一元二次方程【韋達(dá)定理、根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)+答案】

1、韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題一、填空題1、關(guān)于x的方程2x2 3x m 0 ,當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；當(dāng)m 時(shí)，方程有一個(gè)根為 0o2、已知一元二次方程2x23x 10的兩根為x1、x2,則x1x2 .3、如果x1, x2是方程x2 5x 6 0的兩個(gè)根，那么x1 x2 .4、已知xi, x2是方程x2 6x 3 0的兩實(shí)數(shù)根，則x2上的值為x1 x25、設(shè)x1、x2是方程2x2 4x 3 0的兩個(gè)根，則(x1 1)( x2 1) .6、若方程2x2 4x 3 0的兩根為、，則a2 2a0號(hào) .7、已知x1、x2是關(guān)于x的方程(a 1)x2 x a2 1

2、 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 + x2 = 1 ,則x x? =38、已知關(guān)于x的一元二次方程mx2 4x 6 0的兩根為x1和x2,且x1 x22 ,則 m , x1 x2 x1 x2 09、若方程2x2 5x k 0的兩根之比是2: 3,則k .10、如果關(guān)于x的方程x2 6x k 0的兩根差為2,那么k 。11、已知方程2x2 mx 4 0兩根的絕對(duì)值相等，則 m 。12、已知方程x2 mx 2 0的兩根互為相反數(shù)，則 m 。13、已知關(guān)于x的一元二次方程(a2 1)x2 (a 1)x 1 0兩根互為倒數(shù)，則a 。14、已知關(guān)于x的一元二次方程x2 2(m 1)x m2 0。若方程的兩根互為

3、倒數(shù)，則 m 若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則 m 。15、一元二次方程px2 qx r 0 (p 0)的兩根為0和一1,則p:q 。1316、已知萬(wàn)程3x2 x 1 0,要使方程兩根的平方和為-3,那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為 。917、已知方程x2 4x 2m 0的一個(gè)根 比另一個(gè)根 小4,則 ; m 。19、已知關(guān)于x的方程x2 3mx 2(m 1) 0的兩根為x1、x2，且工 工 9,則m。x1 x2420、若方程x2 4x m 0與x2 x 2m 0有一個(gè)根相同，則m 。21、一元二次方程2x2 3x 1 0的兩根與x2 3x 2 0的兩根之間的關(guān)系是 。22、請(qǐng)寫出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1,兩實(shí)

4、根之和為3的一元二次方程：.23、已知一元二次方程的兩根之和為 5 ,兩根之積為6 ,則這個(gè)方程為。24、若、為實(shí)數(shù)且|3| (2)2 0,則以、為根的一元二次方程為。(其中二次項(xiàng)系數(shù)為1)25、求作一個(gè)方程，使它的兩根分別是方程 x2 3x 2 0兩根的二倍，則所求的方程為 。二、解答題1、已知m, n是一元二次方程x2 2x 5 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求2m2 3n2 2m的值。2、設(shè)x1、x2是方程2x2 4x 1 0的兩個(gè)根，求|x1 x2 |的值。3、已知x1、x2是方程x2 2x a 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1 2x2 3行.(1)求 x1、x2及 a 的值；(2)求 x； 3x； 2x x

5、2的值.4、已知x1、x2是一元二次方程x2 4mx n0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x2x1(x1x2)23 ,-2r-225 ,x X2求m和n的值。5、已知 a2 1 a , b2 1 b,且 a b,求(a 1)(b 1)的值。6、設(shè)：3a2 6a 11 0, 3b2 6b 11 0且 a b,求 a b 的值。7、已知：、是關(guān)于x的二次方程：(m 2)x2 2(m 4)x m 4 0的兩個(gè)不等實(shí)根。(1)若m為正整數(shù)時(shí)，求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值；(2)若22 6時(shí)，求m的值8、已知關(guān)于x的二次方程x2 mx 1 0的一個(gè)根是亞1,求另一個(gè)根及m的值.9、已知方程5x2 mx 10 0的一根是

