122空間兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案

1、空間兩條直線的位置關(guān)系祥斯自主導(dǎo)學(xué)理教材自金自洲固"基礎(chǔ)"課標(biāo)解讀1. 會(huì)判斷空間中直線與直線的位置關(guān)系.（重點(diǎn)）2. 能應(yīng)用公理4和等角定理解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題.（難點(diǎn)）3. 了解異面直線所成的角的概念，能借助長(zhǎng)方體模型說(shuō)明異面直線所成的角.（難點(diǎn)）空間中兩條直線的位置關(guān)系問(wèn)題導(dǎo)思11. 同一平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系？分別是什么關(guān)系?【提不】?jī)煞N.分別是平行關(guān)系和相交關(guān)系C2. 觀察長(zhǎng)方體ABCD-ACiDi中，線段&以所在的直線與線段所在的直線在同一個(gè)平面內(nèi)嗎？它們是 什么關(guān)系?【提不在同一個(gè)平面內(nèi)，它們是異面關(guān)系位置關(guān)系一錯(cuò)誤!）.日異疋面專不同在任何一

2、個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)）業(yè)2公理4【問(wèn)題導(dǎo)思】在平面內(nèi)，若a/b, b/c, 則a/c,該結(jié)論在空間中成立嗎？【提示】成立1. 文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相壬U2. 符號(hào)表述：a/b b/c i>ac 等角定理【問(wèn)題導(dǎo)思】觀察長(zhǎng)方體AACA-ABCD,/玖4出1與/DAB的兩邊分別具有什么關(guān)系，兩角大 小關(guān)系如何?【提示】ZDiAiBi與ZDAB的兩邊分別平行且方向相同，兩角大小相等 .如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等 .i,.4異面直殘苗利克及異面直皺所成的箱L異面賣線的判定異面直線.(1) 判定定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這

3、個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是(2) 符號(hào)表示：若If扉a, BWa, B虬則直線48與/是異面直線.2. 異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn) 0,作直線a' /a, b' b,我們把直線a'和所成的銳角(或直角)叫做異面直線a, 所成的角.(2)異面直線所成的角。的取值范圍：0。6*人90(3)若兩條異面直線a,力所成角是直角，就稱異面直線a,力互相垂直.記作a禊t i i.動(dòng)探究捉"知”芥作探究區(qū)*(見(jiàn)學(xué)生用書第14頁(yè))空間中直線的位置關(guān)系a, b, c是三條直線，若a與人異面，與c異面，判斷a與c的位置 關(guān)系，并畫圖說(shuō)明.【思路

4、探究】空間兩條直線有平行、相交、異面三種位置關(guān)系，應(yīng)根據(jù)這三種情況依次作圖.【自主解答】 如圖所示，直線a與c的位置關(guān)系有以下三種情形.直線.a與c的位置可能平行，如圖（1）所示；可能相交，如圖 所示；也可能異面，如 圖所示.I規(guī)律方法I1. 判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用公理4判斷.2. 判定兩條直線是異面直線有定義法、定理和排除法，由于使用定義法不方便，故常用定理和排除法.A變宜訓(xùn)1練異面直線指的是. 空間中兩條不相交的直線； 分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線； 平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線； 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.【解析】空間不相交

5、的兩直線可能平行或異面，故不正確;如圖，a、b雖分別在兩個(gè)平面內(nèi)，但位置關(guān)系有相交、平行或異面三種可能，故不正確;正確.【答東】ZMCN.AQBK為平行 四邊形一得出 AQ/公理4及等角定理的應(yīng)用在正方體 ABCD-AxBxCxD中,P、。、M N 分別為血）、AB. CQi、31G 的中點(diǎn)，求證：APCN, AiQ/CM,【思路探究】取4用的中點(diǎn)K 一證明MKB（為平行四邊形一證明CM 同理可證 ArP/ CW 證明 ZPAQ= ZMCN.Di M【自主解答】 取力鑿1的中點(diǎn)K,連結(jié)BK KM易知四邊形MKB為平行四邊形:.CM/BK,又？:AK BQ且 AK=BQ,.?四邊形AyKBC為平

