高等數(shù)學-2-1微商的概念ppt課件

1、 第二章第二章 微積分的根本概念微積分的根本概念2-1 微商的概念微商的概念1. 微商的定義微商的定義的增量定義變量變到終值從它的一個初值設(shè)變量uuuu,2112uuu可正可負）（ u函數(shù)的增量： 假定函數(shù) y=f(x) 在點 的某個鄰域內(nèi)有定義.當自變量 x 在這鄰域內(nèi)從 變到時 ，函數(shù)y相應地從 變到 ，因此函數(shù)的對應增量為 0 x0 xx0 x)f(x0)f(x0 x).()f(xy00 xfx oxyy = f(x)x0 x0+ x f(x0)xy)(0 xxf首先引見變量的增量概念首先引見變量的增量概念.221tgs 自在落體運動設(shè)描畫質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tss 0tso)(0t

2、s)(0ttstt0計算在時辰 的瞬時速度.0tt ,0ttt時的一個改變量在給自變量,00tttt附近的另一個時刻得到那么 到 的平均速度為0ttt0 00.ts tts tsvtt 00000.tts tts tsv tlimlimtt 而在 時辰的瞬時速度為0t物體沿直線運動的瞬時速度物體沿直線運動的瞬時速度221tgs 自在落體運動例：求自在落體運動:221tgs .時的瞬時速度在時刻ttgtttgtvt22021)(21lim)(ttgtgtt2021lim)21(lim0tggtt.gt xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點

3、處的切線xx0割線 M N 的極限位置 M T(當 時)割線 M N 的斜率tan)()(00 xfxxfx切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xk)()(00 xfxxfx兩個問題的共性:so0t)(0tf)(0ttftt0瞬時速度 lim0tv)()(00tfttft切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMxx0 lim0 xk)()(00 xfxxfx所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題定義定義 00

4、00000000,0,xxyfxa bxa bxxxxxa bfxxfxxyfxxfxylimlimxxxx 設(shè)函數(shù)在一個開區(qū)間內(nèi)有定義,對于給定的一點考慮一個增量且使得 函數(shù)值的差稱為函數(shù)關(guān)于 的增量 若極限 存在,則稱這個函數(shù)在 處可導,并稱這個極限值為函數(shù)在點 處的導數(shù)或微商,0fx 0 xylimx =000 xfxxfxlimx 0fx 0 xylimx =000 xfxxfxlimx 闡明闡明化率，對自變量的平均變表示函數(shù)定義中)()()(. 1xfxxfxxf0fx 0 xylimx =000 xfxxfxlimx .)(對自變量的瞬時變化率函數(shù)xf表示.)()(,. 200處切

5、線的斜率的曲線在點表示函數(shù)在幾何上xxfxf 在點0 x的某個右 鄰域內(nèi) 單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù))(xfy 假設(shè)極限xxfxxfxyxx)()(limlim000000那么稱此極限值為)(xf在 處的右 導數(shù),0 x記作)0(0 xf(左)(左)00( x)00( x)0(0 xf0 x定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有定義,存在,即)0(0 xfxxfxxfx)()(lim0000顯然顯然: 函數(shù)在一點可導函數(shù)在一點可導 其左右導數(shù)都保管并相等其左右導數(shù)都保管并相等.例例 證明函數(shù)證明函數(shù)xxf)(在 x = 0 不可導. 證證xfxffx)0()0(lim)00(00 xxx0|lim00 xxx0

6、0lim, 1)00( fxxx0|lim00 xxx00lim, 1),00()00(ffxxf)(在 x = 0 不可導. 所以所以導函數(shù)導函數(shù)記作:;y; )(xf .d)(dxxf 假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點內(nèi)每一點x處函數(shù)處函數(shù)f(x)都可導，那么都可導，那么 稱稱f(x)在在(a,b)內(nèi)可導內(nèi)可導.這時每一個這時每一個 都對應一個導都對應一個導 數(shù)值數(shù)值 ，這樣便定義出一個新的函數(shù)，這樣便定義出一個新的函數(shù) ，它被稱，它被稱 為為f(x)的導函數(shù)的導函數(shù).）bax,()(xf )(xf ;ddxy例例1 求函數(shù)求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導數(shù). 解解xCCx0lim

7、0 xxfxxf)()(0limx 簡單地說，常函數(shù)的導函數(shù)為零簡單地說，常函數(shù)的導函數(shù)為零.)(xf ).,(,)(),(0)(baxCxfbaxxf則，若在一個區(qū)間內(nèi)導數(shù)恒為在一個區(qū)間內(nèi)導數(shù)恒為0的函數(shù)是一個常數(shù)函數(shù)的函數(shù)是一個常數(shù)函數(shù).例例 2.cos)(sinxx解解求函數(shù)f(x)=sinx的導數(shù).xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxxxxsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0 xxxxx22sin)2cos(lim 0 xxxxx.cos x即即 例例4 設(shè)設(shè)m為一自然數(shù)，那為一自然數(shù)，那么么.)(1mmmxx證證xmxm1mmxxxy)(22)() 1(!

