大學(xué)力學(xué)第二章

1、第二章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)力學(xué)： 運(yùn)動(dòng)學(xué) + 動(dòng)力學(xué) + 靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)：只描述物體的運(yùn)動(dòng)，不涉及引起運(yùn)動(dòng)和改變運(yùn) 動(dòng)的原因。(位移、速度、加速度、軌跡等的定 義和計(jì)算)動(dòng)力學(xué)：研究物體的運(yùn)動(dòng)與物體間相互作用的內(nèi)在聯(lián)系。 (運(yùn)動(dòng)微分方程的建立和求解)靜力學(xué)：研究物體在相互作用下的平衡問題。 (受力分析和平衡方程的應(yīng)用)2.0 時(shí)間與空間 參考系一、時(shí)間與空間基本的定義1. 時(shí)間時(shí)間：指物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的持續(xù)性和順序性。持續(xù)性：任何一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)都要經(jīng)歷一個(gè)或長或短 的過程。順序性：不同事物之間運(yùn)動(dòng)過程的出現(xiàn)有一個(gè)先后順 序關(guān)系。時(shí)間的特點(diǎn)：一維、單方向性。2. 空間空間：指運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)的廣延性。廣延性：任何物體

2、都有長、寬、高三個(gè)方向，任何物體 都占有一定的體積和一定的形式。 空間表示物體彼此之間的并列關(guān)系和分離狀態(tài)，表示物體的體積、形態(tài)、位置和排列等屬性的范疇。3. 牛頓的時(shí)空觀牛頓的時(shí)空觀 “絕對的、真正的和數(shù)學(xué)的時(shí)間自身在流逝著，而且由于其本性而均勻地、與任何其它外界事物無關(guān)地流逝著”；“絕對的空間，就其本性而言，是與外界任何事物無關(guān)而永遠(yuǎn)是相同的和不動(dòng)的”。 4. 時(shí)間的計(jì)量時(shí)間的計(jì)量費(fèi)曼：重要的不在于我們是如何來定義時(shí)間，而在于我 們?nèi)绾蝸頊y量它。通常：采用能夠重復(fù)的周期過程或現(xiàn)象來作為計(jì)量時(shí)間一種鐘。例如，太陽的升沒表示天；四季的循環(huán)稱作年；月亮的盈虧是農(nóng)歷的月。其它的周期過程：雙星的旋轉(zhuǎn)

3、、人體的脈搏、吊燈的擺動(dòng)、分子的振動(dòng)等等。一般：已知某個(gè)物理現(xiàn)象隨時(shí)間的變化(不是周期性的)，也可用來計(jì)量 時(shí)間。例如，人的容貌年齡；星體的顏色星體的年齡。秒的定義秒的定義：一個(gè)平均太陽日的1/86400。(其中：某地的太陽日是指太陽連續(xù)兩次經(jīng)過該處子午面的時(shí)間間隔；平均太陽日為全年太陽日的平均值)原子鐘原子鐘：定義1秒為銫133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級之間躍遷相對應(yīng)的輻射周期的9192631770倍，即1秒 = 9192631770 T這個(gè)躍遷頻率測量的準(zhǔn)確度達(dá)到 至 。表1 一些典型過程的時(shí)間尺度12101410 宇宙年齡地球年齡太陽繞銀河系中心的軌道周期古人類的出現(xiàn)钚的半衰期人的壽命地球

4、的公轉(zhuǎn)周期 (1年)地球的自轉(zhuǎn)周期 (1天)人的脈搏人的神經(jīng)系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間可聽見的最高頻率的聲音周期子的壽命典型的分子轉(zhuǎn)動(dòng)周期實(shí)驗(yàn)室能產(chǎn)生的最短光脈沖周期介子的半衰期共振粒子壽命從宇宙誕生到已知的物理定律可用的時(shí)間61017 秒1.51017 秒81015 秒61013 秒81011 秒2109 秒3107 秒8.6104 秒1 秒110-1 秒510-5 秒210-6 秒110-12 秒110-15 秒210-16 秒110-25 秒110-43 秒 5. 長度的計(jì)量長度的計(jì)量長度：空間中兩點(diǎn)間的距離。1889年第一屆國際計(jì)量大會(huì)：將保藏在法國的國際計(jì)量局中鉑銥合金棒在在0 0C時(shí)時(shí)兩刻線間的

