第二章薛定諤方程

1、1 波函數(shù)及其物理意義波函數(shù)及其物理意義第二章第二章 Schrodinger 方程方程（一）波粒二象性（一）波粒二象性電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ （1）兩種錯(cuò)誤的看法）兩種錯(cuò)誤的看法 1. 實(shí)物粒子（例如電子）由經(jīng)典粒子組成實(shí)物粒子（例如電子）由經(jīng)典粒子組成 1.有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; 2.有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。 經(jīng)典概念中粒子意味著：經(jīng)典概念中粒子意味著： 1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;

2、 2.干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著：經(jīng)典概念中波意味著： 2. 粒子由經(jīng)典波組成粒子由經(jīng)典波組成“ 電子既不是粒子也不是波電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經(jīng)，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們也可以說，以說，“ 電子既是粒子也是波，它是粒子電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一”。 exp()iAp rEt 稱為稱為deBroglie 波。此式稱為波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)自由粒子的波函數(shù)。（2）波函數(shù)）波函數(shù)2 ()it r nAe 為了表示微觀粒子的波粒二象性，

3、可以用平面波為了表示微觀粒子的波粒二象性，可以用平面波來描寫自由粒子來描寫自由粒子描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波的數(shù)學(xué)式子描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波的數(shù)學(xué)式子hEph 2h),(tr 如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量），粒他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量），粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫，一般記為： 描寫粒子狀態(tài)的波描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一函數(shù)，它通常是一個(gè)個(gè)復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。 （二）（二）Born 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)

4、解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 幾率波幾率波1.入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)入射電子流強(qiáng)度小，開始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣間亦顯示衍射圖樣;我們看一下電子的衍射實(shí)驗(yàn)我們看一下電子的衍射實(shí)驗(yàn) 2.入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣. 電子源電子源感感光光屏屏PPOQQO4結(jié)論：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是：結(jié)論：衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是： 許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。結(jié)果。 4波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)

5、波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，的，在此基礎(chǔ)上，Born 提出了波函數(shù)意義提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。的統(tǒng)計(jì)解釋。 波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。描寫粒子方）和在這點(diǎn)找到粒子的幾率成比例。描寫粒子的波是幾率波反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的波是幾率波反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)性，波函數(shù) (r,t)有時(shí)也稱為幾率幅。有時(shí)也稱為幾率幅。這就是首這就是首先由先由 Born 提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。力學(xué)的基本原理。波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解

6、釋波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋: 假設(shè)衍射波波幅用假設(shè)衍射波波幅用 (r,t) 描述，與光學(xué)相似，描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強(qiáng)度則正比于衍射花紋的強(qiáng)度則正比于 | (r,t)|2 。 因此，因此，| (r,t)|2 正比于粒子正比于粒子t時(shí)刻出現(xiàn)在時(shí)刻出現(xiàn)在 r 點(diǎn)附點(diǎn)附近幾率的大小，確切的說，近幾率的大小，確切的說，C| (r,t)|2 x y z 表示表示t時(shí)刻在時(shí)刻在 r 點(diǎn)處，體積元點(diǎn)處，體積元x y z中找到粒子的幾率。中找到粒子的幾率。 在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上，底片上，r 點(diǎn)附近衍射花樣點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度正比于電子出現(xiàn)在的強(qiáng)度正比于電子出現(xiàn)在 r 點(diǎn)附近的

7、幾率。點(diǎn)附近的幾率。在在t時(shí)刻，時(shí)刻，r點(diǎn)，點(diǎn)，d=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)體積內(nèi)，找到由波函數(shù) (r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是： d W( r, t) = C2| (r,t)|2 d， 其中，其中，C2是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)： （1）幾率和幾率密度）幾率和幾率密度在在t時(shí)刻，時(shí)刻，r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t ) = dW(r, t )/ d = C2 | (r,t)|2 稱為稱為幾率密度幾率密度。（三）（三）幾率解釋對(duì)波函數(shù)提

8、出的要求幾率解釋對(duì)波函數(shù)提出的要求 在體積在體積V內(nèi)，內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的幾率為：時(shí)刻找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = V( r, t ) d = C2V | (r,t)|2 d 由于粒子在空間總要出現(xiàn)，所以在全空間找到由于粒子在空間總要出現(xiàn)，所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一。粒子的幾率應(yīng)為一。 即：即：C2 | (r , t)|2 d= 1 （2）歸一化波函數(shù)）歸一化波函數(shù)即波函數(shù)滿足歸即波函數(shù)滿足歸一化條件一化條件從而得歸一化因子從而得歸一化因子 C 之值為：之值為： C= (1/ | (r , t)|2 d)1/2因?yàn)樵谝驗(yàn)樵趖時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn) r1和和

9、r2處找到粒子的相處找到粒子的相對(duì)幾率之比是：對(duì)幾率之比是： (r,t)和和C(r,t)所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這所描寫狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的里的C是常數(shù)。是常數(shù)。221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即即

