動力氣象學-大氣波動學

1、天氣圖上可見：天氣圖上可見：1、氣壓場、高度場基本呈波狀分布。、氣壓場、高度場基本呈波狀分布。2、一個緯圈上有、一個緯圈上有36個波個波 ，波在幾十個經，波在幾十個經度。尺度在度。尺度在106m，大尺度波動。，大尺度波動。 稱大氣長波（稱大氣長波（Rossby波）波）3、準地轉，準渦旋運動的特點。、準地轉，準渦旋運動的特點。4、振幅，大約是、振幅，大約是101hPa，大振幅的波動；，大振幅的波動；5、這種波動控制日常天氣、這種波動控制日常天氣重要波動。重要波動。 波動學的優(yōu)點：1、成熟的波動學理論對天氣系統形成機理、 它的發(fā)生發(fā)展和移動進行研究。2、槽脊的移動，即等位相線的運動， 即波的移動。

2、 槽的移速相速波速3、波動學把氣旋（低壓）、反氣旋（高壓） 系統聯系起來。 波動學與渦旋動力學、大氣能量學討論的對象、內容、目的相同；角度和理論不同，可以互相補充。學習中應該將它們聯系起來思考。 目前波動學是主流理論。 e.g.1 氣旋增強 渦度增加渦旋動力學； 槽加深波動學 K增加能量學。e.g.2 槽脊東移波動學；。氣旋東移渦旋動力學即氣旋后：即氣旋前：, 0, 0tt本章目的：本章目的： 用用波動學波動學理論討論天氣系統的形成、發(fā)生理論討論天氣系統的形成、發(fā)生發(fā)展及發(fā)展及移動移動的機理。的機理。通過大氣運動方程進行理論探討。通過大氣運動方程進行理論探討。存在問題：存在問題：除了大尺度的天

3、氣波動外、大氣中（基本方程除了大尺度的天氣波動外、大氣中（基本方程中）還存在其他波動。中）還存在其他波動。四類基本波動：大氣長波，聲波，重力波，慣性波（沒有電磁學方程，不能不包含電磁波、光波）濾波噪音：要去掉的。次要：如聲波等諧音：要保留的；重要：大氣長波 濾波的目的：濾波的目的： 去除次要波動的干擾，討論主要波動； 特別在數值預報中： )0()()()()(ttttfuutftutftuttt代替無限元即用有限元差分不能取太小由于計算機資源限制，誤差時時間步長tttutu00例如：例如： 如果取時間步長為如果取時間步長為10分鐘，對于時分鐘，對于時間尺度為間尺度為105s的天氣尺度波動來說，

4、誤的天氣尺度波動來說，誤差較小。而對于像聲波等快波來說，誤差差較小。而對于像聲波等快波來說，誤差就很大就很大(隨機的），且是累積的。隨機的），且是累積的。如何在方程中就進行濾波？如何在方程中就進行濾波？例如：聲波是由于大氣可壓縮性引起的。例如：聲波是由于大氣可壓縮性引起的。假設大氣是不可壓的就可以濾去聲波，但假設大氣是不可壓的就可以濾去聲波，但對天氣波動影響不大。對天氣波動影響不大。研究天氣波動的機制、性質研究天氣波動的機制、性質理解天氣理解天氣變化的規(guī)律和機理。變化的規(guī)律和機理。研究次要波動的機制和性質研究次要波動的機制和性質濾波。濾波。所以，只要是基本方程包含的波動，都必所以，只要是基本方

5、程包含的波動，都必須研究。須研究。大氣波動的基本類型:聲波慣性波重力波Rossby波彈性振動（大氣的可壓縮性）慣性振蕩（旋轉性）浮力振蕩（層結性）效應小擾動法線性方程組標準波型解頻散關系相速、群速等討論波動的方法:第一節(jié)第一節(jié) 波動的基本知識波動的基本知識1、波動定義：、波動定義： 振動在彈性媒介中的傳播。需要二個條件：需要二個條件：1）振動）振動2）能夠傳播。）能夠傳播。 質點與質點之間建立聯系e.g.單個單擺擺動，不能引起其它單擺擺動；但用一根線把它們的擺球連起來，則一個擺動可以傳播出去。缺一不可傳播機制振蕩機制波動機制傳播的是振蕩的狀態(tài)。振蕩引起的機制： 回復力機械學中的觀點。一般回復機

6、制方向相同。不穩(wěn)定：凈浮力與位移；向相反，可以產生振蕩穩(wěn)定：凈浮力與位移方如大氣層結傳播機制：質點與質點之間的聯系 波動的最大特點：周期性時間上周期變化；空間上周期分布 有規(guī)律、重復發(fā)生有規(guī)律、重復發(fā)生可預測可預測)cos(tkxAy)cos(cossin)/( 0212222tAtctcyMKydtyd振幅：物體離開平衡位置的最大位移)cos()(costkxATtkxAi）ii）上式成立的條件： 2 2TT 簡諧振動穩(wěn)定的傳播所形成的波動稱為簡諧波周期：空間固定位置上的點完成一次全振動所需時間圓頻率： 時間內質點完成全振動的次數。時間內質點完成全振動的次數。 22T 初始位相初始位相xzo

7、Liii）波長L：相鄰兩個同位相點之間的距離kLtkxAtLxkA2)cos()(cosiv）波數k：2距離內包含了多少個波長Lk2v) 位相: 波在x軸上各點各時刻的位置，為初位相；cos)cos(AtkxAy.const的點構成的面稱為等位相面。TLkdtdxCtkxtkxdtdxCtkx常量常量常量的移速。波速：等位相線（面）0)()(一個周期，正好移動一個全波形一個周期，正好移動一個全波形)(cos)cos()22cos(),(ctxkAtkxAtTxLAtxS例、空氣例、空氣 c1=340ms-1 水水 c2=1450ms-1求頻率為求頻率為200Hz的聲波在空氣和水中的波長。的聲波

