變化多端的等腰三角形

1、變化多端的等腰三角形湖北省流水縣六神中學(xué)翟升華某小豐縱觀2014年全國數(shù)學(xué)中考關(guān)于等腰三角形的考查花樣翻新、與時(shí)俱進(jìn)，充分體現(xiàn)了新的課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）倡導(dǎo)的學(xué)生“除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。”的理念。下面筆者對2014年中考數(shù)學(xué)關(guān)于等腰三角形的試題進(jìn)行搜集、整理，展現(xiàn)端倪，以饗讀者。一、剪出等腰三角形例1（2014年黃岡市）如圖，在一張長為8cm,寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形

2、的邊上）.則剪下的等腰三角形的面積為cm2.析解：因?yàn)榈妊切窝奈恢貌幻鞔_，所以分以下三種情況進(jìn)行討論：（1）腰長在矩形相鄰的兩邊上，（2）一腰在矩形的寬上，（3）一腰在矩形的長上.（1）當(dāng)AE=AF=5厘米時(shí)，如圖（1）圖（1）圖（2）圖（3）_1_1962、Szaef-AE?AF=>5>5=（厘米2）.222（2）當(dāng)AE=EF=5厘米時(shí)，如圖（2）bf=Vef2-BE2=7s2-12=2（厘米），$/=-?85=4>5>2n=5混（厘米2）.（3）當(dāng)AE=EF=5厘米時(shí)，如圖（3）DF=VeF2-DE2=Vb2-S2=4（厘米），SAEF=|aE?DF=7；&g

3、t;5>4=10（厘米2）.故答案為：、自，56,10.反思：本題融操作、計(jì)算、探究于一體，通過動(dòng)手實(shí)踐，領(lǐng)悟到分類討論數(shù)學(xué)思想在解題中的運(yùn)用.例2(2014年寧波市)課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36。的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法.我們有多少種剪法，圖1是其中的一種方法：定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線.(1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45。的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視

4、為同一種)(2)ABC/B=30°,AD和DE是ABCW三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BDDE=CE設(shè)/Cx。，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；(3)如圖3,ABC43,AC=2,BC=3,/C=2/B,請畫出ABC勺三分線，并求出三分線的長.析解：(1)頂角為45。，自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個(gè)等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜邊的中線可形成兩個(gè)等腰三角形，則易得一種情況；第二種情形可以考慮題例中給出的方法，試著同樣以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底角被分為45。和22.5。，再以22.5。分別作為等腰三角形的底角或

5、頂角，易得其中作為底角時(shí)所得的三個(gè)三角形恰都為等腰三角形.即又一三分線作法.如圖2作圖，(2)用量角器，直尺標(biāo)準(zhǔn)作30°角，而后確定一邊為BA一邊為BC根據(jù)題意可以先固定BA的長，而后可確定D點(diǎn)，再標(biāo)準(zhǔn)作圖實(shí)驗(yàn)一一分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧AEC在同一直線上，易得2種三角形ABD.根據(jù)圖形易得x的值.如圖3、作AEC.當(dāng)AD=AE時(shí)，2x+x=30+30,.x=20.當(dāng)AD=DE時(shí)，.30+30+2x+x=180,.x=40.(3)因?yàn)?C=2/B,作/C的角平分線，則可得第一個(gè)等腰三角形.而后借用圓規(guī)，以邊長畫弧，根據(jù)交點(diǎn)，尋找是否存在三分線，易得如圖4圖形為三分線

6、.則可根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程可知各線的長.如圖4,CDAE就是所求的三分線.設(shè)/&a,則/DCBZDCA/EAGa,/ADE/AED：2a,此時(shí)AECoBDCACEhAABC設(shè)AE=AD=x,BD=CD=y,.AEGBDC，x：y=2：3,.ACmAB(C，2x=(x+y):2,聯(lián)立得，方程組解得,即三分線長分別是反思：本題取材于教材，但略高于教材、活于教材，考查了學(xué)生的理解能力及動(dòng)手創(chuàng)造能力，是一道鍛煉學(xué)生思維智能的好題目.二、畫出等腰三角形例3（2014年無錫市）已知那BC的三條邊長分別為3,4,6,在4ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將"B