8、 21xxmmm ,)(mxxyxxm0lim)(10(limmxmxxxmmm2) 1(! 21 )(1mx.1mmx闡明：闡明：對普通冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx以后將證明例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x 例例 5 求求 的導數(shù)的導數(shù).xexf)(解解xxfxxfxfx)()(lim)(0 xeexxxx0limxeexxx) 1(lim0, 1xe令)1ln(x)1ln(lim0 xe10)1ln(1limxe.xe.)(xxee即 例例 6 求求 的導數(shù)的導數(shù).)0()(aaxfxxaaxfxxxx0lim)(

9、解解xaaxxx) 1(lim0, 1xa令)1 (logax)1 (loglim0axxaeaaxlog1.lnaax函數(shù)的可導性與延續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導性與延續(xù)性的關(guān)系處可導在點0)(xxf處連續(xù)在點0)(xxf設(shè))(xfy 在點 處可導,),()()(lim0000 xfxxfxxfx即0 x也就是說，),0(0)(0 xxfxy我們令),()()()(000 xfxxfxxfx那么，那么， 時時0 x, 0)(x兩邊乘上 ，得xxxxxfxfxxf)()()()(00000即即).0)()(00 xxfxxf闡明闡明f(x)在點在點 延續(xù)延續(xù).0 x留意留意: 函數(shù)在點函數(shù)在點 延續(xù)未

10、必可導延續(xù)未必可導.0 x反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處延續(xù) , 但不可導.又例如又例如31xy 在x=0點是延續(xù)的，但它在該點是不可導的.xxxfxfxx0lim)0()0(lim300320)(1limxx. 在圖形中曲線 在原點o具 有垂直于x軸的切線x=0. 3xy Oyx3xy 函數(shù)在某點延續(xù)是函數(shù)在該點可導函數(shù)在某點延續(xù)是函數(shù)在該點可導 的必要條件，但不是充分條件的必要條件，但不是充分條件 .再舉一個例：再舉一個例： 在前一個例子中，曲線在在前一個例子中，曲線在(0,0)處是一個尖角處是一個尖角.兩側(cè)的兩側(cè)的 割線有不同的極限位置，即有左、右切線，故在該點沒割線有不

11、同的極限位置，即有左、右切線，故在該點沒 有切線有切線.在后一個例子中，曲線在在后一個例子中，曲線在(0,0)點的切線垂直于點的切線垂直于 x 軸軸,因此其與因此其與x軸夾角的正切為軸夾角的正切為 ，導致導數(shù)的不存在，導致導數(shù)的不存在. 0, 0, 0,1sin)(xxxxxfy| )(|xxf 由于由于 ，故它顯然在，故它顯然在x=0點是延續(xù)的點是延續(xù)的. 但該函但該函數(shù)數(shù) 在在x=0點是不可導的點是不可導的. xfxfx)0()0(lim0 xx1sinlim0極限不存在極限不存在 .由于內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 導數(shù)的本質(zhì):3. 導數(shù)的幾何意義:4. 可導必延續(xù), 但延續(xù)不一定可導;5. 已

12、學求導公式 :6. 判別可導性不延續(xù), 一定不可導.直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)能否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)0()0(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的極限;切線的斜率;思索與練習思索與練習1. 函數(shù)函數(shù) 在某點在某點 處的導數(shù)處的導數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值;聯(lián)絡(luò):0)(xxxf)(0 xf 留意留意:有什么區(qū)別與聯(lián)絡(luò) ? )()(00 xfxf？與導函數(shù)2. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在 , 那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)

13、0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 假設(shè)假設(shè)),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf能否在0 x可導?解解:由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準那么0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導, 且0)0( f5. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在 x = 0 延續(xù) .2、微商的四那么運

14、算、微商的四那么運算定理定理1.具有導數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv此法那么可推行到恣意有限項的情形.證證: 設(shè), 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如例如,(2)vuvuvu )(證證: 設(shè)設(shè), )()()(xvxuxf那么有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C為常數(shù) )h推論推論:)()(xvxu)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxu(3)2vvuvuvu證證: 設(shè)設(shè))(xf那么有hxfhxfxf