5、距離定義為1米(長度計(jì)量的實(shí)物基準(zhǔn))。18世紀(jì)末：規(guī)定通過巴黎的子午線長度的 為 1米。1960年在第十一屆國際計(jì)量大會(huì)上規(guī)定： 1米等于氪86原子的兩能級之間躍遷所對應(yīng)的輻射(橙色譜線)在真空中的波長的1650763.73倍。71/(4 10 )激光波長基準(zhǔn)裝置激光波長基準(zhǔn)裝置 1983年10月在第十七屆國際計(jì)量大會(huì)上規(guī)定： 1米是光在真空中在1/299792458秒的時(shí)間間隔內(nèi)所傳播的路程長度 (光速：c = 299792458 米秒)。 長度計(jì)量的自然基準(zhǔn)最小長度： (普朗克長度)；最大長度： 天文學(xué)：采用 常“光年” 和 “秒差距” 來描述距離。定義：光年光在真空中經(jīng)一年走過的距離，縮

6、寫為“l(fā)y”。 1ly 。 秒差距記作 “pc” ，1pc=3.26 ly 。159.46 10 m163.09 10 m表2 一些典型事物的時(shí)間尺度3510m2810 m最遙遠(yuǎn)星系銀河系鄰近恒星太陽地球人類細(xì)胞原子質(zhì)子夸克1026 m1020 m1010 m100 m10-10 m10-20 m星系的直徑大約是 1021米人造物體和自然物體的電子顯微鏡照片，圖中垂線是20納米的聚合物纖維，有短尾的物體是T-4噬菌病毒。 6. 國際單位制所用的詞冠 由前面所述可見，物理學(xué)研究的對象跨越非常巨大的數(shù)量級范圍，單一的單位(如秒、米)，用起來就很不方便。通常的做法是采用一些詞冠來代表一個(gè)單位的十進(jìn)倍

7、數(shù)或十進(jìn)分?jǐn)?shù)，如千( kilo )代表倍數(shù)103，厘(centi)代表分?jǐn)?shù)10-2 等等。在國際單位制中，原來從10-18 到1018 的36個(gè)數(shù)量級之間規(guī)定了16個(gè)詞冠，近來又建議在大、小兩頭再各增加兩個(gè)，共20個(gè)詞冠，見下表。 這些詞冠與各種物理量的單位組合在一起，構(gòu)成尺度相差甚為懸殊的大小各種單位，在現(xiàn)代物理學(xué)中廣泛使用著。其中有的已作為物理學(xué)名詞的一部分，如納米 (nm) 結(jié)構(gòu)、飛秒 (fs) 光譜等，成為一些新興技術(shù)的標(biāo)志和象征。表3 國際單位制所用的詞冠 數(shù)量級 10-110-210-310-610-910-1210-1510-1810-2110-24英文名 decicentimi

8、llimicronanopicofemtoattozeptoyocto縮寫符號 dcmnpfazy中譯名分厘毫微納諾皮可飛母托阿托仄普托幼克托國際單位制所用的詞冠 (續(xù)表) 數(shù)量級 1010210310610910121015101810211024 英文名 decahectokilomegagigaterapetaexazetayota 縮寫符號 dahkMGTPEZY 中譯名十百千兆吉咖太拉拍它艾克薩澤塔尤塔 二、參考系與坐標(biāo)系1. 參考系 某物體的運(yùn)動(dòng)總是相對于另一些選定的參考物體而言的。由此，定義：參考系作為研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所參照的物體 (或彼此不作相對運(yùn)動(dòng)的物體群)。說明：一般說來，研

