[工學(xué)]第5章-常微分方程

1、第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的概念微分方程的概念第二節(jié)第二節(jié) 常見(jiàn)的一階微分方程常見(jiàn)的一階微分方程第三節(jié)第三節(jié) 高階微分方程高階微分方程第四節(jié)第四節(jié) 歐拉方程歐拉方程第五節(jié)第五節(jié) 微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用第六節(jié)第六節(jié) 差分方程簡(jiǎn)介差分方程簡(jiǎn)介微分方程簡(jiǎn)介 方程：方程：線(xiàn)性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等。用微積分描述運(yùn)動(dòng)，便得到微分方程微分方程。例如描述物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律；某個(gè)物體在重力作用下自由下落時(shí)距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行的軌道等。微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的

2、近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。微分方程簡(jiǎn)介常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王

3、星的位置。微分方程簡(jiǎn)介利用微分方程可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。常微分方程的特點(diǎn)：求通解 與特解 常微分方程的應(yīng)用：自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研 究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就。第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的概念微分方程的概念一一.實(shí)例實(shí)例例1. 曲線(xiàn)過(guò)(0,1),且曲線(xiàn)上每個(gè)點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于該點(diǎn)的橫坐 標(biāo),求此曲線(xiàn)方程.設(shè)曲線(xiàn)方程為 y = y(x),則1|,0 xyxycxxdxy2

4、21c122xy例2. 質(zhì)量為m的物體垂直上拋, t =0 時(shí),初始位移和初速度分別為,00vS求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t), 則,m)(mgtS 0000|,|vSSStt兩次積分分別得出:,)(1cgttS ,21)(212ctcgttS 條件代入:,0201Scvc,21)(002StvgttS 二二. 概念概念1. 微分方程微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為常微分方程.(前例)未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為偏微分方程.本章內(nèi)容2. 階階:未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例1是一階微分方程,例2是二階微分方程.n階方程一般形式:0),(

5、)( nyyyyxF必須出現(xiàn)3. 解解:如果將函數(shù) y=y(x) 代入方程后恒等,則稱(chēng)其為方程的解.如果解中含有任意常數(shù),且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同通解不含任意常數(shù)的解特解必須獨(dú)立n階方程通解一般形式:),(21ncccxyy 4. 定解條件或定解條件或初值條件初值條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要和階數(shù)相同,才能確定唯一特解！.5. 幾何意義幾何意義:通解積分曲線(xiàn)族特解積分曲線(xiàn)例:驗(yàn)證 是 的通解cyx22yxy對(duì) 用隱函數(shù)求導(dǎo)法得:cyx22yxy故 是方程的解,cyx22且含有一個(gè)任意常數(shù).通解第二節(jié)第二節(jié) 幾種常見(jiàn)的一階微分方程幾種常見(jiàn)的一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類(lèi)型

6、和常見(jiàn)類(lèi)型.一階微分方程的一般形式我們研究的形式0),( yyxF),(yxfdxdy一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dyygdxxf)()(1)解法: 1.分離變量:dyygdxxf)()(2.兩邊積分:dyygdxxf)()(3.得出通解:CxFyG)()(只寫(xiě)一個(gè)任意常數(shù)例:xydxdy2).1 (xdxdyy21xdxdyy21,|ln12Cxy2112xCCxeeey任意常數(shù),記為C2xCey 絕對(duì)值號(hào)可省略1|,).2(022xyyxyxyxydxxxdyyy2211dxxxdyyy2211122)1ln()1ln(Cxy)(),1 (1222CeCxCy定解條件代

7、入:C=2故特解為:).1 (2122xy二二.齊次方程齊次方程如果方程(1)可化成:)(xydxdy齊次方程解法:令 化成可分離變量方程.xyu xuy dxduxudxdy)(udxduxudxxuudu1)(例:22xxyydxdy1)(2xyxydxdy12uudxduxudxxduu1)11 (xCuulnln1xyu xyu xyCey *可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程 001111cccybxacbyaxdxdy或，方程解法：若解法：若011baba 則先令則先令, 0, 0111cybxacbyax 求出解求出解,00yx 再作變量代換再作變量代換,00yYyxXx