10、 (r,t) 和和 C(r,t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài) 這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來的 4 倍，因而代倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。 可見，可見，(r,t)和和C(r,t)描述的是描述的是同一幾率波同一幾率波，所以，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。 歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)l若若 (r , t ) 沒有歸一化，沒有歸一化， | (r , t )|2 d= A （A 是大于零的常數(shù)），則

11、有是大于零的常數(shù)），則有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1 也就是說，也就是說，(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數(shù)，是歸一化的波函數(shù)， 與與 (r , t )描寫同一幾率波，描寫同一幾率波，(A)-1/2 稱為歸一化因子。稱為歸一化因子。 l注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。若性。若 (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末，是歸一化波函數(shù)，那末， expi (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中也是歸一化波函數(shù)（其中是實(shí)數(shù)），是實(shí)數(shù)），與前者描述同一幾率波。與前者描述同一幾率波。解解:令已歸一化波函數(shù)為令已

12、歸一化波函數(shù)為)()(),(xcxx設(shè)設(shè)ac82ac22dxaxcdxxa2cos41)(0222124124cos141202acdxaxca), 0(axaxx2cos21)(將其歸一化。將其歸一化。例題：例題：設(shè)波函數(shù)設(shè)波函數(shù)所以歸一化波函數(shù)為所以歸一化波函數(shù)為 axax2cos2課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：設(shè)設(shè) ， 為常數(shù)，求歸一化系數(shù)為常數(shù)，求歸一化系數(shù)A。 222xxAe解：解： 22221xxdxA edx2221xAedx2yedy12A2A（3）波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件）波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件2、根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求波函數(shù)的模的平方、根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求波函數(shù)的模的平方單值和有限，從而

13、保證幾率密度在如何時(shí)刻都是確單值和有限，從而保證幾率密度在如何時(shí)刻都是確定的。定的。3、要求波函數(shù)、要求波函數(shù) (r , t )及其各階微商的連續(xù)性，這及其各階微商的連續(xù)性，這要根據(jù)體系所處勢(shì)場(chǎng)要根據(jù)體系所處勢(shì)場(chǎng)V(r)的性質(zhì)來分析。的性質(zhì)來分析。l概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿足單值、單值、有限、連續(xù)有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱為三個(gè)條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。 1、歸一化條件要求，在空間任何有限體積元中找到、歸一化條件要求，在空間任何有限體積元中找到粒子的幾率為有限值。粒子的幾率為有限值。 W(t) = CV | (r,t)

14、|2 d=有限值有限值 l微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性波的疊加性，即可相加性。，即可相加性。l因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中量子力學(xué)中也存在波疊加原理也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理。（四）態(tài)疊加原理（四）態(tài)疊加原理考慮電子雙縫衍射考慮電子雙縫衍射 P12 S1

15、 S2 電子源電子源感感光光屏屏一個(gè)電子有一個(gè)電子有 1 和和 2 兩種可能的狀態(tài)，兩種可能的狀態(tài)， 是這是這兩種狀態(tài)的疊加。兩種狀態(tài)的疊加?？臻g找到電子的幾率則是：空間找到電子的幾率則是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*電子穿過狹電子穿過狹縫出現(xiàn)在縫出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率點(diǎn)的幾率密度密度電子穿過狹電子穿過狹縫出現(xiàn)在縫出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率點(diǎn)的幾率密度密度相干項(xiàng)相干項(xiàng) 正是由于相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。了衍射花紋。 一般情況下，如果一般情況

16、下，如果1和和2 是體系的可能狀態(tài)，那是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加末它們的線性疊加= C11 + C22 也是該體系的一也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài)，其中個(gè)可能狀態(tài)，其中C1 和和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是是復(fù)常數(shù)，這就是量子力量子力學(xué)的態(tài)疊加原理學(xué)的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理一般表述：態(tài)疊加原理一般表述： 若若1 ，2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加則這些態(tài)的線性疊加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù))。也是體系的一。也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。個(gè)可能狀態(tài)。 處于處

17、于態(tài)的體系，部分的處于態(tài)的體系，部分的處于 1態(tài)，部分的處于態(tài)，部分的處于2態(tài)態(tài).，部分的處于，部分的處于n，.（四）力學(xué)量平均值（四）力學(xué)量平均值l在統(tǒng)計(jì)學(xué)中知道，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中知道， l當(dāng)可能值為離散值時(shí)當(dāng)可能值為離散值時(shí): 一個(gè)物理量的平均值等于一個(gè)物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和；物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和； l當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種當(dāng)可能值為連續(xù)取值時(shí)：一個(gè)物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分?？赡苤党松舷鄳?yīng)的幾率密度求積分。 l基于波函數(shù)的幾率含義，我們馬上可以得到物理基于波函數(shù)的幾率含義，我們馬上可以得到物理量的平