9、究運(yùn)動(dòng)學(xué)問題時(shí)，參考系可以任意 選擇。但在考慮動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，要選擇某類特定 參考系 (慣性系)。2. 坐標(biāo)系 為了定量描述運(yùn)動(dòng)，還需要在參考系上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(如直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等)。注：1. 坐標(biāo)系實(shí)質(zhì)上是由實(shí)物構(gòu)成的參考系的數(shù)學(xué)抽 象；2. 在參考系上還必須加上計(jì)時(shí)裝置鐘。太陽系太陽系zx y地心系地心系地面系地面系2.1 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)：描述物體空間位置隨時(shí)間的變化規(guī)律。一、質(zhì)點(diǎn)理想模型 在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體的大小和形狀是千差萬別的。對有些場合(如落體受到空氣的阻力問題)，物體的大小和形狀是重要的；但在很多問題中，這些差別對物體運(yùn)動(dòng)的影響不大。若不涉及物體的轉(zhuǎn)動(dòng)和形

10、變，只研究它們的平動(dòng)，這時(shí)就可以忽略它們的形狀和大小，把它們簡化為一個(gè)具有質(zhì)量的點(diǎn) (即質(zhì)點(diǎn)) 來處理。質(zhì)點(diǎn)突出了“物體具有質(zhì)量”、“物體占有位置” 。二、質(zhì)點(diǎn)的位置矢量與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如圖，以物體K作為參照物，并選取K 上某點(diǎn)O作為參考點(diǎn)。由O點(diǎn)引向質(zhì)點(diǎn)所在位置的矢量為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量(簡稱位矢)，如圖中 所示。為明確起見，在此以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系(單位矢量為 ) 。這樣質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x,y,z)，因此OPr xyzrijk , ,i j k位矢另一種描述方式：矢量大小 方向 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的每一時(shí)刻，均有一位矢與之對應(yīng)，即位矢 r 為時(shí)間t的函數(shù)： r = r(t)質(zhì)點(diǎn)

11、的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以得到質(zhì)點(diǎn)全部的運(yùn)動(dòng)情況。在直角坐標(biāo)系下，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程寫為易得運(yùn)動(dòng)方程的標(biāo)量形式：x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)。222rxyzrcos, cos, cosx ry rz r( )( )( )( )tx ty tz trrijk三、運(yùn)動(dòng)軌跡 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過的各點(diǎn)在空間連成一條曲線，這條曲線稱之為軌跡。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在平面O-xy上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為消去時(shí)間變量 t，得上式即為質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。( ),( )xx tyy t( )yy x一質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為一質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r ，角速度為，角速度為 。以圓心以圓心O 為原點(diǎn)。建立直角坐標(biāo)為原點(diǎn)。建

12、立直角坐標(biāo)系系OXY ，O 點(diǎn)為起始時(shí)刻，設(shè)點(diǎn)為起始時(shí)刻，設(shè)t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于P（x , y），用直角，用直角坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 sin , costrytrxtrs位矢表示為位矢表示為自然坐標(biāo)表示為自然坐標(biāo)表示為xyPt xyOrs例例解解 ),(yxO j tri trj yi xrsincos求求 用用直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)、位矢、自然坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。、位矢、自然坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。2.2 速度與加速度一、位移 路程1. 位移 考慮質(zhì)點(diǎn)作三維曲線運(yùn)動(dòng) (直線運(yùn)動(dòng)為曲線運(yùn)動(dòng)的特例)。為描述質(zhì)點(diǎn)在一定時(shí)間間隔內(nèi)位置的變動(dòng)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)

13、刻位于M點(diǎn)，在 時(shí)刻位于 點(diǎn)，這兩點(diǎn)的位矢分別為 。在時(shí)間間隔 內(nèi)，位矢的改變量為ttM( ),()tttrrt()( )ttt rrr位移矢量2. 路程 除引入位矢運(yùn)動(dòng)外，也可以引入路程來描寫運(yùn)動(dòng)。如右圖，質(zhì)點(diǎn)沿曲線AB運(yùn)動(dòng)。t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于P點(diǎn)， 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)分別位于M點(diǎn)和 點(diǎn)。定義路程函數(shù)s(t)，它表示質(zhì)點(diǎn)到t時(shí)刻所走過的路程長度，則從M點(diǎn)到 點(diǎn)路程的長度為比較：位移 與路程 的異同點(diǎn)(a)位移與路程不同于位矢，它們與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無關(guān)。 12,t tM21()( )ss ts t Mrs(b) 路程s是由M到M的曲線的實(shí)際長度，是一個(gè)標(biāo)量。而位移是由始點(diǎn)至終點(diǎn)的有向線段，是一個(gè)矢量，而且