8、在空氣和水中的波長。解：由解：由 cL 空氣中空氣中 m7 . 120034011cL 水中水中 m25. 7200145022cL 結論：同一頻率的聲波，在水中的波長比在空氣中的波長結論：同一頻率的聲波，在水中的波長比在空氣中的波長要長。要長。 波長、相速、周期三者關系：頻率TcLTLc1, , 3、波動的數學表示、波動的數學表示數學上，任一周期函數都可以用傅立葉級數展開來表達。( , )cos()sin()cos()mmmmmmmmmmmmmS x tSSBkxc tDkxc tAkxc t實際大氣擾動不是單純的簡諧波實際大氣擾動不是單純的簡諧波，可以看成是各種不同波長、不同振幅（強度）的

9、簡諧波的疊加mmmADBtxs或者、可以得到各已知);,(實際擾動雖然是許多諧波組成，但往往只有幾個諧波分量是主要的，其頻率、振幅雖然不同，但動力學性質往往一樣。因此如果想得到定性的結果，分析一個典型的諧波分量就足夠了0),(mmmSStxS22mmDB m=0,1,2,3lmmlLkm2/22波長波長L=l/mm緯向波數目（整數）緯向波數目（整數）緯向波數緯向波數如果是線性波動，則波動方程為：如果是線性波動，則波動方程為：0000),(mmmmmLSLSSLLtxLS為線性算子，則有：這里取波動形式解為簡諧波解 1）某個）某個簡諧波最具有代表性 2）每個簡諧波都滿足原方程，都具有相同性質解)

10、()sin()cos(tkxiAeStkxAStkxAS或或可見振幅A常量，不隨時空變化，故沒有辦法討論波的強度變化，同樣無法討論強度變化，同樣無法討論頻率、波數的時空變化。頻率、波數的時空變化。 主要用于討論線性波動的傳播問題 （非線性波動（非線性波動波波相互作用）波波相互作用）sincosiei)(ctxktkx一維波動（只隨x變化），波動在x方向上傳播。 一維波動 一維運動一維運動: 0, 0, 0zywvu一維波動:0/, 0可以不等于wvzy二維波動： j li kKtlykx波矢渦旋運動（大氣長波）的斜槽結構用二維波動表達。 塔發(fā)射的球面波三維波動：聲波、電視二維波動：湖里水面波一

11、維波動：渠道波典型波動：一維波動二維波動三維波動）：單個簡諧波解（單波解tkxtlykxtnzlykxAeAASi;sin;cos的方向波速方向等位相線（面）的法線波矢：CKtrKkzj yi xrknj li kKtnzlykx22222)(nlkKKKKKKC,; ;pxpypzpxpypzcccklnk l nKcccC而因為均所以均pxpypzCc icjc kpxc第二節(jié)第二節(jié) 波群和波速度波群和波速度 振幅表示了波動強度（能量振幅表示了波動強度（能量 ）。）。2AE 振幅是時空的函數達實際的波動多個簡諧波疊加可以表是常量。單個簡諧波，振幅mmmSSASS0考慮考慮“線性波動傳播線性

12、波動傳播”時，使用單個簡諧波解時，使用單個簡諧波解考慮波動強度變化時，應該用多個簡諧波疊加稱群波或波群或波列或波包。群波或波群或波列或波包。多個簡諧波迭加多個簡諧波迭加至少是至少是2個。個?？疾於€振幅相同，考察二個振幅相同，頻率與波數相近的簡頻率與波數相近的簡諧波迭加的結果。諧波迭加的結果。頻率相近波數相近21122112)(2)(1&2211kkkkAeSAeStxkitxkicos2sincossincos)22()22()22()()(211212212121212211iieeeeAeAeAeSSSiitxkkitxkkitxkkitxkitxki12122121,;2,2k

13、kkkkk且令：)()22cos(2tkxietxkAS則：)22cos(2),(txkAtxA令：)(),(tkxietxAS則：波數為波數為k,圓頻率為圓頻率為，振幅為，振幅為 的波動的波動),(txAdkdkdtdxctxkAtxAAg速稱為群速度。波振幅（波能量）的傳且傳播的。隨時空也是周期變化，這里常量*)22cos(2),(慢變波包相的變化緩慢，所以振幅的變化要比位由于, kk相速度與群速度：相速度與群速度：相速度是位相的傳播速度，如槽脊的移速相速度是位相的傳播速度，如槽脊的移速群速度是振幅群速度是振幅/能量的移動速度。能量的移動速度。knjlikCKKCKnlkdkdckckgg

14、群速度為則：相速度為已知三維波動頻散關系群速度為則：相速度為已知：一維波動若頻散關系式2)(),(;)(兩個頻率相近的簡諧波迭加后的波形（波形傳播的速度即為群速度？） dkdckcdkdckcg1、c與k無關該波動的波速與波長無關非頻散波播而傳播波動的能量隨波動的傳 ; ccg2、c與k有關該波動的波速與波長有關;gcc波動的能量不隨波動的傳播而傳播頻散波ccgccg葉篤正,1949,能量頻散理論能量頻散理論:槽在傳播過程中,會通過能量頻散作用,在下游激發(fā)或加強一個波動上游效應氣候遙相關現象氣候遙相關現象(1)直接環(huán)流遙相關直接環(huán)流遙相關:(2)定常波列遙相關定常波列遙相關(Hoskins,1

