萬有引力知識點

1、第六章7.萬有引力與重力的關(guān)系：(1) “黃金代換公式推導：萬有引力與航天F時,就會有mgGMm22GM gR.(2)注意：重力是由于地球的吸引而使物體受到的力,但重力不是萬有引力.只有在兩極時物體所受的萬有引力才等于重力.重力的方向豎直向下,但并不一定指向地心,物體在赤道上重力最小,在兩極時重力最大.隨著緯度的增加,物體的重力減小,物體在赤道上重力最小,在兩極時重力最大.物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小,物體的重力隨緯度的變化很小,因此在一般粗略的計算中,可以認為物體所受的重力等于物體所受地球的吸引力,8.萬有引力定律與天體運動：運動性質(zhì)：通常把天體的運動近似看成是勻速圓周運動.從力和運動

2、的關(guān)系角度分析天體運動：即可得到“黃金代換公式.天體做勻速圓周運動運動,其速度方向時刻改變,其所需的向心力由萬有引力提供,即F需=5萬.如下圖,由牛頓第二定律得：ma®GMm ,從運動的角度分析向心加速度:L2an2l(2 f)2L.重要關(guān)系式:GMmt32v2.m m LL2L m(2 f)2L.2、地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角速度為3 1,軌道半徑為 半徑為R2,那么太陽的質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？Ri,月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度為32,軌道解析：地球與太陽的萬有引力提供地球運動的向心力,月球與地球的萬有引力提供月球運動的向心力,最后算得結(jié)果為23iRi- O2R29.計算大考點：“填補法計算均

3、勻球體間的萬有引力:淡一談：萬有引力定律適用于兩質(zhì)點間的引力作用,對于形狀不規(guī)那么的物體應給予填補,成一個形狀規(guī)那么、便于確定質(zhì)點位置的物體,再用萬有引力定律進行求解.模型：如右圖所示,在一個半徑為 R,質(zhì)量為M的均勻球體中,緊貼球的邊緣挖出一個半徑為 R/2的球形空穴后,對位于球心和空穴中央連線上、與球心相距d的質(zhì)點m的引力是多大？思路分析：把整個球體對質(zhì)點的引力看成是挖去的小球體和剩余局部對質(zhì)點的引力之和,即可求解.根據(jù)“思路分析所述,引力F可視作F=Fi+F2：F GMm,因半徑為R/2的小球質(zhì)量為 dM3 4R3-3M'm所以F2 G2H R d 2G8 dMm2 , FiI兒

4、2F2GMmd2G8 dMmGMm27d2 8dR8d22R2那么挖去2H R d 22_ _ 2小球后的剩余局部對球外質(zhì)點m的引力為GMm7 d 8 dR 2 R22R8 d d 2水平提升某小報登載：X年x月x日,x國發(fā)射了一顆質(zhì)量為 100kg,周期為1h的人造環(huán)月球衛(wèi)星.一位同學記不住引力常量G的數(shù)值且手邊沒有可查找的材料,但他記得月球半徑11約為地球的月球外表重力加速度約為地球的經(jīng)過推理,他認定該報道是那么假新聞,46試寫出他的論證方案.(地球半徑約為 6.4X103km)證實：由于MmG一R2=m JR, 所以 T= 2GM'R3Mm又G - R2=mg 得 g =GM,故

5、 Tmin = 2 TtCR2R3=2兀GMR月1一R地 4=2兀g月1一g地 6=2兀3R地=2兀2g地3X6.4X106s = 6.2 X103sM.72h. 2X9.8環(huán)月衛(wèi)星最小周期約為1.72h ,故該報道是那么假新聞.§ 6-3 由“萬有引力定律引出的四大考點、解題思路一一“金三角關(guān)系：(1)萬有引力與向心力的聯(lián)系：萬有引力提供天體做勻速圓周運動的向心力,即2c 2: ma m m 2r m - r m(2 n)2r是本章解題的主線索. r2rT(2)萬有引力與重力的聯(lián)系：物體所受的重力近似等于它受到的萬有引力,即GMm mg,g為對應軌道處的重力加速度,這是本章解題的副