14、位移的大小通常也不等于路程。 (c) 位移不反映初位置到終位置中間的細(xì)節(jié)，也不反映初位置或終位置本身，僅反映兩者相對位置的改變。 二、速度1. 平均速度設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿曲線AB運(yùn)動(dòng)， 刻分別位于位置1, t tt和位置2，發(fā)生的位移為 。為描述運(yùn)動(dòng)的快慢，引入速度這一概念。定義質(zhì)點(diǎn)位移 與發(fā)生這一位移的時(shí)間間隔 之比為質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，記作 ，即2. 速度 由平均速度定義可見，平均速度僅提供一段時(shí)間內(nèi)位置總變動(dòng)的方向和平均快慢，不能精確刻劃質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的運(yùn)動(dòng)方向的改變和時(shí)快時(shí)慢的詳細(xì)情況。如，前圖中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向并非總是沿r()( )ttt rrrtv()( )tttttrrrv著1

15、到2的方向的，而是先從1向4、3方向運(yùn)動(dòng)，然后從 3向2。為精確描寫質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，就需要利用極限這一數(shù)學(xué)工具。 當(dāng) 時(shí)，有 ，比值 將無限接近于一確定的數(shù)值；與此同時(shí)， 的方向無限靠近t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在處軌跡的切線。可見， 當(dāng) 的極限刻劃了質(zhì)點(diǎn)在一瞬間的運(yùn)動(dòng)狀況，于是定義在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度為t至 時(shí)間內(nèi)平均速度 當(dāng)時(shí)的極限，記為 (矢量)，即0t 0 rtrtrtr0t tttr0t v00LimLimttddtdtdt rrvvr(速度的單位：m/s)(速度的量綱：LT-1)當(dāng) 時(shí)，路程與位移的關(guān)系為 。同樣，可以定義瞬時(shí)速率(簡稱速率) 速率等于速度的大小三、加速度 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的大小和

16、方向都可能變化，為反映速度變化的快慢和方向，需要引入平均加速度和瞬時(shí)加速度(簡稱加速度)。0t dsdr00LimLimttdsdsdvvtdtdtdt rrv如右圖，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的速度為 ，經(jīng) 后速度變?yōu)?，速度增量與發(fā)生這一增量所用的 之比 定義為這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度，記作 。 于是有 平均加速度與一段時(shí)間間隔相對應(yīng)，其大小反映 內(nèi)速度變化的平均快慢，其方向沿速度增量的方。 當(dāng) 時(shí)，平均加速度 的極限叫作t時(shí)刻的( ) tv( ) tv()ttv()ttvv( ) tvt()ttv()( )ttt vvvttvatvat0t tv瞬時(shí)加速度，記作 ，即 質(zhì)點(diǎn)的加速度等于速度矢量對時(shí)間的

17、一階導(dǎo)數(shù)又 ，所以 質(zhì)點(diǎn)的加速度等于位置矢量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)a00LimLimttddtdtdt vvaavddtrv22ddtra(加速度的單位：m/s2)(加速度的量綱：LT-2)說明：(1) 加速度是矢量；(2)若已知速度，即可求得加 速度，如已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程r=r(t)，則可得到速度 與加速度，即獲得質(zhì)點(diǎn)的全部運(yùn)動(dòng)狀況。2.3 直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述 如前所述：(1) 為了定量地描述運(yùn)動(dòng)，還必須建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2) 描寫運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量位矢 r、速度 v、加速度 a 均為矢量。它們本身跟坐標(biāo)系的選擇沒有關(guān)系，但可以用不同的坐標(biāo)系來進(jìn)行表示。而最簡單、最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系。直角坐