15、979):PNA型遙相關型遙相關東亞北美型遙相關（東亞北美型遙相關（Nitta，黃榮輝，黃榮輝1987）第三節(jié)第三節(jié) 微擾動線性化方微擾動線性化方法法求解波動：從基本方程入手fvxPzuwyuvxuutu1未知量的二次及二次以上乘積項非線性項；非線性項；含有非線性項的方程含有非線性項的方程非線性方程。非線性方程。所以大氣運動基本方程組所以大氣運動基本方程組非線性方程組非線性方程組運動方程連續(xù)方程熱量方程非線性非線性方程，如何求解？近似解線性化小擾動法xfvzuwyuvxuutuLUULUtuOxuuO/)(/ )(2對于波動運動而言，L是波長，是周期；空氣微團以U的速度振動，大約經過時間，走了

16、A的距離LALUtuOxuuO)(/ )( 對于小振幅波小振幅波 ，非線性項可略，小振幅波也稱 為線性波1LA 定義：振幅遠小于波長的波動稱為小振幅波，否則就稱 為有限振幅波在某些條件下把非線性方程線性化。在某些條件下把非線性方程線性化。微擾動線性化方法基本思想：微擾動線性化方法基本思想： （1）任一氣象要素（變量），由已知基本量疊加上未知擾動量組成，即：sss且 ss微擾動 0),(0 , .0wvzyuuwvconstuwvu靜止基流靜止基流沿緯圈的平均速度場沿緯圈的平均速度場考慮大氣的斜壓性（2）基本量滿足原方程。（3）擾動量的二次及二次以上乘積項（非線性項），可作為高階小量忽略。從而得

17、到線性方程。方程組線性化的基本步驟Step1.將描寫大氣運動和狀態(tài)的物理量分解為基本量與擾動量Step2. 將變量分解帶入方程及邊界條件Step3. 將所得方程減去基本量所滿足的方程Step4. 略去所得方程中擾動量的高階項sssxfvzuwyuvxuutuuuuvv ww step1:0,wvconstuxvfzuuwyuuvxuuuutuu) () () () () () () () () (step2:0 xxuutustep3:基本量滿足原方程xfvxuuwxuuvxuuxuuutu) () () () (step4:xfvxuuwxuuvxuuxuuutu) () () () (例1

18、：)()(CB )(C)(Bxppvfzuuwyuuvxuuuutuu) () (1) () () () () () () () (xpfvzuwyuvxuutu1uuuvv ww )(pzppxpxuutu1)(zstep1:step2:step3:)()(CB )(A)(Cxppfvxuuwxuuvxuuxuuutu) () (1) () () (基本量滿足原方程)(Bxpxpxp11 1111112例2：xx111xpxpfvxuuwxuuvxuuxuuutu1) () () (2step4:略去擾動量及其導數的二次乘積項xpfvxuutu1此時，方程形式上雖然多了幾項，但由于基本量是已

19、知的，故現在的方程是線性方程。討論：小擾動法適用于什么范圍？討論：小擾動法適用于什么范圍？ qq 只適用于天氣系統發(fā)展的初始階段，在發(fā)展旺盛期和后期錮囚階段都不能使用小擾動法只適用與小振幅波的討論，對于有限振幅波此法失效對于有限振幅的擾動，這時不滿足對于有限振幅的擾動，這時不滿足AA 擾動量的二次以上乘積項不能作為高階小量忽擾動量的二次以上乘積項不能作為高階小量忽略。非線性項重要。略。非線性項重要。有限（大）振幅擾動為非線性現象。有限（大）振幅擾動為非線性現象?？梢月匀?表示 uV 重要。物理上：非線性作用不積項，數值很??；數學上：擾動量二次乘如阻塞形勢是大振幅擾動，非線性過程，用線性過程就不

20、能解釋阻塞高壓形成的用線性過程就不能解釋阻塞高壓形成的機制和特征。機制和特征。假設變量具有平面波形式解:)(tmzlykxiAe,.)(,.)(,)(,.)(,222222ilyikxikxikxitititnnnnnn得到如下符號關系式：,.)(,.,)(,)(,.,)(,222222ilyikxikxikxitititnnnnnn0ilPfUVi0ikPfVUifvxptufuyptv)(tlykxiePVUpvu微分方程組化為代數方程組第四節(jié)第四節(jié) 聲波聲波 研究聲波的目的研究聲波的目的濾波濾波物理分析：空氣塊受壓縮 0 V連續(xù)方程）絕熱過程）壓縮膨脹速度很快，（質量守恒(TP狀態(tài)方程1

21、P產生的朝右產生輻散回復機制“大氣可壓縮性大氣可壓縮性”是聲波的產生機制。是聲波的產生機制。聲波的振動，與傳播方向一致聲波的振動，與傳播方向一致 典型的縱波。典型的縱波。 與天氣系統（振蕩周期為幾天，傳播速與天氣系統（振蕩周期為幾天，傳播速度為度為10m/s與風速相當）相比，聲波是與風速相當）相比，聲波是高頻波高頻波 如果不濾去，會引起不穩(wěn)定。如果不濾去，會引起不穩(wěn)定。 聲波的物理模型 （1）物理模型首先要突出研究對象的產生機制聲波產生的機制、過程、物理條件要保留、突出。 （2）去掉次要的波動，即濾波給出的條件要能去掉其它波動，保留聲波。 （3）盡量使問題簡化如：聲波可以是三維傳播的，但為了簡

22、單起見，可簡化為一維問題，機制沒發(fā)生變化。 物理模型物理模型假設：假設：（1）大氣是可壓縮的。 （2）大氣運動僅僅局限在x軸上 由于聲波是縱波，則聲波只在由于聲波是縱波，則聲波只在x向傳播向傳播簡化問題，且濾掉的橫波（如重力波、大氣長波等），如：重力波（水面波）：上下振動，水平方向傳播。 )0, 0(wv（3）不計科氏力（f0）（科氏力不是引起聲波的主要作用） 濾去了由科氏力產生的波，如慣性波、大氣長波等。 （4）膨脹和壓縮是絕熱過程dtdRTdtdpdtdpdtddtdppccdtddtdppcRdtddtddtpdcRdtdpRpppRpppTdtdpvppcRcRcRcRpppp1101