6、行四邊形，:? AQ BK,由公理 4 有 AQ CM,同理可證A1P/CN,由于/R41Q與ZMCN寸應(yīng)邊分別平行，且方向相反:.ZR4 Q=ZMCN,I規(guī)律方法I有公共點(diǎn);1. 空間兩條直線平行的證明：定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)利用公理4 :找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行.2. 證明有關(guān)角相等問(wèn)題，一般采用下面三種途徑：(1) 利用等角定理及其推論；(2) 利用三角形相似；(3) 利用三角形全等.本例是通過(guò)第一種途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)的，請(qǐng)同學(xué)們考慮利用第三種途徑予以證明.A變宜訓(xùn)1練圖 1 一 2 15已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCAACiD1中，M, N分別是棱CD、4

7、0的中點(diǎn).求證：四邊形 必1。是梯形；(2)求證：ZDNM= ZDiAiCi.【證明】(1)如圖，連結(jié)/在厶/(? £中,，:M、N分別是8、AD的中點(diǎn)，:.MN是三角形的中位線，:.MN/AC, MN=、AC.由正方體的性質(zhì)得AC/AiCi, ACAAiCi.:.MN AC,且 MN=AXCi,即MN手AM,四邊形MNArCi是梯形.(2)由可知 MN/A1S,又因?yàn)镹D/AD,/DNM與匕。兩iG的兩邊方向相同，/DNM= ZDrAiCi.kfe理勘a異面直線所成的角Cl例的角的角.如圖1-2-16,在正方體ABCA"iDi中，求下列異面直線所成WAAi 與 BC(2W

8、i 與 A.B-,(3)&3 與 0C.Z平移異面直線-A共面直線正方體的性質(zhì)/或解三角形“求角自主解答】（y : ABCD-AxByCiD為正方體，:.AAi/ZBBi,又 BB3C,:.AAABC,:.AAi與BC所成的角為90°.又DtD/A xa,在正方形 A 中，ZB&/ = 45 ° 故DD與ArB所成的角為45°.詼CiC,四邊形AAACCi為平行四邊形，:.AiQ/ZAC.在 MBCi 中，AiB=BCi=AiCi,:.N&4iG = 60. °故AiB與AC所成的角為60°.I規(guī)律方法I1. 求兩條異面

9、直線所成角的關(guān)鍵是作岀異面直線所成的角，作兩條異面直線所成角的方法是：將其中一條平移到某個(gè)位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時(shí)平移到某個(gè)位置使它們相交.2. 對(duì)于平移點(diǎn)的選取，為了方便計(jì)算，該點(diǎn)常選在兩條異面直線中的一條直線上，如A互訓(xùn)探音若E, F分別為4B, / £>的中點(diǎn)，求/ £>i與欣所成的角【解】 如圖，連緯BD, DxBA DDABBi,知四邊形BBDD是平行四邊形.又由時(shí)是的中位線，知EF BD,故EFBD.于是4D1與BiDi所成的銳角或直角就是 4D1與EF所成的角.連結(jié)481,由481=401=0囪,知/XABiDi是正三角形，故/

10、>1角=60°即ND與時(shí)所成的角為60°以獨(dú)方法技巧理思路研題悟法有"扶巧”（見(jiàn)學(xué)生用書第15頁(yè)）異面直線所成角的求法A典例（14分）正方體/G中，E、F分別是4幻、3G的中點(diǎn)，求異面直線Z） 3i與時(shí)所成角的大小.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成角的求法，關(guān)鍵是作岀異面直線所成的角.根據(jù)定義作岀角，即可求解.【規(guī)范解答】 法一如圖，連結(jié)OG, BD,并設(shè)它們相交于點(diǎn)。，取的中點(diǎn)G,連結(jié)。G.則 OG， D, EF/4?.:.ZG04i為異面直線DBi與EF所成的角或其補(bǔ)角.7分'GAi = GCi,。為 &G 的中點(diǎn)，GOtAiC.?.