8、于是原方程化為齊次方程于是原方程化為齊次方程.若若，011baba作變量代換，作變量代換，byaxv原方程化為可分離變量的方程原方程化為可分離變量的方程. 例例 解方程解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0.045-2211baba解：, 06-42, 035-2yxyx令, 1, 1YyXx令解得解得x0=1, y0=1XYXYYXYXdxdy42524252則dXduXudXdYXYu有令,dXXduuuuuudXduXu127424,42522即方程變?yōu)?2| ) 14()2( |ln31)141342132(27424cuuduuuduuuu.) 14()2( 32c

9、Xuu故CxyyxxyXYu) 34() 32( ,112代入得將三三.一階線(xiàn)性方程一階線(xiàn)性方程一般形式:)()(xQyxPdxdy(2):0)(xQ0)(yxPdxdy(3)一階線(xiàn)性齊次方程一階線(xiàn)性非齊次方程:0)(xQ自由項(xiàng)方程(3)是可分離變量方程,其通解為:dxxPCey)(方程(2)的通解常數(shù)變易法設(shè)(2)的通解:dxxPexCy)()(代入方程(2):dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP)()()(則方程(2)的通解:)()()(CdxexQeydxxPdxxP(4)注:1. 一階線(xiàn)性非齊次方程的通解可用常數(shù)變

10、易法或公式(4) 計(jì)算皆可;.2. 公式(4)中不定積分只求一個(gè)原函數(shù)即可;3.dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齊次方程的特解齊次方程的通解非齊次方程解的結(jié)構(gòu)例:xexydxdyxcos22cos222Cdxexeeyxdxxxdxcos2Cxdxex)(sin2Cxex例: 求方程 滿(mǎn)足初始條件 的特解.ydxdyyx)(21|3xy將 y 視為自變量,可以變成關(guān)于 x 的線(xiàn)性方程:yxydydx1yyQyyP)(,1)(11Cdyyeexdyydyy)(Cyy由 得:1|3xy2C故所求特解為:)2( yyx四四.伯努利方程伯努利方程一般形式:) 1 , 0(

11、,)()(nyxQyxPdxdyn當(dāng) n= 0 或1時(shí),這是線(xiàn)性方程.當(dāng) 時(shí),可以化成線(xiàn)性方程:1 , 0n兩端同除以,ny),()(1xQyxPdxdyynn),()()(1111xQyxPdxydnnn令,1 nyz則).()1 ()()1 (xQnzxPndxdz關(guān)于 z 的線(xiàn)性方程求出通解后再還原回 y例:2yyxy211yxyxy兩端同除以,2yxyxyy1112令,1 yz,11xzxz111Cdxexezdxxdxx)(1Cxx代入,1 yz通解為.cxxy五五.全微分方程全微分方程0),(),(dyyxQdxyxP對(duì)于微分方程),(yxdUCyxU),(則通解為全微分方程注:

12、(1).當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且xQyP時(shí),上述方程為全微分方程.(2).DyxCdyyxQdxyxPyxUyyxx),( ,),(),(),(00000(3). 對(duì)于非全微分方程,有時(shí)可以找到函數(shù) , 使得),(yx0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx全微分方程積分因子(4). 觀察法往往很實(shí)用.例:0)(2)(2dyyxydxxyxQyyP2因?yàn)槿⒎址匠倘? 0, 000yxCdyyxydxxyxUyx00)(2)(),(Cyxyx3223221解法一:解法二:02)2(22dyyxdxxydydxy0)32()2()(322ydx