23、111lnln1ln1)()( 00100及數學模型：數學模型：三個方程、三個未知量閉合方程組 001dtdPdtdPxuxutxPxuutu方程組包含了聲波的機制 xudtduxPxuutuxPdtdPdtdPdtdPdtdxuxutxu改變0)1(010)0(0)0(001032xPxuutuxuPxPutPdtd得：）式消去）、（2微擾動的線性化：（1）設：）設： 且且uuuPPPConstConstuConstP（2）代入方程，得到： 且注意到：2110102xPxPxuuxuutuxuPxuPxPuxPutP（3）略去擾動量的二次乘積項即非線性項：)2(01) 1 (0 xPxuut

24、uxuPxPutP（4）求波動解：即消去)2() 1)(,xPxutu（4）求波動解： A：消元法消元法形式解為雙曲型的波動方程，令0)(222PxPPxut)(ctxikAePikxPikikAexPikctPikcikcAetPctxikctxik)()()()(的條件為：存在非零解即波動存在具有零解；PPPPucPikPPikuikc0)(0)()(2220)(2PucTRuPuc)2(01) 1 (0 xPxuutuxuPxPutP)()(,ctxikctxikBeuAePikxikct,)4(0)()()3(0)()(uuikikcPkiuPikPuikikcTRuPucPucucP

25、uc2)(01)4(0)()1()3(0)()(uuikikcPikuPikPuikikc（5）討論：1）聲波是線性疊加在基本氣流上，一維波動，聲波是雙向傳播的 。 2）波速c與k無關，是非頻散波 。 3）聲波的傳播速度c，取決于物質常數，聲波的傳播速度取決于介質。 4） 比是快波與大氣長波的移速11121010mssmc5）濾波的條件：大氣不可壓 水平無輻散&地轉近似 去掉水平向的聲波去掉水平向的聲波 靜力平衡氣壓取決于氣柱重量而不是壓縮程度 去掉垂直向的聲波去掉垂直向的聲波 濾波的方法不是唯一的 重力波是大氣在重力作用下產生的一種波動，它的產生和垂直運動聯系在一起，要求W不等于零。

26、 分為重力內波、重力外波。第五節(jié)第五節(jié) 大氣重力波大氣重力波（gravity wave） 重力外波重力外波 實際大氣：沒有自由面。實際大氣：沒有自由面。在討論動力過程時，經在討論動力過程時，經常把大氣簡化為均質大常把大氣簡化為均質大氣氣具有了自由面。具有了自由面。 在大氣自由面上會在大氣自由面上會產生類似于水面波的波產生類似于水面波的波動動重力波。重力波。自由面自由面密度不同流密度不同流體的交界面。體的交界面。重力內波：重力內波：實際大氣是層結流體，實際大氣是層結流體，看作是許多密度不同看作是許多密度不同的流體層組成。的流體層組成。 不同密度的流體交界面上，會產生重力波。不同密度的流體交界面上

27、，會產生重力波。如：穩(wěn)定層結下，氣塊受凈浮力（重力和浮力的合力）的回復力作用，作振蕩；如果振動能夠傳播，形成波動。兩種重力波重力波 層結大氣內部重力內波大氣自由面上重力外波 重力內波：在大氣內部，由于層結作用或在大氣內部的不連續(xù)面上，空氣受到垂直擾動后，偏離平衡位置，在凈浮力作用下產生的波動； 重力外波: (表面重力波) 處于大氣上下界的空氣，受到垂直擾動后，偏離平衡位置，在重力作用下產生的波動，它發(fā)生在邊界面上一、重力外波一、重力外波物理分析：均質流體的自由表面上產生的波動，與水面波相同。以一維渠道波為例：垂直剖面圖：沒有擾動，沒有擾動，水面呈水平水面呈水平的，流體深的，流體深度度H為常量。

28、為常量。如初始時刻，給如初始時刻，給AAAA向上的擾動向上的擾動：AA間的壓強（氣柱高度）BA間、AB間A線向左，A線向右的壓力梯度力A線向左運動，A線向右運動。產生兩種作用：產生兩種作用： AA間產生輻散，自由面下降，壓力減小。 壓力梯度力減小，但繼續(xù)加速輻散水平，壓力梯度力為零由于慣性繼續(xù)輻散產生向內的壓力梯度力輻散減弱至0，這時向內的壓力梯度力最大，產生輻合，自由面上升產生振蕩。 自由面上升-產生向外的壓力梯度力輻散自由面下降回復機制。輻合輻散運動回復機制從運動角度講，水平的（氣柱重量差產生）力梯度力是回復機制。從力的角度講，水平壓AA間輻散BA間、AB間輻合 由面上升擾動向左右兩邊傳播

29、 傳播的機制：水平輻合輻散 由上面分析可見，重力外波性質：雙向傳播 上下振蕩、水平傳播垂直向橫波 形成條件：形成條件：自由表面的存在 靜力平衡 水平輻合輻散是產生、傳播的重要機制。水平輻合輻散是產生、傳播的重要機制。 重力外波的物理模型應包括的機制： 自由面坡度變化相應的壓力梯度力水平的輻合輻散運動引起自由面的變化。重力外波的物理模型：均質不可壓，且具有自由表面（濾去重力內波、聲波）靜力平衡（濾去垂直向聲波） 不計科氏力作用（濾去慣性波、大氣長波 ）波動是一維的；運動限制在xz平面內（v=0)（濾去水平向橫波） 數學模型：數學模型： 0011zwxugzPxPzuwxuutuu，w，P ，是閉