6、一5,求方程的另一根及m的值10、已知2 73是x2 4x k 0的一根，求另一根和k的值11、(1)方程x2 3x m 0的一個(gè)根是中5 ,則另一個(gè)根是 。(2)若關(guān)于y的方程y2 my n 0的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0,那么m、n應(yīng)滿足12、如果x 1是方程2x2 3mx 1 0的一個(gè)根，則m ,另一個(gè)根為13、已知關(guān)于x的方程2x2 5x m的一個(gè)根是一2,求它的另一個(gè)根及m的值。14、已知關(guān)于x的方程3x2 1 tx的一個(gè)根是一2,求它的另一個(gè)根及t的值15、在解方程x2 px q 0時(shí)，小張看錯(cuò)了 p,解得方程的根為1與3;小王看錯(cuò)了 q,解得方程的根為4與-2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么

7、？16、已知一元二次方程8y2 (m 1)y m 5 0。(1) m為何值時(shí)，方程的一個(gè)根為零？(2) m為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)？(3)證明：不存在實(shí)數(shù)m ,使方程的兩個(gè)相互為倒數(shù)。17、方程x2 3x m 0中的m是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足：(1) 一個(gè)根比另一個(gè)根大2;(2) 一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍；(3)兩根差的平方是17。18、已知一元二次方程8x2 (2m 1)x m 7 0,根據(jù)下列條件，分別求出 m的值:(1)兩根互為倒數(shù)；(2)兩根互為相反數(shù)；(3)有一根為零；(4)有一根為1;20、已知關(guān)于x的一元二次方程x2mx 12 0的兩根之差為11,求m的值21、已

8、知關(guān)于x的二次方程x22(a 2)x a2 5 0有實(shí)數(shù)根,且兩根之積等于兩根之和的2倍，求a的值22、已知方程x2 bx c 0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，兩根之差等于3,兩根的平方和等于29,求b、c的值。23、已知關(guān)于x的方程2x2 (m 1)x m 1 0的兩根滿足關(guān)系式x x2 1 ,求m的值及兩個(gè)根。24、已知關(guān)于x的方程x2 (k 1)x k 2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6,求k的值.25、 是關(guān)于x的一元二次方程(m 1)x2 x 1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足(1)(1) m 1 ,求實(shí)數(shù)m的化26、 是關(guān)于x的方程4x2 4mx m2 4m 0的兩個(gè)實(shí)根，并且滿足(1)(1) 1

9、-9-,求m的值。10027、已知：、 是關(guān)于x的方程x2 (m 2)x 1 0的兩根，求(1 m 2)(1 m 2)的值。28、已知關(guān)于x的方程x2 2(m 2)x m2 0,問(wèn)：是否存在正實(shí)數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和 等于56,若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29、關(guān)于x的一元二次方程3x2 (4m2 1)x m(m 2) 0的兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和，求 m的值9ac。30、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0 ( a 0)的兩根之比為2:1,求證：2b231、已知方程x2mx 4 0和 x2 (m 2)x16 0有一個(gè)相同的根，求m的值及這個(gè)相同的根。32

10、、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0的兩根為,且兩個(gè)關(guān)于x的方程x2 (1)x2 0與 x2 (1)x2 0有唯一的公共根，求a、b、c的關(guān)系式33、已知xi、x2是關(guān)于x的方程x2 px q 0的兩根x1 1x2 1是關(guān)于x的方程x2 qx p 0的兩根，求常數(shù)p、q的值34、已知方程x2mx 120的兩實(shí)根是x1和x2 ,方程x2 mxn 0的兩實(shí)根是x1 7和x2 7,求m和n的值。35、已知 2s2 4s 7 0, 7t2 4t 2 0, s、t 為實(shí)數(shù)，且 st1.求下列各式的值:st 1t(2)3st 2s 3t36、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2m2x n 0的兩個(gè)實(shí)

11、數(shù)根；y1、y2是關(guān)于y的方程y2 5my 7 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且Xi y1 2, x2y237、關(guān)于x的方程m2x2(2m 3)x 1 0有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根,x2 2(a m)x 2a m2 6m 4 0有大于0且小于2的根，求a的整數(shù)值。38、已知關(guān)于x的方程mx2 nx 2 0兩根相等，方程x2 4mx 3n 0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍 求證：方程x2 (k n)x (k m) 0 一定有實(shí)數(shù)根。39、已知關(guān)于x的一元二次方程x2 (4m 1)x 2m 1 0 .(1)求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩根為、x2,且滿足- - L 求m的化 x1 x22

