù)例：例：高高差差cossinsin)(121DxbadMDsssnSbahn平均平均距離平均距離實(shí)地距離實(shí)地距離三角邊三角邊和或差函數(shù)和或差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量坐標(biāo)增量一般函數(shù)一般函數(shù)五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差（一）和（一）和( (差差) )函數(shù)函數(shù)yxz已知：已知：mx,my

15、, 求：求：mz=?nmzzz)()(yyxxzzyxz五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差（一）和（一）和( (差差) )函數(shù)函數(shù)yxzyxznmzzz111yxz222yxznnnyxz211121212yyxxz222222222yyxxz2222nnnnnyyxxz 2222yyxxz五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差（一）和（一）和( (差差) )函數(shù)函數(shù)（一）和（一）和( (差差) )函數(shù)函數(shù)yxznmzzz 2222yyxxznynyxnxnz 22222zm2xm2ym0222yxzmmm（一）和

16、差函數(shù)（一）和差函數(shù)yxz已知：已知：mx,my, 求：求：mz=?222yxzmmmyxz五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差222yxzmmm35五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 在在A、B兩點(diǎn)之間安置水準(zhǔn)儀測量高差，要求高差中誤兩點(diǎn)之間安置水準(zhǔn)儀測量高差，要求高差中誤差不大于差不大于3mm，試問在水準(zhǔn)尺上讀書的中誤差為多少？，試問在水準(zhǔn)尺上讀書的中誤差為多少？例例（二）倍乘函數(shù)（二）倍乘函數(shù)kxz 已知：已知：mx,求：求：mz=?nmzzz xkz11xkz22xkznnxkz21221xkz22222xkz222nnxkz五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)

17、算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)（二）倍乘函數(shù)kxz nmzzz 222xkznxknz222xzmkm 五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 0100010001000222SmmmmlSlS即lS1000解：解：量得量得1：1000 地形圖上兩點(diǎn)間長度地形圖上兩點(diǎn)間長度 L=168.5mm 0.2mm, 計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差及其中誤差ms：列函數(shù)式列函數(shù)式五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 例例（三）線性函數(shù)（三）線性函數(shù)（X X為獨(dú)立觀測量）

18、為獨(dú)立觀測量）nnxkxkxkz2211222xymkm iiixky :令nyyyz21222212nyyyzmmmm22222221212nxnxxzmkmkmkm五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差若若nlllxn21mmmmn21222222122111nxmnmnmnm21mnnmmx（三）線性函數(shù)（三）線性函數(shù)（X X為獨(dú)立觀測量）為獨(dú)立觀測量）五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 2、幾種常見函數(shù)的中誤差、幾種常見函數(shù)的中誤差例：例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求對某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù)該距離的算術(shù) 平均值平均值 ； 觀測

19、值的中誤差觀測值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤算術(shù)平均值的中誤 差差 ； 算術(shù)平均值的相對中誤差算術(shù)平均值的相對中誤差 ：xxmMxM / 凡是相對中誤差，都必須用分子為凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。的分?jǐn)?shù)表示。( (四四) )一般函數(shù)的中誤差公式一般函數(shù)的中誤差公式誤差傳播定律誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)),(21nxxxfZxi為獨(dú)立觀測值為獨(dú)立觀測值對上式上式線性化nnndxxfdxxfdxxfxxxfZ221100201),(nnndxfdxfdxfxxxf221100201),(iiidxxx0idxixmm 22222212212nxnxxzmfmfmfm2222222122

20、12nxxxzmxfmxfmxfm中誤差關(guān)系式中誤差關(guān)系式： 小結(jié) 第一步：寫出函數(shù)式（各自變量獨(dú)立） 第二步：寫出全微分式(線性化) 第三步：寫出中誤差關(guān)系式 注意：注意：只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)只有自變量微分之間相互獨(dú)立才可以進(jìn)一步寫出中誤差關(guān)系式一步寫出中誤差關(guān)系式。22222221212.nnymfmfmfm例例已知某矩形長a=500米，寬b=400米, ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。abP adbbdadP2222bapmambm22)02. 0500()02. 0400(2228 .12108m五、 觀測值函數(shù)的中誤差計(jì)算 例題已知 有求：mmmm3,