18、標(biāo)系的建立：取固定于參考系的一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) (原點(diǎn)代表坐標(biāo)系) ；取固定于參考系的三根直線，它們通過原點(diǎn)并兩兩正交，又在三根直線上各規(guī)定一個(gè)正方向，分別稱之為x、y、z坐標(biāo)軸，這三個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成右手螺旋系。這樣，就組成了直角坐標(biāo)系，如。 從原點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)P所在處引一位矢r(t)，位矢r與三個(gè)坐標(biāo)軸正方向的夾角分別為 。在此直角坐標(biāo)系下，有 其中 分別為三個(gè)坐標(biāo)軸的單位常矢量。又 ，因此速度()、 、方位角( )( )( )( )tx ty tz trijkijk、 、ddtrv在直角坐標(biāo)系下的表示為同樣，可得到加速度在直角坐標(biāo)系下的表示說明：在以上計(jì)算中，用到( )( )( )( )xyzdtdx

19、 tdy tdz tdtdtdtdtvvvxyzrvijkijkijk( )( )( )( )yxzxyzdv tdv tdv tdtdtdtdtdtaaaxyzvaijkijkijk 0 (, ,:)ddddtdtdtijki j k常矢量一、直線運(yùn)動(dòng)定義：直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條直線的運(yùn)動(dòng)。一維直角坐標(biāo)系：原點(diǎn)位于參考點(diǎn)，坐標(biāo)軸與質(zhì)點(diǎn)軌跡重合。因此，質(zhì)點(diǎn)的位矢為進(jìn)而，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、速度和加速度分別為( )( )tx trri22( )xxxxx tdxvvdtdvd xaadtdt1. 第一類問題第一類問題asrr,v已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求(1) t =1s 到到 t

20、 =2s 質(zhì)點(diǎn)的位移質(zhì)點(diǎn)的位移(3) 軌跡方程軌跡方程(2) t =2s 時(shí)時(shí)a ，vjir 21jir242jijirrr321)2(2)(412jttrajtjtr2dddd , 22dd22vvjaji 2 , 4 222v222tytx422xy已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程已知一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程jtitr)( 222求求例例解解 (1)(2)(3)當(dāng)當(dāng) t =2s 時(shí)時(shí)解解jat16ddvtjtt0 d16d)(0)vvvjt-t 16(0)(vvtjtir)d 166(dkjti ttr88 6)(2已知已知ja16kri8)0(,6)0(vv求求和運(yùn)動(dòng)方程。和運(yùn)動(dòng)方程。代入初始條件代入初始條件k

21、r8(0) 代入初始條件代入初始條件2. 第二類問題第二類問題jt d16dvjtit 166)(v)(ddttrvtrrtjtirt0)d 166(d)(0)已知加速度和初始條件，求已知加速度和初始條件，求sr, , v例例,t =0 時(shí)時(shí)二、曲線運(yùn)動(dòng) (以平面上的曲線運(yùn)動(dòng)為例)定義：平面運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在平面上的曲線運(yùn)動(dòng)1. 平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：速度：加速度：( )( )( )tx ty trij22( )( )(,), cos, cosxyxyxyvxvydxdyv tv tvvdtdtvvvvvvvvijv222222( )( )(,), cos, cosxyxyxyaxay

22、d xd ya ta taadtdtaaaaaaaaija 反之，若已知質(zhì)點(diǎn)的初始位置和質(zhì)點(diǎn)的初始速度 ，則通過積分得到P40：例題12. 拋體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的重要性質(zhì)：運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性。拋體運(yùn)動(dòng)驗(yàn)證了這一性質(zhì)。 正式由于運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性，才0000,t tt txxyy0000,xxyyt tt tvvvv00000000( ),( )( ),( )ttxyttttxxxyyyttxxv t dtyyv t dtvva t dtvva t dt有矢量的平行四邊形法則。矢量的正交分解實(shí)際上反映了運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性。 在地球表面附近，重力加速度g可以看成常矢量 ( g的值總?cè)檎龜?shù))。對于拋體問題(忽略空氣阻力)，

