邏輯代數(shù)知識

1、邏輯代數(shù)知識邏輯代數(shù)知識學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點邏輯代數(shù)的公式與定理、邏輯函數(shù)化簡 基本邏輯門電路的邏輯功能邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)導(dǎo)言日常生活中使用十進(jìn)制，但在計算機中基日常生活中使用十進(jìn)制，但在計算機中基本上使用二進(jìn)制，有時也使用八進(jìn)制或十六進(jìn)本上使用二進(jìn)制，有時也使用八進(jìn)制或十六進(jìn)制。制。二進(jìn)制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以二進(jìn)制代碼不僅可以表示數(shù)值，而且可以表示符號及文字，使信息交換靈活方便。表示符號及文字，使信息交換靈活方便。BCD碼是用碼是用4位二進(jìn)制代碼代表位二進(jìn)制代碼代表1 1位十進(jìn)制數(shù)的編碼，位十進(jìn)制數(shù)的編碼，有多種有多種BCD

2、碼形式，最常用的是碼形式，最常用的是8421 BCD碼。碼。數(shù)字信號與數(shù)字電路數(shù)字信號與數(shù)字電路模擬信號：在時間上和數(shù)值上連續(xù)的信號。數(shù)字信號：在時間上和數(shù)值上不連續(xù)的（即離散的）信號。uu模擬信號波形數(shù)字信號波形tt對模擬信號進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。對數(shù)字信號進(jìn)行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。 數(shù)字電路概述數(shù)字電路概述1.3 1.3 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)事物往往存在兩種對立的狀態(tài)，在邏輯代數(shù)中可以抽象地表示為 0 和 1 ，稱為邏輯0狀態(tài)和邏輯1狀態(tài)。邏輯代數(shù)是按一定的邏輯關(guān)系進(jìn)行運算的代數(shù)，是分析和設(shè)計數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。在邏輯代數(shù)，只有和兩種邏輯值，有三種基本邏輯運

3、算，還有幾種導(dǎo)出邏輯運算。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0 和 1 稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)。邏輯是指事物的因果關(guān)系，或者說條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數(shù)來描述。1.3.1 基本邏輯運算基本邏輯運算1 1、與邏輯（與運算）、與邏輯（與運算）與邏輯的定義：僅當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的所有條件（A，B，C，）均滿足時，事件（Y）才能發(fā)生。表達(dá)式為：開關(guān)A，B串聯(lián)控制燈泡Y電路圖L=ABEABYEABYEABYEABYEABY兩個開關(guān)必須同時接通，兩個開關(guān)必須同時接通，燈才

4、亮。邏輯表達(dá)式為：燈才亮。邏輯表達(dá)式為：A、B都斷開，燈不亮。都斷開，燈不亮。A斷開、斷開、B接通，燈不亮。接通，燈不亮。A接通、接通、B斷開，燈不亮。斷開，燈不亮。A、B都接通，燈亮。都接通，燈亮。這種把所有可能的條件組合及其對應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。將開關(guān)接通記作1，斷開記作0；燈亮記作1，燈滅記作0。可以作出如下表格來描述與邏輯關(guān)系：A BY0 00 11 01 10001開關(guān) A 開關(guān) B燈 Y斷開 斷開斷開 閉合閉合 斷開閉合 閉合滅滅滅亮功能表功能表實現(xiàn)與邏輯的電路稱為與門。與門的邏輯符號：YAB&真真值值表表邏輯符號邏輯符號2 2、或邏輯（或運算）、或邏輯（或運

5、算）或邏輯的定義：當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的各種條件（A，B，C，)中，只要有一個或多個條件具備，事件（Y）就發(fā)生。表達(dá)式為：開關(guān)A，B并聯(lián)控制燈泡Y電路圖L=ABEABYEABYEABY兩個開關(guān)只要有一個接通，兩個開關(guān)只要有一個接通，燈就會亮。邏輯表達(dá)式為：燈就會亮。邏輯表達(dá)式為：A、B都斷開，燈不亮。都斷開，燈不亮。A斷開、斷開、B接通，燈亮。接通，燈亮。A接通、接通、B斷開，燈亮。斷開，燈亮。A、B都接通，燈亮。都接通，燈亮。EABYEABYA BY0 00 11 01 10111 實現(xiàn)或邏輯的電路稱為或門?；蜷T的邏輯符號：AB1真值表真值表開關(guān) A 開關(guān) B燈 Y斷開 斷開斷開 閉合閉合

6、斷開閉合 閉合滅亮亮亮功能表功能表邏輯符號邏輯符號3 3、非邏輯（非運算）、非邏輯（非運算）非邏輯指的是邏輯的否定。當(dāng)決定事件（Y）發(fā)生的條件（A）滿足時，事件不發(fā)生；條件不滿足，事件反而發(fā)生。表達(dá)式為：開關(guān)A控制燈泡Y電路圖EAYRAY0110實現(xiàn)非邏輯的電路稱為非門。非門的邏輯符號：YA1EAYRA斷開，燈亮。斷開，燈亮。EAYRA接通，燈滅。接通，燈滅。真真值值表表功功能能表表邏輯符號邏輯符號開關(guān) A燈 Y斷開閉合亮滅4 4、常用的邏輯運算、常用的邏輯運算（1）與非運算：邏輯表達(dá)式為：ABY A BY0 00 11 01 11110 真值表YAB與非門的邏輯符號L=A+B&（2）