21、180ffm22291fmmm222223mmmmmf222234391mmmm錯(cuò)誤錯(cuò)誤例題已知 有；求：mmmm3,180ffmmmmmmmmm3296969191946033322222觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離D22222222222cossincossincoscosvSDvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，三，二，一，誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)用觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差h22222222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)用算

22、術(shù)平均值 已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mxnlllxn21mnmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(1112222221221誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)用算例：用三角形閉合差求測角中誤差次序觀測值 l1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0 .753 .244mCBA223mmmm3秒0 . 43/mm誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)用51誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)用例：例

23、：要求三角形最大閉合差要求三角形最大閉合差 ，問用，問用DJ6DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測回？經(jīng)緯儀觀測三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測回？ 15f1233180321xfmmf）（解：解：每個(gè)角的測角中誤差：每個(gè)角的測角中誤差： 3 . 435 . 7xm測回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于由于DJ6一測回角度中誤差為：一測回角度中誤差為：由角度測量由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：測回取平均值的中誤差公式：5 . 826m5 . 7, 152ffmmf則 用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測4個(gè)測回取平均，可使得三角形閉合差 。15f

24、誤差傳播定律應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)用DMPxycossinxDyDXYO由誤差傳播定律：2222222220cossincos72 20 40240sin72 2025.3206.320sincossin72 20 40240cos72 2038.8206.3xDyDmmmDmmmmmDmm解：解：180206265P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差：222225.338.346.3PxyMmmmm例：例：已知直線已知直線MPMP的坐標(biāo)方位角的坐標(biāo)方位角 =72=72 2020 0000 ， 水平距離水平距離D=240mD=240m。如已知方位角中誤差。如已知方位角中誤差 ，距離中誤差，距離中誤差 ， 求由此引起的

25、求由此引起的P P點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差點(diǎn)的坐標(biāo)中誤差 、 ， 以及以及P P點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差 。20m 40Dmmm xmymPMcossinsincosdDdddDddDyDx54課堂練習(xí)1、已知四邊形各內(nèi)角的測角中誤差均為20，允許誤差為中誤差的2倍，求四邊形閉合差的允許誤差。2、坡上測距，測的斜距為1247.509m，中誤差為5mm；測的該邊傾斜角為53030，中誤差為30，求水平距離及其中誤差。3、用經(jīng)緯儀觀測水平角，測角中誤差為9。欲使角度結(jié)果的精度達(dá)到5，問需要觀測幾個(gè)測回?6 6 -7加權(quán)平均數(shù)及其中誤差 現(xiàn)有三組觀測值，計(jì)算其最或然值A(chǔ)組： 123.34, 123.39,

26、 123.35B組： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C組： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各組的平均值 A組： 123.360 B組： 123.333 C組： 123.356 AlClBl3CBAlllxx=?加權(quán)平均數(shù) 各組的平均及其權(quán) A組： 123.360 權(quán)PA=3 B組： 123.333 PB=4 C組： 123.356 PC=5AlClBl1212874321lllllllxCPBPAPlPlPlPlllCCBBAACBA543543 ( ) ( ) ( )一、權(quán)與中誤差llCBAAApmmmmmmmmmmllll/5/4/3/9/33/ )(22321 平均數(shù)的權(quán)pA=3 平均數(shù)的中誤差 m單位權(quán)中誤差 權(quán)與誤差的平方成反比22llmmp 二、加權(quán)平均數(shù)iiinnnplpppplplplpx212211nlxppii當(dāng)：三、加權(quán)平均值的中誤差 .CSCBSBASASiiiiilPplPplPpPlpplpxsxpmm ppPsx.2222222CSCBSBASAxmPpmPpmPpm.2222222CSCBSBASAxpmPppmPppmPpmSSCSBSAxPmmPpmPpmPpm22222222. 四、單位權(quán)中