6、線索. r3重力與向心力的聯(lián)系：m g2Vm mr2m2r a為對應軌道處的重力加速IIIr , g度,適用于g的特殊情況.二、天體質(zhì)量的估算模型一：環(huán)繞型：談一談：對于有衛(wèi)星的天體, 可認為衛(wèi)星繞中央天體做勻速圓周運動,中央天體對衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力,利用引力常量G和環(huán)形衛(wèi)星的v、3、T、r 中任意兩個量進行估算只能估計中央天體的質(zhì)量,不能估算環(huán)繞衛(wèi)星的質(zhì)量r 和 T: G Mmr4 2r3GT2r 和 v: g Mm r22 v m 一r2 rv "GT和v：g吧 r2 v m rv3T2 G模型二：外表型：談一談：對于沒有衛(wèi)星的天體或有衛(wèi)星,但不知道衛(wèi)星

7、運行的相關(guān)物理量 體自轉(zhuǎn)的影響,根據(jù)萬有引力等于重力進行粗略估算.2MmgRG mg M -RG變形：如果物體不在天體外表,但知道物體所在處的g,也可以利用上面的方法求出天體的質(zhì)量:處理：不考慮天體自轉(zhuǎn)的影響,天體附近物體的重力等于物體受的萬有引力,即:-MmG2(R h)2,g'(R h)2 mg' Mg一視作半徑為r的圓.萬有引力常量為G,那么描述該行星運動的上述物理量滿足4 2r34 2r2A. GIM= -yr-B. GM=C4 兀 2r2.GM= yr-D.34兀r GM=T,軌道可解析：此題考查了萬有引力在天體中的應用.是知識的簡單應用.由GMm可得2021 福建理

8、綜,13設太陽質(zhì)量為 M,某行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期為gm = 4-T2f, A 正確.2、2021 全國大綱卷,18 “嫦娥一號是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星,它在距月球外表高度為 200km的圓形軌道上運行,運行周期為127分鐘.引力常量 G=6.67X1011N m2/kg2 , 月球半徑約為1.74 X103km.利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為D A. 8.1 M010kg B. 7.4X1013kgC. 5.4X1019kgD. 7.4 M022kg解析：此題考查萬有引力定律在天體中的應用.解題的關(guān)鍵是明確探月衛(wèi)星繞月球運行的向Mm 4 24 ,r3心力是由月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供.由G詈=mr

9、計得M = 4GT2,又r=R月+h,代入數(shù)值得月子質(zhì)量 M= 7.4X 1022kg,選項D正確.3、宇航員站在一顆星球外表上的某高處,沿水平方向拋出一個小球.經(jīng)過時間到星球外表,測得拋出點與落地點之間的距離為L.假設拋出時的初速度增大到點與落地點之間的距離為 J3L.兩落地點在同一水平面上,該星球的半徑為 引力常數(shù)為Go求該星球的質(zhì)量 Mot,小球落2倍,那么拋出R,萬有解析：在該星球外表平拋物體的運動規(guī)律與地球外表相同,根據(jù)條件可以求出該星球表面的加速度；需要注意的是拋出點與落地點之間的距離為小球所做平拋運動的位移的大小,而非水平方向的位移的大小.然后根據(jù)萬有引力等于重力,求出該星球的質(zhì)

10、量2 3LR22- 3Gt2三、天體密度的計算模型一：利用天體外表的八Mm一G 皆 mg,Mg求天體密度:R33gGR物體不在天體外表:°ThMmGmg', M(R h)2,3g'(R h)24 GR3模型二：利用天體的衛(wèi)星求天體的密度:Mm G r4 2rm-針,MT2 ,4r34 2r3GT24 R3 33 r3 GT2R3.四、求星球外表的重力加速度:在忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下,物體在星球外表的重力大小等于物體與星球間的萬有引力大小,即：mg星牛刀小試 礦井深度為2021新課標全國卷,21假設地球是一半徑為 R、質(zhì)量分布均勻的球體.一 do質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物