13、dxyd0)322(322yxxydCyxyx3223221例:0 xdyydx非全微分方程由于2)(yxdyydxyxd則 是積分因子,21yCyx同乘以積分因子并積分得通解:xyx1,12易知 也是積分因子例:0)1 ()1 (xdyxyydxxy非全微分方程變形0)()(xdyydxxyydxxdy0)()(22ydyxdxyxxyd則 是積分因子,221yx0)(22ydyxdxyxxyd.|ln1Cyxxy注意注意:其他類(lèi)型的微分方程往往可以化成上述類(lèi)型其他類(lèi)型的微分方程往往可以化成上述類(lèi)型例:yyxy2sincos1視 x 為 y 函數(shù),可化成線(xiàn)性方程yxydydx2sincos通

14、解為:2sincoscosCdyeyexydyydy)sin1 (2sinycey思考)(, 1) 1 (,)() 1()(), 1 )(. 111xyydtttyxdttyxxyxx求內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足在設(shè).e)(, e,e, 0)() 13()( ),(d)(d)(),() 1(d)()(d)(31131221111xxyCxCyxyxxyxxyxtttyttyxxyxtttyxxyttyxxxxxxx故把初始條件代入得：分離變量并求解得：再求導(dǎo)并整理得：整理得：求導(dǎo)得：等式兩端同時(shí)關(guān)于)(,)21()(), 0)(. 222224224tfdxdyyxfetftftyxt求上連續(xù)且滿(mǎn)足在

15、設(shè).e ) 14()(. 1, 1)0() 1 (.4edtete8e)(,e8)(8)( ) 1 (d)21(2ed)21(de)(2222224224d8t4d8420420204tttttttttttttfCfCtCtftttftftrrrfrrrftf故代入上式得：式知：由得：解此一階線(xiàn)性微分方程求導(dǎo)并整理得：等式兩端同時(shí)關(guān)于，.)arctan(,) 1arctan(,dd111dd)(1dd22222CyxyCxuuxuuuuxuyxuyxxy：故該微分方程的通解為等式兩端同時(shí)積分得：分離變量得：，得：令，把原式整理得：xyyxxy21dd. 322第三節(jié)第三節(jié) 高階微分方程高階微分

16、方程一、可降階的微分方程-變量代換法兩邊積分:連續(xù)積分n次得出含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.1. 型方程型方程)()(xfyn)()(xfyn1)1()(Cdxxfyn再積分:21)2()(CdxCdxxfyn例:xxy sin)3(逐次積分得:122cosCxxy ,6sin213CxCxxy32214224cosCxCxCxxy),(pxfp 2. 型方程型方程),(yxfy 令 ,則py pdxdpy 方程變?yōu)?解出這個(gè)一階方程的通解:),(1Cxp則原方程的通解為:21),(CdxCxy例:yyyx ln令 ,則py dxdpy ppdxdpxln方程變?yōu)?dxxppdp1ln解得:xCep

17、1xCey12111CeCyxC例:3|, 1|,2)1 (002 xxyyyxyx令 ,則py dxdpy xpdxdpx2)1 (2dxxxpdp212)1 (21xCpy, 3|0 xy因?yàn)?1C)1 (32xy則233Cxxy, 1|0 xy因?yàn)?2C所求特解為:133xxy),(pyfdydpp3. 型方程型方程),(yyfy 令 ,py 方程變?yōu)?解出這個(gè)以 y 為自變量的一階方程的通解:),(1Cyyp則原方程的通解為:21),(CxCydy例:02 yyy,dydppdxdydydpdxdpy 則令 ,py ,dydppy 則02 pdydpyp方程變?yōu)?即:0 pdydpy或