7、C分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）.A.6條B.7條C.8條D.9條析解：利用等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB,AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可.如圖所示：當(dāng)BCi=AC1,AC=CC2,AB=BC3,AC4=CC4,AB=AC5,AB=AC6,BC7=CC7時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形.故選：B.反思：此題主要考查了等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖等知識，通過做題，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)圖形的可塑性和多樣性，具有一定的挑戰(zhàn)思維性三、黃金三角形例4（2014年無錫市）（1）如圖1,RtAABC中，/B=90°,AB=2BC,現(xiàn)以C為圓心、CB長為

8、半徑畫弧交邊AC于D,再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E.求證：坐=J5.（這個(gè)比值:5叫做AE與AB的黃金比.）AB22（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形.請你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC.（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注）A3A3ISI圄2析解：（1）利用未知數(shù)表示出AB,AC,BC的長，進(jìn)而得出AE的長，進(jìn)而得出答案證明：RtAABC中，/B=90°,AB=2BC,設(shè)AB=2x,BC=x,貝UAC=x,.AD=AE=（岳T）x,|AE

9、（七-1）1恒-1AB2xZ（2）根據(jù)底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，畫圖即可.底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，如圖:.此題主要考查了黃金三角形的作法以及黃金三角形的性質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的美感，是一道證明、作圖相結(jié)合的不可多得試題例5（2014年福建漳州）如圖，4ABC中，AB=AC,ZA=36°,稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作：（畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括4ABC）（1）在圖1中畫1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是度和度；（2）在圖2中畫2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形；（3）繼續(xù)按以

10、上操作發(fā)現(xiàn)：在4ABC中畫n條線段，則圖中有個(gè)等腰三角形,其中有個(gè)黃金等腰三角形.析解：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)以及/A的度數(shù)，進(jìn)而得出這2個(gè)等腰三角形的頂角如圖1所示：.AB=AC,/A=36.當(dāng)AE=BE,貝U/A=/ABE=36°,貝U/AEB=108°,貝叱EBC=36°,.這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度；故答案為：108,36.(2)利用(1)的思路進(jìn)而得出符合題意的圖形.如圖2所示：(3)利用當(dāng)1條直線可得到2個(gè)等腰三角形；當(dāng)2條直線可得到4個(gè)等腰三角形；當(dāng)3條直線可得到6個(gè)等腰三角形，進(jìn)而得出規(guī)律求出答案.如圖3所示：當(dāng)1條直線可

11、得到2個(gè)等腰三角形；當(dāng)2條直線可得到4個(gè)等腰三角形；當(dāng)3條直線可得到6個(gè)等腰三角形；在4ABC中畫n條線段，則圖中有2n個(gè)等腰三角形，其中有n個(gè)黃金等腰三角形.故答案為：2n,n.反思：此題以黃金三角形為背景，“題”陳出新，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，材料平實(shí)、親切，具有挑戰(zhàn)性.讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察一一操作一一猜想一一計(jì)算一一拓展”的過程，較好地考查了學(xué)生運(yùn)用知識和探究問題的能力，踐行了新課標(biāo)的精神四、構(gòu)造等腰三角形例6(2014年襄陽市)如圖，在ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上，BD與CE交于點(diǎn)O,給出下列三個(gè)條件：/EBO=/DCO;BE=CD;OB=OC.(1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定ABC是等腰三角形？(用序號寫出所有成立的情形)(2)請選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程.析解：(1)由；.兩個(gè)條件可以判定ABC是等腰三角形.；.(2)先求出/ABC=/ACB,即可證明ABC是等腰三角形.選證明如下，OB=OC,/OBC=/OCB,/EBO=/DCO,又/ABC=/EBO+/OBC,/ACB=/DCO+/OCB,丁./ABC=/ACB,.ABC是等腰三角形.給學(xué)生提供了較廣闊的解題空間，鍛煉了學(xué)反思：本題主要考查了等腰三角形的判定，生對數(shù)學(xué)命題的組合、判斷、證明的能力.總