五年級(jí)奧數(shù)講義長(zhǎng)方體和正方體一

1、第13講 長(zhǎng)方體和正方體（一）一、知識(shí)要點(diǎn)在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有許多有關(guān)長(zhǎng)方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)：1.必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來(lái)；2.依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過(guò)割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3.求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過(guò)變形的方法來(lái)解決。二、精講精練【例題1】 一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來(lái)求它的體積，左邊的長(zhǎng)方體體積是10×4×2=80（立方厘米），右邊的長(zhǎng)方體的體積是10

2、15;（62）×2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是80×2=160（立方厘米）；（2）求這個(gè)零件的表面積，看起來(lái)比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。因此，此零件的表面積就是（10×610×42×2）×2=232（平方厘米）。想一想：你還能用別的方法來(lái)計(jì)算它的體積嗎？練習(xí)1：1.一個(gè)長(zhǎng)5厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體，被切去一塊后（如圖），剩下部分的表面積和體積各是多少？2.把一根長(zhǎng)2米的長(zhǎng)方體木料鋸成1米長(zhǎng)的兩段，表面積增加了2平方分米，求這根木料原

3、來(lái)的體積。3.有一個(gè)長(zhǎng)8厘米，寬1厘米，高3厘米的長(zhǎng)方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？【例題2】 有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）【思路導(dǎo)航】（1）先求出長(zhǎng)方體的體積，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一個(gè)孔，所以體積減少了2×2×2=8（立方厘米），這個(gè)零件的體積是2408=232（立方厘米）；（2）長(zhǎng)方體完整的表面積是（8×58×66×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一個(gè)孔，

4、它的表面積減少了一個(gè)（2×2）平方厘米的面，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)（2×2）平方厘米的面，因此，這個(gè)零件的表面積是2362×2×4=252（平方厘米）。練習(xí)2：1.有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。2.有一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的正方體后，剩下物體的體積和表面積各是多少？3.如果把上題中挖下的小正方體粘在另一個(gè)面上（如圖），那么得到的物體的體積和表面積各是多少？【例題3】 一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成了一個(gè)新的長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表

5、面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體拼成新的長(zhǎng)方體，其表面積比原來(lái)的長(zhǎng)方體增加了4塊正方形的面積，每塊正方形的面積是50÷4=12.5（平方厘米）。正方體有6個(gè)這樣的面，所以，原來(lái)正方體的表面積是12.5×6=75（平方厘米）。練習(xí)3：1.把兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體木塊粘成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的和減少了46平方厘米，而長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方體的2倍。如果拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是24厘米，那么它的體積是多少立方厘米？2.一根長(zhǎng)80厘米，寬和高都是12厘米的長(zhǎng)方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體后，它的表面積減少了多少平方厘米？3.把4

6、塊棱長(zhǎng)都是2分米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的表面積最多會(huì)減少多少平方分米？【例題4】 把11塊相同的長(zhǎng)方體磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大長(zhǎng)方體的表面積?！舅悸穼?dǎo)航】要求大長(zhǎng)方體的表面積，必須知道它的長(zhǎng)、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，顯然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，磚的體積是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知，a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12×2=24厘米，寬12厘米，高是83=11厘米，表面積就不難求了。練習(xí)4：1.一塊小正方體的表面積是6

7、平方厘米，那么，由1000個(gè)這樣的小正方體所組成的大正方體的表面積是多少平方厘米？2.一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是385立方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積。3.有24個(gè)正方體，每個(gè)正方體的體積都是1立方厘米，用這些正方體可以拼成幾種不同的長(zhǎng)方體？用圖畫出來(lái)。 【例題5】 一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘為為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積各是多少？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體的前面和上面的面積是長(zhǎng)×寬長(zhǎng)×高=長(zhǎng)×（寬高），由于此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11×19=11×（172），即長(zhǎng)、寬、高分別為11、17、2厘米。知道了長(zhǎng)、寬、高求體積和表面積就容易了。練習(xí)5：1.有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長(zhǎng)、