18、者0p0 pdydpy的通解為:yCp1yCy1其通解為:xCeCy120p即0 y其通解為:Cy xCeCy12例:12 yy令 ,py ,dxdpy 則12 pdxdp方程變?yōu)?即:dxpdp12此題看作類(lèi)型二和類(lèi)型三皆可,經(jīng)過(guò)嘗試用前者簡(jiǎn)單)tan(1cxp)tan(1cxy21| )cos(|lnccxy練習(xí)的特解滿(mǎn)足求2)0(, 1)0()(2. 12 yyyyyy.4tan,4)tan(arctan,d1d1dd. 121, 11,d2d11).0() 1(2dd),(2dddd 21)0(2222121212xyCCxyCxyxyyyxyCyyyCyyCpyyppppypyppy

19、pypyppypyy故微分方程的特解為：積分得：分離變量得：，則方程化為：代入上式得：時(shí)，把初始條件，即：兩端積分并化簡(jiǎn)得：分離變量得：，否則與已知條件矛盾即：，原方程可化為：，則令的通解求1)(2. 22 yyyx.132, 11,d1d12, 1dd2dd 223111122CxCCyxCyxCpxxppppxpxpxpypy：積分得微分方程通解為，即：簡(jiǎn)得：等式兩端同時(shí)積分并化分離變量得：原方程可化為：，則令二、二、 高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:) 1 (),()()()()2(2)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 當(dāng) 時(shí),0)(xf當(dāng) 時(shí),0)(

20、xfn階線(xiàn)性非奇次方程0)()()()2(2)1(1)( yxPyxPyxPynnnnn階線(xiàn)性奇次方程下面以二階方程為例,討論高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu).1. 二階線(xiàn)性奇次方程解的結(jié)構(gòu)二階線(xiàn)性奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:)2(, 0)()( yxQyxPy顯然, y = 0 是(2)的解.平凡解討論非平凡解:定理. 如果 是(2)的兩個(gè)解,則 也是(2)的解,其中 為任意常數(shù).)(),(21xyxy)()(2211xyCxyCy21,CC證明:)(),(21xyxy由于 是(2)的兩個(gè)解,所以0)()(111 yxQyxPy0)()(222 yxQyxPy)()(2211xyCxyCy將 代入(2

21、)的左端:)()(221122112211yCyCxQyCyCxPyCyC 21111)()(CyxQyxPyC )()(222yxQyxPy 000則 也是(2)的解.)()(2211xyCxyCy11212211)2(CyyCCyCyCy注意: 不一定是通解.2211yCyCy例如:1y是(2)的解, 則 也是(2)的解.12y此時(shí)不是通解函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)設(shè) 為定義在 I 上的 n 個(gè)函數(shù),nyyy,21 02211 nnykykyknkkk,21 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù) ,使得線(xiàn)性相關(guān)否則,線(xiàn)性無(wú)關(guān)例如:線(xiàn)性相關(guān)在任意區(qū)間I上:xx22sin,cos, 1取, 1, 1321

22、kkk0sincos122xx2, 1xx線(xiàn)性無(wú)關(guān)要使 ,必須02321xkxkk. 0321kkk對(duì)于兩個(gè)函數(shù):如果它們之比為常數(shù),則線(xiàn)性相關(guān);否則,線(xiàn)性無(wú)關(guān)定理5.3.1 若 是(2)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,則 )(),(21xyxy2211yCyCy21,CC是(2)的通解, 為任意常數(shù).例如:0 yyxyxysin,cos21是它的特解,xCxCysincos21線(xiàn)性無(wú)關(guān)通解2. 二階線(xiàn)性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)二階線(xiàn)性非奇次方程解的結(jié)構(gòu)一般形式:)3(),()()(xfyxQyxPy 定理5.3.2 若 是(3)的一個(gè)特解, 是(3)對(duì)應(yīng)的奇 次方程(2)的通解,則 y2211yCyCYyY