23、其水平分量與垂直分量相互獨(dú)立。為此，建立直角坐標(biāo)系。以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上y軸正方向，如圖所示。 設(shè)斜拋物體的初速度為 ，與 x 軸正方向的夾角為 ，則有0v00cos ,sinxydxdyvvvvgtdtdt上兩式積分后，得到拋體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程或消去 x=x(t) 和 y=y(t) 的時(shí)間變量 t ，得到軌跡方程說明： 以上是通過建立直角坐標(biāo)系來描述運(yùn)動(dòng)。值得注意的是，建立何種坐標(biāo)系，要視解決問題的方便而。2001(cos) ,(sin)2xvtyvtgt2001(cos)(sin)2vtvtgtrij2220tan2cosgyxxv有時(shí)直角坐標(biāo)系不是最方便的坐標(biāo)系

24、。這是因?yàn)椋?1) 若我們研究的運(yùn)動(dòng)是受約束的運(yùn)動(dòng)，比如火車的行 駛(它不能離開鐵軌)，或穿在彎曲鋼絲上的小環(huán)的 運(yùn)動(dòng)等。這類運(yùn)動(dòng)往往軌跡的形狀是給定的，此 時(shí)，沿軌跡的曲線坐標(biāo)系有可能是更方便的坐標(biāo)。(2) 有時(shí)使用直角坐標(biāo)系使得數(shù)學(xué)計(jì)算簡單了，比如： 各直角分量的導(dǎo)數(shù)便于計(jì)算、 等。但是由 各直角分量合成后的速度、加速度的表達(dá)式的意義 還不夠直觀。因此，需要引入新的坐標(biāo)系。0ddt i2.3 自然坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述 如果質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡是已知的，常采用平面自然坐標(biāo)系(簡稱自然坐標(biāo)系)來描述運(yùn)動(dòng)。一、自然坐標(biāo)系 一般而言，質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)需要兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)描述。但對于已知軌跡的運(yùn)動(dòng)，

25、僅用一個(gè)獨(dú)立就能確切描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。自然坐標(biāo)系的建立：在運(yùn)動(dòng)軌跡上任取一點(diǎn)O作為原點(diǎn)，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于P，取自然坐標(biāo) s(t) ，其絕對值為P到O的弧長。取質(zhì)點(diǎn)所在處P點(diǎn)的切線且指向自然坐標(biāo)s增加方向上的單位矢量為 (切向單位矢量)，另取一與 垂直并指向軌跡凹側(cè)的單位矢量 (法向單位矢量)。注意： 是單位矢量，但不是單位常矢量，不同于直 角坐標(biāo)系中的單位常矢量 。(tangent：切線/正切)二、自然坐標(biāo)系中的速度和加速度表示1. 速度 設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的自然坐標(biāo)為s(t) ，經(jīng) 后，質(zhì)點(diǎn)的位移為 ，自然坐標(biāo)為 ，自然坐標(biāo)的增量為(代數(shù)量)，即tt ntn、ijk、 、tr()s tts()( )s

26、s tts t 由速度的定義有又當(dāng) 時(shí)， ，所以而當(dāng) 時(shí)， 的方向趨于 的方向，因此()dsdsvvdtdtvtt： 代數(shù)量00000limlimlimlimlimttstsststsdssts dt rrvrr0t s r0lim1ss r0t rt 速度在 方向上的投影vds dtt2. 加速度 如右圖，質(zhì)點(diǎn)在平面上沿任一曲線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)t時(shí)刻在P點(diǎn)、 時(shí)刻在Q點(diǎn)的速度分別為和 ，于是12()( )() ()( ) ( )1( ) ()( ) ()( ) ()tttttv ttttv tttv ttttv ttv ttttttvvvttvvttttt()v tt( )v t 分別表示由于速度

27、方向和速度大小的改變而引起速度的改變。12vv、由加速度的定義，有現(xiàn)將Q點(diǎn)的速度移至P點(diǎn)，形成三角形 ，在 上取一點(diǎn) ，使得 ，則由右下圖可見當(dāng) 時(shí)， 、12000limlimlimtttttt vvva13PPP3PP2P2( )PPt v31121223()( )tttPPPPPPP P vvvvv 0t 233/ ( )P PPPtv 。因此于是122 ( )PPPPtv12( )( ) ()( ) ( )( )v ttv ttv ttvt vnvtt，12000000002limlimlim( )( )( )limlimlim( ) ( )lim( )( )lim( ) ( )( )(