12、40、關(guān)于x的方程x2 2mx -n2 0 ,其中m、n分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。 4(1)求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8,等腰三角形的面積是12,求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。41、已知關(guān)于y的方程y2 2ay 2a 4 0。(1)證明：不論a取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) a為何值時(shí)，方程的兩根之差的平方等于16?42、已知方程2x2 5mx 3n 0的兩根之比為2:3,方程x2 2nx 8m 0的兩根相等(mn 0)。 求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)k,方程mx2 (n k 1)x k 1 0包有實(shí)數(shù)根。43、如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2 2

13、(m 3)x m2 3 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，那么(1)2 (1)2的最小值是多少？44、已知方程x2 ax b 。的兩根為x1、x2,且4x1 x2 0,又知根的判別式25,求a、b的值45、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是 2 和2甚。46、已知方程x2 5x 7 0,不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程的兩 個(gè)根的負(fù)倒數(shù)。47、已知方程2x2 3x 3 0的兩個(gè)根分別為a、b,利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程,使它的兩個(gè)根分別是： a 1、b 1(2) 2b、空a b48、已知兩數(shù)之和為7,兩數(shù)之積為12,求這兩個(gè)數(shù)。49、已知兩數(shù)的和等于6,這兩數(shù)的積是4,求

14、這兩數(shù)。50、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為 6cm,面積為？cm2,求這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng) 。251、已知關(guān)于x的方程x2 (2a 1)x 4(a 1) 0的兩個(gè)根是斜邊長(zhǎng)為5的直角三角形的兩條直角邊的 長(zhǎng)，求這個(gè)直角三角形的面積。52、試確定使x2 (a b)x a 0的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)a的值。53、已知一元二次方程(2k 3)x2 4kx 2k 5 0,且4k 1是腰長(zhǎng)為7的等腰三角形的底邊長(zhǎng)，求：當(dāng)k取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根54、已知關(guān)于x的一元二次方程x22xp2。有兩個(gè)實(shí)根xMDx2(x1x2),在數(shù)軸上，表示x2的點(diǎn)在表示xi的點(diǎn)的右邊，且相距p 1 ,求p的值。答案

15、一、填空題1、2、八90m;8323、64、105、5 26、107、-18、 -2 ; -89、310、811、012、013、& （ V2舍去） 14、-1 （ 1 舍去）;15、116、-2 17、-4; 0; 018、319、1 320、 3或 021、互為倒數(shù)22、x2 3x 0,(答案不唯一)23、x2 5x 6 0,(答案不唯一)24、x2 3x 2 025、x2 6x 8 0,(答案不唯一)二、解答題1、m2 2m 5、n2 2n 5原式=2m2 3n2 2m 6m 6n 25 372、|x1 x2 | 1(x1 x2)2 4x1x2貶x1 x22x1123、(1) x

16、1x2 a解之 x 1 五x1 2x2 32 a 1(2) x12 2x1 1 ; ,.原式=x1 x2 1 122(x1x2)2x1x22m 2n 3121m m 4、x1x2Jm、x1x2n,2(x1x2)2x1x22(m 2n)5 斛之 2或 10(舍去)(x1x2)2nn 1 n 3 55、(a 1)(b 1) ab (a b) 1 12-426、 a b 37、 0> m 4 ,且 m 2(1) m 1 時(shí)，x2 6x 3 0 ,22 30 ;m 3時(shí)，x2 2x 1 0 ,22 6;2(2) 22 ()2 26,即 2(m 4)2 m4 6,m 2 m 2化簡(jiǎn)得m2 m 6

17、0,解得m1 3, m228、x2J2 1, m 2-29、x2 ，m 23510、X223, k11、(D 3 22 ；12、13、X214、X2121一，m26 j11215、1 ( 3)p 4 ( 2) 23一、一一 ,2所以原方程為x22x 3 0 ,解得 Xi1, X2 316、(1)方程的一個(gè)根為0,即c 0 ,此時(shí)m 5 ;(2)方程的兩根互為相反數(shù)，即17、18、19、20、21、22、23、(3)方程的兩根互為倒數(shù)，即x. x2352(1) m 5 ;x1x2m4(1)方程的兩根互為倒數(shù)，即(2)(3)(4)X1方程的兩根互為相反數(shù)，即方程的一個(gè)根為方程的一個(gè)根為X2X1X2