23、y是(3)的通解.yYy則 是(2)的通解.而 是(3)的一個(gè)特解y證明: 由于Y是(2)的的通解,所以0)()( YxQYxPY)()()(xfyxQyxPy)()( yYxQyYxPyY)()(0 xfxf將 代入(3)的左端:yYy )()(YxQYxPY)()(yxQyxPy注意: Y 中含有兩個(gè)任意 常數(shù),因此 y 是通解.注:當(dāng)(3)式的自由項(xiàng)為幾項(xiàng)之和時(shí),特解如何求出?證明:定理5.3.3 若 分別是 )(),(21xyxy的特解,則 是方程)()()(2xfyxQyxPy )()()(1xfyxQyxPy )4()()()()(21xfxfyxQyxPy 的特解.)()(21x

24、yxy將 代入(4)的左端:)()(21xyxy)()(212121yyxQyyxPyy )()(111yxQyxPy)()(222yxQyxPy )()(21xfxf)()(21xyxy則 是(4)的解.3212211321221132122113221121321)1 ()()1 ()()()()(,)()()( )(),(),(.yCCyCyCDyCCyCyCCyCCyCyCByyCyCACCxfyxQyxPyxyxyxy次方程的通解是是任意常數(shù)，則該非齊的解，程都是二階非齊次線(xiàn)性方設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)函數(shù)例3. 二階常系數(shù)線(xiàn)性奇次方程二階常系數(shù)線(xiàn)性奇次方程一般形式:) 1 (, 0 qyypyp

25、,q為常數(shù)分析由方程特點(diǎn)假設(shè)rxey rxey 將 代入(1)得:, 0)(2rxeqprr)2(, 02qprr當(dāng) 滿(mǎn)足(2)時(shí), 是(1)的一個(gè)特解.rrxe特征方程特征根根據(jù)特征根的三種不同情形,方程(1)的通解有三種情形.0 u0)()2(1211 uqprrupru21rr 1.特征根為相異實(shí)根 :xrxreyey2121,是(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,xrxreCeCy2121則(1)的通解為21rr 2.特征根為二重根 :xrey11是(1)的一個(gè)特解, 求另一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解.xrexuy1)(2設(shè) 代入方程(1):取, xu xrxey12得到另一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解xrxrxr

26、exCCxeCeCy111)(2121則(1)的通解為線(xiàn)性無(wú)關(guān)特解)0(,21irir3.特征根為共軛復(fù)根:xixieyey)(2)(1,是(1)的兩個(gè)特解,)sin(cos)(1xixeeyxxi)sin(cos)(2xixeeyxxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCeyx則(1)的通解為例:023 yyy, 0232 rr, 2, 121rr則通解為xxeCeCy221xixeixsincos歐拉公式：例:2|, 4|, 0200 xxyyyyy, 0122 rr, 121 rr則通解為xexCCy)(2144|10Cyxxex

27、CCCy)(21222|20Cyx則特解為xexy)24(例:032 yyy, 0322 rr,212, 1ir則通解為)2sin2cos(21xCxCeyx)3(, 0)2(2)1(1)( ypypypynnnn02211 nnnnprprpr注:上述解法可推廣到 n 階常系數(shù)線(xiàn)性奇次方程:特征方程 特征根 通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根 r一項(xiàng)一對(duì)單復(fù)根 ir2 , 1兩項(xiàng)k 重實(shí)根 rk 項(xiàng)一對(duì) k 重復(fù)根ir2, 12k 項(xiàng)rxCe)(121 kkrxxCxCCe)sincos(21xCxCexsin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 例:0)3()4()5( yyy

28、y, 02345rrrr, 1 ,0 ,0iir則通解為xCxCeCxCCyxsincos543214. 二階常系數(shù)線(xiàn)性非奇次方程二階常系數(shù)線(xiàn)性非奇次方程一般形式:)4(),(xfqyypy p,q為常數(shù)yYy由解的結(jié)構(gòu)可知, (4)的通解是:故只要求出(4)的一個(gè)特解 .y待定系數(shù)法n 次多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘積待定多項(xiàng)式x*e )x(Qy 設(shè)設(shè)xme )x(P)x( f 1. (1).當(dāng) 不是特征根時(shí):因此取m1m1m1m0m)()(bxbxbxbxQxQ (2).當(dāng) 是特征單根時(shí):因此 是 m次多項(xiàng)式,)(xQ 是m+1次多項(xiàng)式,)(xQ）代入（代入（將將4e )x(Qy x* )5()()