28、 )( )( )( )(tttttttttntntttv ttvtttvv tttttsdv tv tttstdtv tdv tttaadtaa vvvantntntnttn： 切向加速度；)： 法向加速度復(fù)習(xí)：曲率 曲率半徑如右上圖，P與Q是一曲線上鄰近的兩點(diǎn)，它們之間的弧長為 。曲線在P與Q點(diǎn)的切線之間的夾角為 ，則與P與Q點(diǎn)處切線垂直的兩條直線間的夾角也為 。定義：為曲線在P點(diǎn)處的曲率， 為該處曲率半徑。 PQOxyyOxss0 xKs Limx1 K t n一汽車在半徑一汽車在半徑R=200m 的圓弧形公路上行駛，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方的圓弧形公路上行駛，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為程為s =20t 0.2 t

29、 2 (SI) . .tts4 . 020ddv根據(jù)速度和加速度在自然坐標(biāo)系中的表示形式，有根據(jù)速度和加速度在自然坐標(biāo)系中的表示形式，有4 . 0ddtavRtRan22)4 . 020(vRtaaan2222)4 . 020(4 . 0m/s)(6 .19(1) v)m/s(44. 1200) 14 . 020(4 . 0(1)222a例例汽車在汽車在 t = 1s 時(shí)的速度和加速度。時(shí)的速度和加速度。求求解解求拋體運(yùn)動(dòng)過程中的曲率半徑？求拋體運(yùn)動(dòng)過程中的曲率半徑？對對B 點(diǎn)點(diǎn)cos, 00vvBngaa, ,ganBB202)cos(vvBoCxy0v思考思考)()(21tfy,tfx22

30、ddta2vv222ddtavv力學(xué)常用方法：力學(xué)常用方法：思考思考?c )dd()dd(22tytxvttytxadddddd222222v將一根光滑的鋼絲彎成一個(gè)豎直平面內(nèi)的曲線，質(zhì)點(diǎn)可沿將一根光滑的鋼絲彎成一個(gè)豎直平面內(nèi)的曲線，質(zhì)點(diǎn)可沿鋼絲向下滑動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的切向加速度為鋼絲向下滑動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的切向加速度為g 為重力加速度為重力加速度， 為切向與水平方向的夾角為切向與水平方向的夾角. .singa由題意可知由題意可知stssgtaddddddsinddvvvvsgdsindvvysdd sinyyyg00ddvvvv)(20202yygvvsyddsinydsdPyxgo例例質(zhì)點(diǎn)

31、在鋼絲上各處的運(yùn)動(dòng)速度質(zhì)點(diǎn)在鋼絲上各處的運(yùn)動(dòng)速度. .求求解解思考思考已知已知)(xv00 xx,t ,kxa0,v求求2.4 極坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)的描述 對于平面上的曲線運(yùn)動(dòng)，除了自然坐標(biāo)系以外，對有些運(yùn)動(dòng)(如圓周運(yùn)動(dòng)、加速度指向空間某固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng))，還可以采用極坐標(biāo)系來描述運(yùn)動(dòng)。一、極坐標(biāo)系 在質(zhì)點(diǎn)所在平面內(nèi)，取固定于參考系的一點(diǎn)O為原點(diǎn)，稱為極點(diǎn)；過極點(diǎn)取一條射線Ox，稱為極軸，方向始于極點(diǎn)。這樣就建立了極坐標(biāo)系。 在極坐標(biāo)系中，將O點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)P的距離 (即極徑)記作r，極徑與極軸之間的夾角(即極角)，記作 。這樣，在極坐標(biāo)系中，就用兩個(gè)坐標(biāo) 來表示質(zhì)點(diǎn)的位置(如右圖所示)。在極坐標(biāo)系中，還要引