11、異面直線£向與E尸所成的角為90°. 14分法二 如圖，連結(jié) AiD,取的中點(diǎn)H,連結(jié)HE,則HE喑DBi.:.ZHEF為所求異面直線與時(shí)所成的角或其補(bǔ)角.7分連結(jié) *,設(shè) 441 = 1,則 EF=M HE=T, 取/iDi的中點(diǎn)/,連結(jié)IF, IH,則HI-LIF.:.HF-AHI 2+IF- = §.I HF=EF+HE:.ZHEF=90°, .?.異面直線 DB與EF所成的角為90°.14分法三 分別取44i, CG的中點(diǎn)N,連結(jié)MV,則枷時(shí).如圖所示.連結(jié) ZW, BN,則 BN 嵌 DM,四邊形DMBiN為平行四邊形，:.MN與DB

12、i必相交，設(shè)交點(diǎn)為 P.ZDPM為異面直線£ 向與EF所成的角或其補(bǔ)角.7分、位 53設(shè) A A i= 1,則 M 2 , DM 2 , DP= ?:.DAfPP2+Mp :. ZDPMA90 ° , :.DBAEF.?.異面直線Z)Bi與E尸所成的角為90°.14分法四 在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體，連結(jié)角0則BQ/EF,如圖.直線與務(wù)。所成的較小的角就是異面直線與EF所成的角.7分 通過(guò)計(jì)算，不難得到:5ID2+5IQ2=£>22,.?.異面直線與EF所成的角為90。.14分思維啟迪1. 求兩條異面直線所成角的步驟：(1) 恰當(dāng)選點(diǎn)，用

13、平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角 .(2) 證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角).度數(shù).岀的角是鈍(3) 把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過(guò)解三角形求出所構(gòu)造的角的(4) 給出結(jié)論：若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求角，則它的補(bǔ)角才是兩條異面直線所成的角.2. 構(gòu)造異面直線所成角的方法有：平移法；補(bǔ)形法(如解法四).1. 空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面，其中前兩種是共面關(guān)系，對(duì) 的判定是本節(jié)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，應(yīng)從定義、定理等角度學(xué)會(huì)判別2. 公理4描述了直線平行關(guān)系的傳遞性，這種傳遞關(guān)系不受平面、空間的限制，也不 的限制.3. 求異面直線所成角的過(guò)

14、程實(shí)質(zhì)上是把空間問(wèn)題平面化的過(guò)程，其關(guān)鍵是利用“平移”“等角定理”作岀異面直線所成的角.陡堂統(tǒng)主生，互動(dòng)達(dá)“雙標(biāo)當(dāng)專雙基達(dá)標(biāo)于異面直線受直線條數(shù)的思想及交流學(xué)習(xí)區(qū)4（見(jiàn)學(xué)生用書第16頁(yè)）1.如圖1 2-17，是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與441異面的棱有與/并面的立線芥舟U BiG. 6、共4軌2. “a、b為異面直線"是指：?anz? = 0,且a不平行于3； a" bU$,且小 3 = 0 ； a" bU$，且 an/=0 ； aUa, b(ta ； 不存在平面a能使aUa, bUa成立其中正確結(jié)論的序號(hào)是.【解析】如圖，借助正方體，設(shè)上底面為a,下底面為則

15、a/3.又令aUa, bug,且a/b,則v / 口月=0,可知均錯(cuò)誤，再利用異面直線的概念，可知正確.【答案】|創(chuàng) 12183若正方體ABCD-AiBrCiDr中，ZBAE=25則異面直線4E與角。所成的角的大 小為?【解析】?:BCCABi為正方形，:.BCV/BC,.?.異面直線/ £與BiG所成的角即為ZAEB.又在 ZUBE 中, ZEB4=90 , /E4B=25 ° ,所以 QEB=90 25° =65°.【答案】65【解】如圖取BBi的中點(diǎn)G,連結(jié)GG、GE.,:F為CCi的中點(diǎn)，：.BG毓GF.四邊形 BGCF為平行四邊形，：.BF 嵌