30、合方程組是閉合方程組但這里沒有體現自由表面的性質但這里沒有體現自由表面的性質由靜力平衡 ：xhgxPzhgP1)(水平壓力梯度力與自由表面的坡度相聯系水平壓力梯度力與自由表面的坡度相聯系10Pgz同時輻合輻散會導致自由表面高度同時輻合輻散會導致自由表面高度發(fā)生變化發(fā)生變化由連續(xù)方程描述。由連續(xù)方程描述。把連續(xù)方程對整層流體積分，即：0)(0hdzzwxu得到）注意：不能從正壓條件與高度無關，即：由它驅動的水平運動也與高度無關，由于水平壓力梯度力( ; 0zuxhg00wwxuhhdtdhwwh同時，底面是水平的，則000dtdhxuh0 xuhxhuth)(uhxth1;)(xxuhxuh)(

31、uhx 單位時間，通過單位水平截面、高為h的空間體的東西側面的體積凈流出量。th單位截面積空間體內的流體體積變化率； 質量守恒均質不可壓體積守恒 體現了水平輻合輻散對自由面高度的影響。0 xuhxhuthxhgxuutu自由表面坡度產生壓力梯度力，改變自由表面坡度產生壓力梯度力，改變大氣的水平運動，由此產生的輻合輻大氣的水平運動，由此產生的輻合輻散運動又改變自由表面的坡度。散運動又改變自由表面的坡度。令 , HConst hHhConstuuuu,00 xuhxuHxhuxhuthxhgxuuxuutu)2(0) 1 (0 xuHxhuthxhgxuutu消去u： ) 1)()2)(xHxut

32、0)(222xhgHhxut令形式解：形式解： )(ctxikAeh0)()(22hikgHhikuikc要使 0 h0)(2gHucgHuc討論：討論：重力外波線性疊加在基本氣流上雙向傳播如g10m/s2，H=10km時， gH300m/s快波，高頻波。 非頻散波。濾波的條件：濾波的條件：水平無輻合輻散或準地轉近似沒有自由表面（兩種情況：充滿整個空間，剛性上邊界） 若不考慮重力，也可以濾去重力外波，但同時也消去了天氣波動。另一種解法：不用消元，行列式法。另一種解法：不用消元，行列式法。)()(ctxikctxikBeuAeh0)(0)(uHikhikuikchgikuikuikc存在非零解：

33、 0cuHgcu0)(2gHucgHuc 一般地，求解由一般地，求解由56個未知量組成的方程組時，可以：先消元，去掉先消元，去掉23個未知量；再再用行列式法求解。用行列式法求解。二、重力內波二、重力內波重力外波發(fā)生在自由表面（即的不連續(xù)面）上的波動。重力內波發(fā)生在穩(wěn)定層結的層結大氣中。浮力振蕩發(fā)生在穩(wěn)定穩(wěn)定層結的層結大氣中，因為只有在穩(wěn)定層結下，才能形成回復機制，使振蕩傳播出去形成波動。浮力振蕩：在穩(wěn)定層結中，當氣團受到垂直擾動時，它要受到與位移相反的凈浮力（回復力）作用而在平衡位置附近發(fā)生振蕩，這種振蕩稱為浮力振蕩。（類比于彈性振蕩）物理分析：穩(wěn)定層結中，垂直向受到擾動，形成浮力振蕩，通過水

34、平的輻合輻散傳播重力內波。強對流活動或地形都可以激發(fā)重力內波強對流活動或地形都可以激發(fā)重力內波1 大氣層結( )zP( )( )z( )( )zT( )P zzzzT zz：由低層向高層，氣柱的長度在減小，：在重力的作用下，粒子集中在下層，：大氣吸收地面的長波輻射而增溫，P,PVCPConstC準靜力內部氣壓始終與環(huán)境氣壓一致，故氣塊在上升過程中通過膨脹使干絕熱降溫,由于熱傳導很慢，氣塊在上升膨脹過程中，本身的溫度遞減率：氣塊在上升膨脹過程中，本身的溫度遞減率：TzddTdz大氣環(huán)境溫度遞減率：大氣環(huán)境溫度遞減率：1d wPgd tz dwggdt gggTTTgTTgTTTRTPgRTPTR

35、Pgdtdw) 1(111)()(dwggdt 000000()()ddddTTTzTzdzTTTzTzzTzTzdwggzdtTT 二者的大小關系體現了不同的層結狀況： 若 ，即周圍溫度下降得快，故氣團T周圍 ， 重力浮力，凈浮力向上，不穩(wěn)定層結； 若 ，即周圍溫度下降得慢，故氣團T浮力，凈浮力向下，穩(wěn)定層結； 若 ，凈浮力為零，中性層結。TTddd2,dd zNgwTdt 令 且 222dzNzdt 20dN若穩(wěn)定層結，cossinNzANtBNt解為：，振蕩解，其中： 為振蕩頻率。0000(),()PPARARCCPPdwTTTTgPPdtT由于，代入得：000000002()()()(

36、)()pppARARCCARCPPPPdwTTgggdtTPPdzzgdzzgzNzz 氣塊上升，干絕熱過程，位溫不變2lngNgzz其中，20dN若穩(wěn)定層結，cossinNzANtBNt解為：，振蕩解，其中： 為振蕩頻率。氣塊上升，是干絕熱過程，不變；而環(huán)境 在P相同時， 凈浮力向下，回復力作用，產生浮力振蕩0,0gz0TTTTgT2dwN = 0= 0dtdwN 0dt中性層結下，氣塊受擾將處于中性平衡狀態(tài)；不穩(wěn)定層結下，氣塊受擾將遠離平衡位置。所以只能在穩(wěn)定層結下才能形成重力內波。 2 解釋：上邊界為剛壁，消去了重力外波。 對AB間的流體而言： 擾動向上，由大氣的連續(xù)性知：下層周圍流體輻

