《正弦定理》教案

1、正弦定理教學設計一、教學目標分析    1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。    2、過程與方法：讓學生從實際問題出發(fā)，結(jié)合以前學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學生體會完全歸納法在定理證明中的應用；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。3、情感態(tài)度與價值觀：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師

2、生之間的交流、合作和評價，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過程中體驗數(shù)學的探索性與創(chuàng)造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發(fā)學生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學生處理解三角形問題的運算能力和探索數(shù)學規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。二、教學重點、難點分析重點：通過對銳角三角形邊與角關系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。難點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程；已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數(shù)的判斷。三、教法與學法分析本節(jié)課是教材第一章解三角形的第一節(jié)，所需主要基礎知識有直角三角形的邊角關系，三角函數(shù)相關知識。在教法上

3、，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學中采用探究式課堂教學模式，首先從學生熟悉的銳角三角形情形入手，設計恰當?shù)膯栴}情境，將新知識與學生已有的知識建立起密切的聯(lián)系，通過學生自己的親身體驗，使學生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學生主動參與的積極性，引導學生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學過程中，讓學生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學過程中鼓勵學生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導、解讀、應用，引導學生主動思考、總結(jié)、歸納解答過程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學法上，采用個人探究、教師講解，學生討論相結(jié)合的

4、方法，讓學生在問題情境中學習，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，重視學生自主探究，增強學生由特殊到一般的數(shù)學思維能力，形成實事求是的科學態(tài)度和嚴謹求真的學習習慣。四、學情分析 對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學生目前還沒有學習平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法向量法，本節(jié)課沒有涉及到。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。&

5、#160;  五、教學工具      多媒體課件   六、教學過程創(chuàng)設情境，導入新課    興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？教師：請大家思考，看看能否用過去所學過的知識解決這個問題？（約2分鐘思考后學生代表發(fā)言）學生活動一:（教師提示）把這個實際問題抽象為數(shù)學模型那就是“已知三角形中的兩角及

6、夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。學生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D      然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出B

7、C的長度。教師：這位同學的想法和思路非常好，簡直是一位天才      （同時再一次回顧該同學具體的做法）教師：能否像求AC的方法一樣對BC進行求解呢？學生：可以教師：那么具體應該怎么做呢？學生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖： 接下來，只需要將相關的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長度教師：總結(jié)學生的做法      通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來      接下來，只需要將題目中的相關數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。定理的發(fā)現(xiàn)

8、：教師：如果把本題目中的有關數(shù)據(jù)變一下，其中A50o，B80o大家又該怎么做呢？學生1：同樣的做法（仍得作高）學生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長度教師：還需要再次作高嗎？學生：不用教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問        題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？學生：可以教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應用這兩個等式并進行代入求值即可。教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？學生：不容易

9、教師：能否美化這個形式呢？ 學生：美化之后可以得到：                    （定理） 教師：銳角三角形中的這個結(jié)論，到底表達的是什么意思呢？學生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否成立。定理的探索：教師：大家知道，在直角三角形AB

10、C中：若       則：      所以：      故：      即：                    在直角三角形中也成立 教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？

11、請大家思考。  學生活動二：驗證     在鈍角三角形中是否成立   教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值              必須把A、B放在直角三角形中              即就是要作高（可利用誘導公式將轉(zhuǎn)化為） 學生：學生可分小組進行完

12、成，最終可由各小組組長      匯報本小組的思路和做法。（結(jié)論成立）教師：我們在銳角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對       它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個等式對于      任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這      個等式對于任意的三角形都成立”呢？學生：可以教師：這就是我們這節(jié)課要學習的正弦定理（引出課題

13、）定理的證明       教師：展示正弦定理的證明過程                      證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊               上的高線，垂

14、直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：           同理可得：                  所以易得                 （2）當三角形是直角三角形時；  

15、                          在直角三角形ABC中：若                      因為： &

16、#160;                      所以：                           故： 

17、                                                   

18、;    即：                                           （3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角） 

19、60;                       過點A作BC邊上的高線，垂直記作D                       

20、0;    由三角形ABC的面積可得 即：              故： 所以，對于任意的三角形都有     成立。 教師：這就是本節(jié)課我們學習的正弦定理（給出定理的內(nèi)容）     （解釋定理的結(jié)構(gòu)特征）      思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？學生：在一個等式中可以做到“知三求一”定理的應用

21、教師：接下來，讓我們來看看定理的應用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦      定理解決）（板書步驟）  隨堂訓練              學生：獨立完成后匯報結(jié)果或快速搶答 教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應用，其實正弦定理的應用相       當廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測 

22、     高塔遠看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”      以這四句話把正弦定理的廣泛應用推向高潮）課堂小結(jié)：1、知識方面：正弦定理： 2、其他方面：       過程與方法：發(fā)現(xiàn)   推廣    猜想   驗證   證明