29、()2(2xPQqpQpQm , 02 qp xm*e )x(Qy 則則 , 02 , 02 pqp xm*e )x(xQy 設(shè)設(shè)例:求 的一個(gè)特解. 1332 xyyy, 0322 rr由于 不是特征根,baxy則設(shè)將 代入方程得:y13323xbaax13233baa311ba31xy則一個(gè)特解為(3).當(dāng) 是特征重根時(shí):因此 是 m次多項(xiàng)式,)(xQ 是 m+2 次多項(xiàng)式,)(xQ , 02 , 02 pqp xm2*e )x(Qxy 設(shè)設(shè)0 由于 是特征單根,xebaxxy2)(則設(shè)將 代入方程得:yxbaax220212baa121baxexxy2) 121(則一個(gè)特解為因此通解為:

30、xxeCeCy3221xexx22)2(例:求 的通解. xxeyyy265 , 0652 rr, 3, 221rr則對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解為xxeCeCY32212 2. 型此時(shí)設(shè)特解為:不是特征根是特征根證明略m 次多項(xiàng)式n,maxml sin)(cos)()(nxxPxxPexflx sin)(Rcos)(R)2(m)1(mxxxxexyxk iik10例:求 的一個(gè)特解. xeyyyxcos22 )sincos(xbxaxeyx則設(shè)將 代入方程得:yxxaxbcos)sincos(221, 0baxexyxsin2則一個(gè)特解為, 0222 rr是是特特征征根根由由于于i 1例: 求 的通

31、解. xxyy2sin4 , 042r則對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解為xCxCY2sin2cos21,22, 1ir,12, 1ir由于 是特征根,2sin)(2cos)(xdcxxbaxxy則設(shè)將 代入方程得:yxxxbcaxxdacx2sin2sin)428(2cos)428(xxxxy2sin162cos82則一個(gè)特解為042180420bcadac1610081dcba因此通解為:xCxCy2sin2cos21xxxx2sin162cos82ii2 題型解析通解求xeyyxyx36)1 (241. .e51ee.e51eee6dddddd41dd41dddddddddd21dddddd,322

32、313u2u231322322222xxxuuxCCyxuuCCyyuyuyuyuuyuxuxyuxyuyuxuuyxyux帶回，得：將其通解為：，代入原方程可得：，則令.e ) 12(ee)(. 1,21:,e )()(*.ee)(:. 2, 1:,e)(2)( 3)( :22212221212xxxxxxxxxCCxbabaxxxCCxrrxxxxxQyP故微分方程的通解為：解得設(shè)一個(gè)特解為的通解為從而對(duì)應(yīng)齊次微分方程程的特征根為其所對(duì)應(yīng)的齊次微分方非齊次微分方程，該微分方程為二階線(xiàn)性得由)(,)(,)()(2)(3. 22xxdyxydxxexxLx求有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)其中與路徑無(wú)關(guān)設(shè)的特解

33、滿(mǎn)足求0)0()0(2sin4. 3 yyxexyyx;cos2*,02,0242,sin4cos2sin2sin4 cos)2(sin)2(*),sincos(*.sincos, 01111212, 12xxyBABAxxBxAxyyxAxBxBxAyxBxAxyxCxCYirr：即此微分方程的特解為，并整理得：代入微分方程，則個(gè)特解為：設(shè)非齊次微分方程的一通解為：故對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解得特征根為：征方程為：對(duì)應(yīng)齊次微分方程的特1102222,e2e )222(e2 ,e )(*2DCDCCxDCCxxyyDCxyxxxx，并整理得：代入微分方程一個(gè)特解為：設(shè)非齊次微分方程的另.e ) 1(cos2sin2cos,