37、合補充，上層流體 輻散散開； 對周圍流體而言： 上層輻合，下層輻散下沉運動，再由同樣的方式影響周圍流體； 再由回復力作用，一會兒上升，一會兒下沉，即形成波動。n綜上： 穩(wěn)定層結中，垂直向受到擾動，就會在與位移相反的凈浮力作用下，形成浮力振蕩，通過水平的輻合輻散傳播重力內波重力內波。n注：在實際大氣中，這樣的上升運動水汽凝結中尺度暴雨（云呈帶狀）， 尺度在百公里范圍左右。包辛內斯克近似包辛內斯克近似3重力內波的物理模型：假設：在連續(xù)方程中：包辛內斯克近似包辛內斯克近似上下邊界剛性：濾去重力外波 因為水平的輻合輻散必然在自由表面上產生波動。運動是一維的。f0，不計科氏力：濾去慣性波、大氣長波。干絕

38、熱過程。數學模型：數學模型： ()()()()0uuuPuwtxzxwwwPuwgtxzzuwxz 0,PVCdPP ddtdtC 熱力學方程:熱力學方程()PPPPuwuwtxztxz注：在熱力學方程中的 0t這是因為：干絕熱過程中，通過膨脹引起氣團內變化，故重力變了；而外界的(z)也在減小。所以哪個降得快，就會影響凈浮力的方向，從而產生重力內波在熱力學方程中必須考慮 0t對此方程進行線性化（為簡化起見，是在靜止的、層結大氣中）：線性化（為簡化起見，是在靜止的、層結大氣中）：,( ),( )uu ww PP zPz設0uuuuuuPuuwwttxxzzxwwwwwwPPuuwwggttxxz

39、zzzuuwwuwwxxxzzzzPPuwtx 22()()PPPPPPwuwwzztxzz 略去擾動項的二次乘積項，并把 0Pgz代入上面方程組，得到： 00()()00()uPtxwPgtzuwuwwxzzxzPPPPwwtztz,uuww設(1)(2)0(3)()uPtxwPgtzuwxzPPPPwtzzt 對上面的第四個方程進行改寫：11111211000000Nln,()()pARCPPPgTPR PzPRP由又由兩邊求ln，得到：0011lnlnlnln(1)lnPRP再對z求導，得：111ln()PPPzPzzzz兩邊同時 g，并利用聲波波速公式 2,LPPcuc222(4)LL

40、N cPwctgt由上下邊界固定，知： 0H0,0zzww0H0,0zzww下面求解上面方程組：求解上面方程組：對(1)和(3)消去 222(3)(1):(5)wPutxt zx 對(2)和(4)消去 22222(2):(4)()()(6)LLggNwPtctttc 對(5)和(6)消去 222P: ()(5)(6)Lgttcx22222222220()00Lzz HgwNwtxzczxw 令形式解：形式解： ()( ),ik x ctww z e (0)()0ww H()ikc,ikik x ctdwwetxzdz且，代入方程，得到：222222()0Ldg dNwwkwdzc dzcZ相當

41、相當于于=-=-2ba242bbacra 22222222444,0244LLbacgNgNrkkaCCCC2w 222224()4LgNmrkCCH 2224()4LNcmgkHC N值越大，大氣越穩(wěn)定，重力內波的波速就越快210/m s4 4 性質：性質：機制：浮力振蕩水平輻合輻散正負兩個方向長波頻散波波動的速度c幾十m/s 中尺度波動與日常局地性暴雨聯系，對應著非常強的上升運動。5青藏高原（水平尺度在千公里）： 降水發(fā)生在背風面； 影響大尺度天氣引起槽脊天氣系統、氣旋反氣旋。中尺度地形（百公里）：與中尺度天氣對應。 氣流爬坡，產生垂直擾動，穩(wěn)定層結，引起浮力振蕩， 產生得波動形為：A隨z

42、的增加而減小。第六節(jié)第六節(jié) 重力慣性波重力慣性波一一 慣性波慣性波慣性振蕩慣性振蕩“慣性”：由于地球自轉，產生最主要的慣性力是科氏力。質點受擾動后，在科氏力作用下，產生振蕩。證：只考慮科氏力： (1)(2)dufvdtdvfudt 消去u： 222(2)0dd vf vdtdt或消去v： 222(1)0dd uf udtdt諧振蕩，周期解： uAsinftBcosft或vAsinftBcosft其中，f_慣性振蕩的圓頻率。若有傳播機制，則振蕩會傳播出去。 傳播機制：水平輻合輻散在科氏力作用下形成的向右（北半球）旋轉的在科氏力作用下形成的向右（北半球）旋轉的慣性振蕩，通過水平輻合輻散的變化，在垂

43、直慣性振蕩，通過水平輻合輻散的變化，在垂直方向傳播，形成慣性波。方向傳播，形成慣性波。(1)(2)dufvdtdvfudt 某區(qū)域有上升運動某區(qū)域有上升運動 ，則：下層輻合、上層輻，則：下層輻合、上層輻散，進而產生水平擾動。散，進而產生水平擾動。對于西風擾動對于西風擾動 ， ，削弱原有西風，削弱原有西風，從而改變原來的水平散度分布。從而改變原來的水平散度分布。因此，在科氏力作用下形成的向右（北半球）旋轉因此，在科氏力作用下形成的向右（北半球）旋轉的慣性振蕩通過水平輻合、輻散及垂直運動的交替的慣性振蕩通過水平輻合、輻散及垂直運動的交替變化，在水平方向和垂直方向傳播，形成慣性振蕩。變化，在水平方向