18、XiX2m1211解之不相等的兩正根，則22(X1 X2)(X1 X2)即 m2 10m 11 (m當(dāng) m 11 時(shí)，x2 5x0,1,X1X2m/c、27m而13,原方程為 8y2 14y 8 0,(3) m 260 0)4(m 7)2 176 02b 0,此時(shí)m止匕時(shí)82m 112113x1x2由題意可得4X1X211)(m(m2X1X2X1X22(a 2) a2 52 x1由題意解得1)21) 0解得xX2即a2 5 4(a 2),解得a 1或a 3 (舍)7104m減3;24、25、26、27、28、29、30、當(dāng)m 1時(shí)，x22Xix22XiXiX2(XiX2)22x1 x2(k1)

19、2 2(k 2) 6,化簡(jiǎn)得k2 9 0 ,所以k 3或k 3(舍)1)(1)(mx2X2X2士 XiX2當(dāng) XiX21)1或m 2 (舍)(XiXi綜上所述,不妨設(shè)Xi方法一:-得:1) 1_2m 4m49m ,1003 .-(舍)52x ,則有原式=2X2 )2xi X22(m2)22m2 56,化簡(jiǎn)得8m 200,10 (舍)X2。時(shí),。時(shí),Xi X2x1x224m 111 x1x2Xi則有(2m 2)x代入中得：x2即（XiX2)(1x1x20,0,X2解得mX1X2X1X220 0,mx6 0 ,解得Xi當(dāng)x 3時(shí)，m133,方程的解為當(dāng)x 2時(shí)，m綜上所述，當(dāng)m方法二:-得：（2m

20、代入中得:m(m 2)3（舍）；3x2103、x23 土 3;(1) 2 彳曰 b29ac 2,即 2b2 9ac方程的解為3、-,符合題意;34,方程的解為2、2;方程的解為2、8,符合題意;13 一時(shí)相同根為 3;3當(dāng)m 4時(shí)相同根為2;2)x 20 0,210210m2(1 m) 1 m4 0 ,化簡(jiǎn)為3m2一 一 -113m 52 0 解得m 一或3一 13 .當(dāng)m 一時(shí)由，相同根為33;當(dāng)m4時(shí)相同根為2;32、-得：( )x ( 22) 0 ,由題意得33、34、35、代入中化簡(jiǎn)得：2()20,b _.2.一 0, 2b ac aba7t21, q 37, n 544t 20,兩邊

21、同除t2得J0,所以s、1是同一方程2x2 4x 7 0的兩根。 t1t1t(2)t3st 2s 32；3s2s2)36、因?yàn)?x y1 2、X2y2兩式相加得:(XiX2) (yi y2) 4即(m2) ( 5m)整理得5m 40,解得m 4或m 1 (舍)37、二方程有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根,一X1X211 ,解得m 1或m 1 (舍) m當(dāng)m 1時(shí)，方程化為x22(a1)x 2a即(x 1)x (2 a 1)解得 X (2a 1), x2(不符合題意,所以 0(2a 1) 2,解得又;a是整數(shù)，.二a 138、方程有兩根相等，8m0、且m方程中不妨設(shè)X1 3X2,則有(kX1X24x239、

22、(1)1(2)-X1cX1X2 a3x2廠得SW(2)ac 3n162，即 m n3m 2、n 4 ;此時(shí)原方程化為x2(k 4)x4)2 4 (k 2) (k 2)2 20 0 ,所以該方程一定有實(shí)數(shù)根。(4m 1)2 4 (2m 1) 16m2 5 0 ,所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;_1紅/J4rn JJ1，解得m x2x1x22m 121240、 (1)212(2m)4 -n4(2m n)(2m n) 0 ,所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)|xix2 | . (x1 x2)2 4x1x24m2m22 n12 , 241、 (1)(2)解得n 6,(2a)2(xx2)242、方程不妨設(shè)x143、(x15 ,所以三角形周長(zhǎng)(2a 4) 4(a 1)2x2)2 4x1x2(2a)22，3x2,則有x1x2cx1x2 一 a方程中有兩根相等,(3 k)2 4 2 (k2(m 3) m2 3)2 212當(dāng)m 1時(shí),44、因?yàn)?xx2又因?yàn)閤1 x245、12x1x2x x246、x1x247、(1) x22m n 160,所以該方程總有兩