11、體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為A dA. 1 RB.d1 十一 R2RD.R d解析：設地球的質(zhì)量為M ,地球的密度為P,根據(jù)萬有引力定律可知,地球外表的重力加速度g =胃,地球的質(zhì)量可表示為M=|兀R3p因質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零,所以礦井下以R-d為半徑的地球的質(zhì)量為4. Rd °GM 'M' =3R-d)3p,解得M=LR-)3M,那么礦井底部處的重力加速度g' =,所以礦井底部處的重力加速度和地球外表處的重力加速度之比g= 1-d,選項A正確g R§ 6-4 宇宙速度&衛(wèi)星一、涉及航空航天的“三大速

12、度：一宇宙速度：1 .第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面附近 環(huán)繞地球做勻速圓周運動 必須具有的速度叫第一 宇宙速度,也叫地面附近的環(huán)繞速度,v1=7.9km/s.它是近地衛(wèi)星的運行速度,也是人造衛(wèi)星最小發(fā)射 速度.待在地球旁邊的速度2 .第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力的束縛,成為繞太陽運動的人造衛(wèi)星或飛到其他行星 上去的最小速度,V2=11.2km/s .離棄地球,投入太陽懷抱的速度3 .第三宇宙速度：使物體 掙脫太陽引力的束縛,飛到太陽以外的宇宙空間去的最小速度,V2=16.7km/s .離棄太陽,投入更大宇宙空間懷抱的速度二發(fā)射速度：1 .定義：衛(wèi)星在地面附近離開發(fā)射裝置的初速度.2 .

13、取值范圍及運行狀態(tài)：v發(fā)v17.9km/s,人造衛(wèi)星只能“貼著地面近地運行.v發(fā)v17.9km/s,可以使衛(wèi)星在距地面較高的軌道上運行.v發(fā) v2,即7.9km/s v發(fā)11.2m/s, 一般情況下人造地球衛(wèi)星發(fā)射速度.三運行速度：2Mmv2.大?。簩τ谌嗽斓厍蛐l(wèi)星, G m rr1.定義：衛(wèi)星在進入運行軌道后繞地球做圓周運動的線速度.GMi,該速度指的是人造地球衛(wèi)星在 r軌道上的運行的環(huán)繞速度,其大小隨軌道的半徑r J而v T.3.注意：當衛(wèi)星“貼著地面飛行時,運行速度等于第一宇宙速度；當衛(wèi)星的軌道半徑大 于地球半徑時,運行速度小于第一宇宙速度.牛刀小試1、地球的第一宇宙速度約為8 km/s

14、 ,某行星的質(zhì)量是地球的6倍,半徑是地球的1.5倍.該行星上的第一宇宙速度約為A A. 16 km/s B. 32 km/s C. 46 km/s D . 2 km/s解析：由公式m= gM1,假設M增大為原來的6倍,r增大為原來的1.5倍,可得v增大 r r為原來的2倍.二、兩種衛(wèi)星：一人造地球衛(wèi)星：1 .定義：在地球上以一定初速度將物體發(fā)射出去,物體將不再落回地面而繞地球運行而形成的人造衛(wèi)星.2 .分類：近地衛(wèi)星、中軌道衛(wèi)星、高軌道衛(wèi)星、地球同步衛(wèi)星、極地衛(wèi)星等.3 .三個“近似：近地衛(wèi)星貼近地球外表運行,可近似認為它做勻速圓周運動的半徑等于地球半徑.在地球外表隨地球一起自轉(zhuǎn)的物體可近似認