44、和垂直方向傳播，形成慣性振蕩。外部條件：地球旋轉；外部條件：地球旋轉；內部條件：垂直運動及其加速度（非靜力平衡），內部條件：垂直運動及其加速度（非靜力平衡），水平散度的交替變化。水平散度的交替變化。0w 0u 0,0,0dvduvdtdt純慣性振蕩大氣中不常見，海洋中可見。純慣性振蕩大氣中不常見，海洋中可見。v=-fR f增加，增加，v變化不大，變化不大，R減小減小實際上，大氣中純慣性波并不存在。實際上，大氣中純慣性波并不存在?？剖狭?、重力是同時起作用的科氏力、重力是同時起作用的.若發(fā)生在自由表面上，則稱重力慣性外波；若發(fā)生在層結大氣中，則稱重力慣性內波。與重力波一樣，也與中尺度天氣相聯系。慣

45、性波與重力波形成混合波，稱為重力慣性波.以作旋轉運動的一個水槽內的水（受重力和慣性離心力）為例：（1）沒有旋轉運動，則：沒有慣性力，是純重力的作用下。單純重力的作用，產生的垂直方向的振動、水平方向的波動；單純科氏力的作用，產生的水平面上的振蕩、垂直方向的波動。（2）旋轉運動很強，則：很大，相比來看重力可以不計， 即在純慣性力作用下。（3）重力、慣性力共存下：自由表面呈拋物線型時才穩(wěn)定。二二 重力慣性外波重力慣性外波 假設：假設： 靜力平衡，均質不可壓：靜力平衡，均質不可壓：是常量；是常量； 有自由面； 運動發(fā)生在旋轉地球上，即 00,ffConst ff濾去了聲波、內波、大氣長波；含有重力外波

46、（2個解）、由于科氏力引起的慣性波（2個解）的解。如果為四個解，則重力外波和慣性波分開；如果為兩個解，則說明重力外波與慣性波混合成為了重力慣性外波。數學模型：數學模型：考慮科氏力作用下的方程考慮科氏力作用下的方程00110vvvPuvuuuPuvf vtxyxuvwf utxyyxzy 11(),PhPhPg hzggxxyy &hhggxy0,0uvzz假設自由面高度h（x，y，t）：由靜力平衡： 趨動大氣運動的力（氣壓梯度力）與z無關h與z無關，所以由它們趨動的大氣運動也與z無關與z無關00uuuhuvgf vtxyxvvvhuvgf utxyy 000()0()00,()0()h

47、hhuvwuvdzhwwxyzxydhwwdthhhuvuvhtxyxyhhVt 連續(xù)方程積分:即：由“均質不可壓”和“質量守恒”，推出“體積守恒”。對上式的討論：hV0,0,hV0,0,hhthht凈流入， （）凈流出， （）原方程組變?yōu)椋?0()0uuuuhuvwgf vtxyzxvvvvhuvwgf utxyzyhhhuvuvhtxyxy 線性化：線性化：在靜止狀況下發(fā)生的擾動： ,uu vv hHh HConst則方程組變?yōu)椋?0()0uhgf vtxvhgf utyhuvHtxy 消元可得： 222200222()0gHfhttxy考慮一維波動，令 ()i kxthAe ,iiktx

48、 代入得：22200()()()0iigH ikfh要使 222000()()0hiigH ikf 這是三次方程，所以應該有3個解：個解：10定常波 實際大氣中不會出現這樣的波動。所以，這個解是無意義的，是由于在消元過程中使方程階數變高了。222000gH kf22200gH kf 相當于兩個波動的合成重力外波02ucugHgHckgHk 慣性波0f220cfgHk重力慣性外波的波速公式：氣象意義：是重力外波和慣性波的混合解混合解由于實際大氣中，重力和科氏力都存在，故重力外波與慣性波混合并存。重力慣性外波：頻散波頻散波傳播機制：水平輻合輻散.故對應中尺度天氣過程，是高頻波、快波，對應局地、短時

49、、強烈的天氣現象。n重力慣性外波在海洋中也可被激發(fā)，重力慣性外波在海洋中也可被激發(fā)， 由地震、火山等激發(fā)，波速在由地震、火山等激發(fā)，波速在300m/s左右，左右， 到岸邊就是海嘯。到岸邊就是海嘯。 第七節(jié)第七節(jié) 大氣長波大氣長波 大氣長波很重要，從任一張?zhí)鞖鈭D上都可以看出大氣長波很重要，從任一張?zhí)鞖鈭D上都可以看出長波的性質長波的性質：大尺度波動，渦旋運動，準地轉，準水平無輻散，準水平運動。大尺度波動，渦旋運動，準地轉，準水平無輻散，準水平運動。慢波：慢波：控制日常天氣過程?？刂迫粘Ｌ鞖膺^程。強度：大振幅。強度：大振幅。水平向橫波：振動在南北方向，傳播在東西方向。水平向橫波：振動在南北方向，傳播

50、在東西方向。假設：假設：運動局限在水平面內， 濾掉了垂直向的橫波（重力波）大氣均勻不可壓不考慮層結，正壓大氣，密度常數濾掉了聲波，重力內波。綜合此二點，即假設水平無輻散，濾掉了重力慣性波。數學模型：u，v，P的閉合方程組()(1)()(2)0uuuPuvfvtxyxvvvPuvfutxyyuvxy V,vukxy(2)(1)xyuvvtxy 大氣長波主要是渦旋運動；描述渦旋運動的最好的物理量是，而不是水平運動，對應的在垂直方向上：故對上面方程組作些處理：簡化的渦度方程,0uvvtxyvuuvxyxy 簡化的渦度方程和連續(xù)方程：簡化的渦度方程和連續(xù)方程：線性化：線性化：,uuu vv uCons