18、均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。維。（1）坐標(biāo)平均值）坐標(biāo)平均值2*|( ) |( )( ),xxxxdxx xx dxx 為簡(jiǎn)單計(jì)，省去時(shí)間變量（或者說，先不考慮隨為簡(jiǎn)單計(jì)，省去時(shí)間變量（或者說，先不考慮隨時(shí)間的變化）時(shí)間的變化） 設(shè)設(shè)(x) 是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，|(x)|2 是粒子出現(xiàn)在是粒子出現(xiàn)在x點(diǎn)的點(diǎn)的幾率密度，則幾率密度，則三維情況：三維情況：( )( )xxr xr dr（2）力學(xué)量）力學(xué)量f(r)平均值平均值 由歸一化波函數(shù)由歸一化波函數(shù)(r)求力學(xué)量平均值時(shí)，必求力學(xué)量平均值時(shí)，必須把該力學(xué)量夾在須把該力學(xué)量夾在*

19、(r)和和(r)之間之間,對(duì)全空間積對(duì)全空間積分，即分，即 ( )( )FFr F rr dr2 Schrodinger 方程方程 這些問題在這些問題在1926年年Schrodinger 提出了波動(dòng)方提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿解決。程之后得到了圓滿解決。 微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量

20、子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個(gè)問題：就是要解決以下兩個(gè)問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻t粒子粒子的狀態(tài)的狀態(tài)r和和p 。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程（1）經(jīng)典情況）經(jīng)典情況0000,ttdtrdmprtt

21、時(shí)時(shí)刻刻，已已知知初初態(tài)態(tài)是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子滿滿足足的的方方程程是是牛牛頓頓（2 2）量子情況）量子情況3第三方面，方程第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量不能包含狀態(tài)參量，如，如 p, E等，等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。各種可能的狀態(tài)所滿足。1因?yàn)?，因?yàn)?，t = t0 時(shí)刻，已知的初態(tài)是時(shí)刻，已知的初態(tài)是( r, t0) 且只知道且只知道這樣一個(gè)初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿這樣一個(gè)初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程足的方程只能含只能含對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)

22、。2另一方面，另一方面，要滿足態(tài)疊加原理要滿足態(tài)疊加原理，即，若，即，若1( r, t ) 和和2( r, t )是方程的解，那末是方程的解，那末 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含是說方程中只能包含, 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對(duì)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對(duì)坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開方項(xiàng)。各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開方項(xiàng)。（一）自由粒子滿足的方程（一）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量這不是所要尋找的方程，因?yàn)?/p>

23、它包含狀態(tài)參量 E E 。將。將對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：1iEiEtt （ ） )(expEtrpiA描寫自由粒子波函數(shù)描寫自由粒子波函數(shù): : 應(yīng)是所要建立的方程的解。應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對(duì)將上式對(duì)t t微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 22222222zypzpy同同理理有有 12222222222zyxpppzyx)2(221222222 pp或或 )2()2(222 pEti滿足上述構(gòu)造方滿足上述構(gòu)造方程的三個(gè)條件程的三個(gè)條件）（所所以以3222 ti 22pE 對(duì)對(duì)自自由由粒粒子子，(1)(2)式式討論：討論：

24、通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，通過引出自由粒子波動(dòng)方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式如果能量關(guān)系式 E = p2/2 寫成如下方程形式：寫成如下方程形式： 22224Eitppipp 做如下替換（做如下替換（4），即得自由粒子滿足的方程（），即得自由粒子滿足的方程（3）。）。0)2(2 pE2232it （ ）（二）勢(shì)場(chǎng)（二）勢(shì)場(chǎng) V(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子中運(yùn)動(dòng)的粒子22( , )( )( , )2ir tV rr tt 若粒子處于勢(shì)場(chǎng)若粒子處于勢(shì)場(chǎng) V(r) 中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋褐羞\(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋篐rVpE )(22 )(22rVpE 將其作用于波函數(shù)得：將其作用于波函

25、數(shù)得：仿照自由粒子波函數(shù)，做仿照自由粒子波函數(shù)，做（4）式的算符替換得：）式的算符替換得： 22224Eitppipp 該方程稱為該方程稱為 Schrodinger 方程方程，也常稱為，也常稱為波動(dòng)方程波動(dòng)方程。（三）多粒子體系的（三）多粒子體系的 Schrodinger 方程方程 設(shè)體系由設(shè)體系由 N 個(gè)粒子組成，個(gè)粒子組成， 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 i (i = 1, 2,., N) 體系波函數(shù)記為體系波函數(shù)記為 ( r1, r2, ., rN ; t) 第第i個(gè)粒子所受到的外場(chǎng)個(gè)粒子所受到的外場(chǎng) Ui(ri) 粒子間的相互作用粒子間的相互作用 V(r1, r2, ., rN) 則多粒子體系的則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為：方程可表示為：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 3 定態(tài)定態(tài)Schrodinger方程方程（一）定態(tài)（一）定態(tài)SchrodingerSchrodinger方程方程),()(2),(22trrVtrti )()(),(tfrtr 現(xiàn)在讓我們討論有外場(chǎng)情況下的現(xiàn)在讓我們討論有外場(chǎng)情況下的定態(tài)