15、為地球?qū)λ娜f有引力等于重力.天體的運動軌道可近似看成圓軌道,萬有引力提供向心力.4 .四個等式：運行速度:(Rh)22vmR hGM,R h角速度:Mm-Z2(R h)2(R h)GM(R h)3(R1h)3 h周期：.g Mm 2(R h)h)(R h)3GMT . (R h)3,T向心加速度：GmR二地球同步衛(wèi)星：1 .定義：在赤道平面內(nèi),2 .五個“一定：2 ma h)2GM_2(R h)12(R h)以和地球自轉(zhuǎn)角速度相同的角速度繞地球運行的衛(wèi)星.周期T 一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相等24h,角速度3也等于地球自轉(zhuǎn)角速度.軌道一定：所有同步衛(wèi)星的運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致,軌道平面與赤道平

16、面重合.運行速度v大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運行的線速度大小一定,均為 3.08km/s .離地高度h一定：所有同步衛(wèi)星的軌道半徑均相同,其離地高度約為3.6X104km.向心加速度 an大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度大小都相等,約為 0.22m/s 2.注：所有國家發(fā)射的同步衛(wèi)星的軌道都與赤道為同心圓,它們都在同一軌道上運動且都相對靜止.三、衛(wèi)星變軌問題：1 .原因：線速度v發(fā)生變化,使萬有引力不等于向心力,從而實現(xiàn)變軌.2 .條件：增大衛(wèi)星的線速度 v,使萬有引力小于所需的向心力,從而實現(xiàn)變軌.3 .注意：衛(wèi)星到達高軌道后,在新的軌道上其運行速度反而 減?。划斝l(wèi)星的線速度v

17、減小時, 萬有引力大于所需的向心力,衛(wèi)星那么做向心運動,但到了低軌道后到達新的穩(wěn)定運行狀態(tài)時 速度反而增大.4 .衛(wèi)星追及相遇問題： 某星體的兩顆衛(wèi)星之間的距離有最近和最遠之分,但它們都處在同一條直線上.由于它們軌道不是重合的,因此在最近和最遠的相遇問題上不能通過位移或弧長 相等來處理,而是通過衛(wèi)星運動的圓心角來衡量,假設它們初始位置在同一直線上, 實際內(nèi)軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為兀的整數(shù)倍時就是出現(xiàn)最近或最遠的時 刻.四、與衛(wèi)星有關(guān)的幾組概念的比擬總結(jié)：1 .天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的比擬：衛(wèi)星的軌道半徑r是指衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動 的半徑,與天體半徑 R的關(guān)系是r=

18、R+h (h為衛(wèi)星距離天體外表的高度),當衛(wèi)星貼近天體 外表運動時,可視作 h=0 ,即r=R.2 .衛(wèi)星運行的加速度與物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度的比擬：(1)衛(wèi)星運行的加速度：衛(wèi)星繞地球運行,由萬有引力提供向心力,產(chǎn)生的向心加速度滿足G Mm ma,即a 野,其方向始終指向地心,大小隨衛(wèi)星到地心距離r的增大而減小.rr(2)物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度：當?shù)厍蛏系奈矬w隨地球的自轉(zhuǎn)而運動時,萬有引力的一個分力使物體產(chǎn)生隨地球自轉(zhuǎn) 的向心加速度,其方向垂直指向地軸,大小從赤道到兩極逐漸減小.3 .自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的比擬：自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線運動一周的時間,公轉(zhuǎn)周期是某星球繞中央天體做圓周 運動一周的時間.一般兩者不等(月球除外),如地球的自轉(zhuǎn)周期是 24h,公轉(zhuǎn)周期是 365天.4 .近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上的物體的比擬：(1)近地衛(wèi)星和赤道上的物體：內(nèi)容近地衛(wèi)星赤道上的物體相同點質(zhì)量相同時,受到地球的引力大小相等不同點受力情況只受地球引力作用且地球引力等于衛(wèi)星 做圓周運動所需向心力受地球引力和地面支持力作用,其合力 提供物體