51、t 即假設大氣長波疊加在均勻的西風基流上（中高緯大氣上空的西風氣流并不均勻，存在西風急流）00uuvvtxxyuvxy 代入方程，得到：有旋無輻散：可以引入流函數 22222,uyxyvx 略去二階小量，得到：00uvtxuvxy引入流函數，并略去方程中擾動量的二次乘積項，得到：2()0utxx 一元線性微分方程設波動解：設波動解：()i kx lytAe 代入上面的一元線性微分方程中，得到： 2222()()( ) 00iikuikilikkukkl 2cKK,xyccklgcijkl波速：波速： 群速度：群速度： 三 以一維的情況討論：討論： 一維，即l0，ukk1 傳播： 波速： 2cu

52、kk與重力波的cugH 不同，大氣長波單向傳播； 22u00,0kku無基流時， ，向西傳播且有西風基流時，要比較 與的量級大小2 cos,a其中 k緯圈上的波數，u2200kLckkLck大， 小， 小，東傳短波東進；小， 大， 大，西傳長波西退。20,2sssucukLku,0 ,0 ,0 ,sssLLcLLcLLc西 退靜 止東 進 是可以確定的，也可以確定；故c取決于k或L：由波靜止時的臨界波數，臨界波長得到：冬季基本氣流較大平均三個波。夏季基本氣流略小，平均四個波。緯向風越大，緯度越高，臨界波長越大尺度分析7460066121212101210=10 m10 mU=10m/s10 s

53、=10fa=10=10()()()0101010101010()0LLDHUUWURLHuvUvuUxyLxyLuvuvuvvftxypxyxyuvvfxy，D，零級近似：超長波運動準定常超長波運動準定常正壓正壓Rossby波波速公式應用波波速公式應用（2）波速大?。憾唐谶^程，氣旋尺度在千km量級，而Rossby波的傳播速度在幾百km/天。 天氣系統幾天過去。 不同于重力波的c 幾千km/天，幾個小時此天氣系統就過去了。 210/m s 傳播特點：傳播特點：1）單向緩慢傳播）單向緩慢傳播2）無基流時，純）無基流時，純Rossby波西退； 有西風基流時，Rossby波的傳播有三種情況。2 頻散：

54、頻散： 2,ukcukk 頻散波，波動的能量不隨波傳播，即槽脊能量傳給別人。20gcukkgcc 能量一定在槽的下游，槽在能量的上游。故上游槽會在下游會加強波動（原來有波動），或激發(fā)波動（原來無波動）。這就是上游效應。（1）不管波長多大，群速度總是正值，能量向東傳播；）不管波長多大，群速度總是正值，能量向東傳播；（2）波長越短，能量東傳越慢；）波長越短，能量東傳越慢；（3）能量移動速度比波速快。）能量移動速度比波速快。2suL上游效應：000,gggcccccc當或者，時，波動的能量先于波動傳到下游，會在下游加強原擾動或激發(fā)新的波動，稱為上游效應。下游效應：000gggcccccc當或者，時，

55、下游波動對上游波動的影響。 而實際天氣過程中，Rossby波： 0gcc上游效應。 3 機制：的存在，是的存在，是Rossby波產生的必要條件。()()0ddfdfdffdvvvufdtdydydxtdt 其中，是垂直方向的相對渦度， 2sin2f 0addt絕對渦度守恒。 科氏參數或稱牽連渦度隨緯度變化會使 發(fā)生變化。系統有南北運動由上面方程知：效應：（由的存在產生的結果） 由于科氏參數f隨緯度是變化的（不等于0），當系統作南北運動時（v不等于0），這時系統的牽連渦度發(fā)生變化；為保持絕對渦度守恒，系統的相對渦度也要發(fā)生相應的變化。由這種機制產生的結果，稱為效應，它是Rossby波的機制。關于

56、關于Rossby波產生機制的不同說法：波產生機制的不同說法：回復機制：回復機制：初始時刻，基本西風氣流下， 0； 現在：受到向北的擾動，由于 ,0f,u u,0f在 的作用下，作反氣旋的圓周運動；直至回到原緯度，f回到原值；但由于慣性，會繼續(xù)向南，此時作氣旋式運動；再回到原緯度，受慣性繼續(xù)相北； 這種說法：可以解釋天氣圖上的波狀氣流；這種說法：可以解釋天氣圖上的波狀氣流；但只是解釋了質點的回復機制，沒有給出波的傳播機制；而且看到的也是疊加在基本氣流上的。所以這里看到的波狀，實際上還是質點的振蕩（類似于前面講的單擺在振蕩，下面的紙在移動，留在紙上的波形）。傳播機制：傳播機制： dvdt 利用 作

57、如下討論：Rossby波的機制回復機制；傳播機制。 中間質點受擾動，v0 ， ，生成反氣旋渦度（點渦僅僅在一個地方有渦度），該點渦也會在周圍誘導出反氣旋流場，使得左邊的流點受到向北的擾動，產生反氣旋渦度，也誘發(fā)出流場，使兩邊的流點振動起來，也使得右邊的流點受到向南的擾動，產生氣旋渦度，也誘發(fā)出流場，使兩邊的流點振動起來。同時左邊流點誘發(fā)的反氣旋流場和右邊流點誘發(fā)的流場，使中間流點產生向南的運動。這相當于給中間流點一個回復機制，產生振蕩。 左邊流點產生脊，故脊由中間點向左邊西傳；右邊流點產生槽，而中間點受向南的擾動產生槽，故槽也向西傳。所以波動向西傳播。,0f這種說法：這種說法：1）質點發(fā)生南北擾動后，受回復力作用發(fā)生振蕩；）質點發(fā)生南北擾動后，受回復力作用發(fā)生振蕩；2）質點誘導出的流場，使周圍流點發(fā)生擾動）質點誘導出的流場，使周圍流點發(fā)生擾動傳播；傳播；3）從位相上看，單向西傳。）從位相上看，單向西傳。都是效應的結果。Rossby波產生、傳播、振蕩所有機制，都是效應。第八節(jié)第八節(jié) 濾波問題濾波問題一，一，濾波的目的：