7、或非運算：邏輯表達(dá)式為：BAYA BY0 00 11 01 11000 真值表YAB或非門的邏輯符號L=A+B1（3）異或運算：邏輯表達(dá)式為：BABABAYA BY0 00 11 01 10110 真值表YAB異或門的邏輯符號L=A+B=1CDABYY1&ABCD與或非門的邏輯符號ABCD&1Y與或非門的等效電路（4） 與或非運算：邏輯表達(dá)式為：5 5、邏輯函數(shù)及其相等概念、邏輯函數(shù)及其相等概念（1）邏輯表達(dá)式：由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構(gòu)成的式子。在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運

8、算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。（2）邏輯函數(shù)：如果對應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、的邏輯函數(shù)。記為),(CBAfY ：與普通代數(shù)不同的是，在邏輯代數(shù)中，不管是變量還是函數(shù)，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態(tài)，沒有數(shù)量的含義。（3）邏輯函數(shù)相等的概念：設(shè)有兩個邏輯函數(shù)),( ),(21CBAgYCBAfY它們的變量都是A、B、C、，如果對應(yīng)于變量A、B、C、的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個邏輯函數(shù)相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函

9、數(shù)的真值表完全相同，則這兩個函數(shù)一定相等。因此，要證明兩個邏輯函數(shù)是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。A BABABA BA+B0 00 11 01 1000111101 11 00 10 01110BAAB證明等式：1.3.2 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1 1、邏輯代數(shù)的公式和定理邏輯代數(shù)的公式和定理與運算：111 001 010 000（1）常量之間的關(guān)系（2）基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA或運算：111 101 110 000非 運 算 ：10 01互補律： 0 1AAAA等冪律：AAAAAA 雙 重 否 定 律 ：

10、AA 分別令分別令A(yù)=0及及A=1代入這些代入這些公式，即可證公式，即可證明它們的正確明它們的正確性。性。（3）基本定理交換律：ABBAABBA結(jié)合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA反演律（摩根定律）：BABABABA .利用真值表很容易證利用真值表很容易證明這些公式的正確性。明這些公式的正確性。如證明如證明AB=BA：A B A.B B.A0 00 11 01 100010001(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率等冪率AA=AAA=A=A

11、(1+B+C)+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC=A+BC0-10-1率率A+1=1A+1=1證明分配率：A+BA=(A+B)(A+C)證明：證明：（4）常用公式還原律：ABABAABABA)()(證 明 ：)(BAAABAA吸收率：BABAABABAAABAAABAA)( )()(1BA BA 分配率分配率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互補率互補率A+A=1A+A=10-10-1率率A A1=11=1冗余律：CAABBCCAAB證明：BCCAABBCAABCCAABBCAACAAB)(互補率互補率A+A=1A+A=1分配率分配率A

12、(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC)1 ()1 (BCACABCAAB 0-10-1率率A+1=1A+1=1例如，已知等式 ，用函數(shù)Y=AC代替等式中的A，根據(jù)代入規(guī)則，等式仍然成立，即有：2 2、邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)則邏輯代數(shù)運算的基本規(guī)則（1）代入規(guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。BAABCBABACBAC)(（2）反演規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱

13、為反演規(guī)則。例如：EDCBAY)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY（3）對偶規(guī)則：對于任何一個邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而，則可得到的一個新的函數(shù)表達(dá)式Y(jié)，Y稱為函Y的對偶函數(shù)。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如：EDCBAY對偶規(guī)則的意義在于：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。利用對偶規(guī)則,可以使要證明及要記憶的公式數(shù)目減少一半。例如：在運用反演規(guī)則和對偶規(guī)則時，必須按照邏輯運算的優(yōu)先順序進(jìn)行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。ACABCBA)()(CABABCAABABAABABA)()(

14、)(EDCBAYEDCBAYEDCBAY1.3.3 邏輯函數(shù)的表達(dá)式邏輯函數(shù)的表達(dá)式（1）與或表達(dá)式：ACBAY（2）或與表達(dá)式：Y)(CABA（3）與非-與非表達(dá)式：Y ACBA（4）或非-或非表達(dá)式：YCABA（5）與或非表達(dá)式：YCABA一個邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以有與或表達(dá)式、或與表達(dá)式、與非-與非表達(dá)式、或非-或非表達(dá)式、與或非表達(dá)式5種表示形式。一種形式的函數(shù)表達(dá)式相應(yīng)于一種邏輯電路。盡管一個邏輯函數(shù)表達(dá)式的各種表示形式不同，但邏輯功能是相同的。1 1、邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)邏輯函數(shù)的最小項及其性質(zhì)（1）最小項：如果一個函數(shù)的某個乘積項包含了函數(shù)的全部變量，其中每個變量都以原變量或反

15、變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個乘積項稱為該函數(shù)的一個標(biāo)準(zhǔn)積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8個最小項：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、（2）最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標(biāo)i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進(jìn)制數(shù)，則與這個二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個最小項的下標(biāo)i。3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、（3）最小項的性質(zhì)： 3 變量全部最小項的真值表A B Cm0m1m2m3m4m5m6m7

16、0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。全部最小項的和必為1。ABCABC任意兩個不同的最小項的乘積必為0。2 2、邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項表達(dá)式任何一個邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項表達(dá)式對于不是最小項表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式AA1 和A(B+C)ABBC來配項展開成最小項表達(dá)式。)7 , 3 , 2 , 1 , 0()

17、()(73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY如果列出了函數(shù)的真值表，則只要將函數(shù)值為1的那些最小項相加，便是函數(shù)的最小項表達(dá)式。A B CY最小項0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1ABCm5ABCm3ABCm1ABCCBACBACBACBAmmmmmY)5 ,3 ,2, 1(5321將真值表中函數(shù)值為0的那些最小項相加，便可得到反函數(shù)的最小項表達(dá)式。本節(jié)小結(jié)邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實際邏輯問題抽象為邏輯