16、 GJ ' : EGAAB, AtBrACADi, :.EG 嵌 Di&.四邊形EGCiDi為平行四邊形:.EDAGCi, :.BFAEGi.果后知能檢測(cè)課下測(cè)自我評(píng)估換”考敢”碧苫半/I IA. （見(jiàn)學(xué)生用書第87頁(yè)）、填空題1.（ 2013-臨沂檢測(cè)）若空間兩條直線 a和人沒(méi)有公共點(diǎn)，則 a與人的位置關(guān)系是【解析】 若兩條直線a和力沒(méi)有公共點(diǎn)，則 a與3的位置關(guān)系是平行或異面.【答案】平行或異面2.（ 2013-南京檢測(cè)）在三棱錐的所有棱中，互為異面直線的有對(duì).【解析】 如圖,AB與 C£異面，BC與異面，/C與異面.【答案】33.已知角a的兩邊和角p的兩邊分別平

17、行且 a=80。，則/3=.【解析】由等角定理可知，a=8或 a+/?=180° .耶=80°或100°【答案】80 o或100°4.已知正方體ABCD-ABXD,E、尸分別為441、CG的中點(diǎn).求證：BF/EDi.fl4.（2013-鄭州檢測(cè)）如圖1 2 19在三棱錐A-BCD中，E、F是棱4D上互異的兩點(diǎn)，G、H是棱上互異的兩點(diǎn)，由圖可知?AB與 CD互為異面直線； 尸H分別與OC、互為異面直線； EG與尸H互為異面直線； EG與互為異面直線.其中敘述正確的有.（填序號(hào)）【解析】由異面直線的定義及異面直線的判定可知均正確【答案】5.（2013-揚(yáng)州檢

18、測(cè)）正方體如CD中，與對(duì)角線刀。異面的棱有【解析】由圖可知，與對(duì)角線/G異面的棱有 BBI、DD、&B1、AtDt，BC CD,【答案】66.給出下列四個(gè)說(shuō)法: 在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行； 平行于同一條直線的兩條直線平行； 一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交； 空間四條直線 a, b, c, d,如果a/b, c/d, 且a/d,那么b/c.其中正確的是.【解析】在空間中兩條直線不相交，它們不一定平行，也可能是異面，錯(cuò)；錯(cuò)，因?yàn)樗部赡芘c另一條異面；由平行公理知，正確.【答案】圖 1 2207.如圖1 2 20正方體ABCD-AiBi3中，E、F

19、分別是棱GC與的中點(diǎn)，_則 直線EF與直線DXC所成的角的大小是.【解析】連結(jié)BG, &B. EF, AB CD,則AAxBG即為E尸與"C所成的角.又 I Z41BC1 為 60°直線EF與DC所成的角為60°【答案】60°8.如圖1 2 21所示，P, Q, R, S分別為正方體四條棱的中點(diǎn)，則PQ與RS是異面直線的為【解析】由正方體的性質(zhì)可知：中 PQ/RS,中PQ/RS,中RS與FQ相交.只 有中PQ與RS既不平行也不相交，故合題意【答案】、解答題圖 1 2229. 如圖1 2-22所示，48是圓。的直徑，點(diǎn) C是弧48的中點(diǎn)，D E分別是既、TC的中點(diǎn),求異面直線DE與A8所成的角.【解】 因?yàn)镈 E分別是E8、以7的中點(diǎn)，所以BC/DE,因此匕/BC是異面直線 QE與所成的角, 又因?yàn)槭菆A。的直徑，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，所以 48C是以匕/CB為直角的等腰直角三角形，于是Z4BC=45 ,