32、入兩個(gè)單位矢量 。它們分別表示 r 增加的方向(即徑向)和 增加的方向(即橫向)。 在極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為消去時(shí)間變量 t ，軌跡方程為r、( ),( )rr tt( )rr r、二、極坐標(biāo)系中的位移、速度和加速度表示1. 位矢 在極坐標(biāo)系中，時(shí)常將矢量投影到徑向和橫向。若位矢的原點(diǎn)取為極坐標(biāo)的極點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的位矢可表示為2. 位移與速度如右圖，同樣將位移矢量 投影到徑向和橫向，有)( )()(ttrtrrr( )rtr rr( 不是 的大小，而是坐標(biāo)的改變)rr由速度的定義，得到3. 加速度因?yàn)樗?00( )()tttrtrtttrrrr rvLimLimrLimrr ： 徑向速度

33、；： 橫向速度, dddddddtddtdtddt rrr( )( ) ( ) ( )( ) dtdtr tdtdtdr tdr tdtdtrrrvrrrr進(jìn)而2( )()( )()()(2)rdtdrrdtdtdtdrrrrrdtdtrrrrrrrrraavarrrrrrr其中： 分別表示加速度的徑向分量和橫向分量； 分別表示徑向加速度和橫向加速度。raa、raar、圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述 角量與線量的關(guān)角量與線量的關(guān)系系按右手法則確定按右手法則確定 的正負(fù)變化的正負(fù)變化)(tktkttddlim0yPQo xk d一一. 角位置與角位移角位置與角位移質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為質(zhì)

34、點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為描述質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量描述質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)快慢和方向的物理量角位置（運(yùn)動(dòng)學(xué)方程角位置（運(yùn)動(dòng)學(xué)方程) ) t當(dāng)當(dāng) 為質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的角位移為質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的角位移二二. 角速度角速度PoQ d :tttktkttt22ddddddddroProPd三三. 角加速度角加速度角加速度角加速度 角速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)角速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)角加速度的方向與角加速度的方向與ddddrr 四四. 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系kdvrPorddrkr dd的方向相同的方向相同roPrrkttrddddvr vr 速度與角速度的矢量關(guān)系式速度與角速度的矢量關(guān)系式大小大小方向方向( (切線切

35、線, ,由右手法則確定由右手法則確定) ) ( (標(biāo)量式標(biāo)量式) )trrttrtaddddd)d(ddvarnavra 22rranvvrPvoa 加速度與角加速度的矢量關(guān)系式加速度與角加速度的矢量關(guān)系式第一項(xiàng)第一項(xiàng)大小大小第二項(xiàng)第二項(xiàng)大小大小vrrPvoa(2) 設(shè)設(shè)t t 時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成45o角，則角，則(2) 當(dāng)當(dāng) =? 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度與半徑成45o角？角？(1) 當(dāng)當(dāng)t =2s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的an 和和342t)m/s(8 . 4 )m/s(4 .230222raran(rad)423t一質(zhì)點(diǎn)作半徑為一質(zhì)點(diǎn)

36、作半徑為0.1m 的圓周運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為的圓周運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為(1) 由上述公式可知由上述公式可知求求atttt24dd12dd222rraan2解解例例以及以及a的大小的大小)m/s(5 .230222naaas)(55. 0241444tttrad)(67. 2423t2.5 相對運(yùn)動(dòng) 伽利略變換 前面所研究的問題都是相對已選定的參考系進(jìn)行的，參考系的選擇在運(yùn)動(dòng)學(xué)中是任意的。顯然，選用不同參考系研究同一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，結(jié)果是不一樣。 現(xiàn)在討論：在有相互運(yùn)動(dòng)的不同參考系中，同一質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度之間的關(guān)系 (限于一個(gè)參考系相對另一個(gè)參考系作平動(dòng)的情況) 。注意：平動(dòng)不一定是直線運(yùn)動(dòng)，是相對于轉(zhuǎn)動(dòng)而言的。平動(dòng)的定義：一個(gè)物體相對于另一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，在運(yùn)動(dòng)物體內(nèi)任意作的一條直線始終保持和自身平行的運(yùn)動(dòng)。作平動(dòng)的物體，任意時(shí)刻物體內(nèi)各點(diǎn)的速度、加速度都相同。 通常，把相對觀察者靜止的參考系稱為定參考系或靜參考系，把相對觀察者運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系；把物體相對于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對運(yùn)動(dòng) (相應(yīng)的有相對速度和相對加速度)