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文檔簡介

1、【題型示例】計算:f(x|wq(x)商式的極限運算px=a0xmma1xam、q(x)=b0xn+bixnbn(特別地,當(dāng)limU-xigx0(不定型)時,通常分x3x-3=lim,xx3x-3x2-911-=limx32x6高等數(shù)學(xué)(本科少學(xué)時類型)第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)。函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識)()。鄰域(去心鄰域)()第二節(jié)數(shù)列的極限。數(shù)列極限的證明()【題型示例】已知數(shù)列xn,證明lim-xn=ax.【證明本例】名-N語言1.由Xn-ag(君)N-lig;2,即對vs0,:3N=g(8)1。當(dāng)naN時,始終有不等式xn-a|君成立,limlxnJ=axJ二二第三節(jié)函數(shù)的極限

2、Oxtx0時函數(shù)極限的證明()【題型示例】已知函數(shù)f(x),證明limf(x)=Ajx【證明本例】86語言1 .由f(x)A名化簡得0,-|0,m6=g(3),當(dāng)0|xx06時,始終有不等式f(xAE成立,limfx=Ax的Oxts時函數(shù)極限的證明()【題型示例】已知函數(shù)f(x),證明limf(x)=Ax.【證明示例】名-X語言2 .由f(x)Ag(z),X=g;3 .即對Vea0,三X=g(君),當(dāng)xX時,始終有不等式“乂)-人g(x)=0)第五節(jié)極限運算法則。極限的四則運算法則()(定理一)加減法則(定理二)乘除法則關(guān)于多項式p(x卜n:mTq(x)b00子分母約去公因式即約去可去間斷點便

3、可求解出極限值,也可以用羅比達(dá)法則求解)x-3【題型示例】求值lim與士x)3x2-9【求解示例】解:因為xT3,從而可得x03,所以原lim券=limx3x29x)3.一,,x-3其中x=3為函數(shù)f(x)=T3的可去間斷點x2-9倘若運用羅比達(dá)法則求解(詳見第三章第二節(jié))0x-30解:lim2=limx3x29Lx3。連續(xù)函數(shù)穿越定理(復(fù)合函數(shù)的極限求解)()(定理五)若函數(shù)f(x)是定義域上的連續(xù)函數(shù),那么,的f產(chǎn)x二f敗:x【題型示例】求值:lim,x-3x2-9【求解示例】lim,x,-3x)3,x2-9x-3limx)3x2-91.66一6第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限。夾迫準(zhǔn)則(

4、P53)()第一個重要極限:iimsn)=1xQxVxW0,-i,工2Jsinx/sinxxtanx.lim=1x#x擇數(shù)a,使得f(x)成為在R上的連續(xù)函數(shù)?【求解示例】f0-=e20-=e1=e1 f0+戶a+0+=af10=a2 .由連續(xù)函數(shù)定義limf(x)=limj(x)=f(0)=ex_0-x0-,a=e第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。零點定理()【題型示例】證明:方程f(x)=g(x)+C至少有一個根介于a與b之間【證明示例】(特別地,limSn=i)x及x-x0。單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則(P57)()1.(建立輔助函數(shù))函數(shù)平(x戶f(x)-g(x)-C在閉區(qū)間la,b上連續(xù);第二個重要

5、極限:limi1=ex1.、x(一般地,limf(x0喳)=limf(x9?),其中l(wèi)imf(x)0),,2x+3尹【題型示例】求值:lim三一xB12x+1J【求解示例】第七節(jié)無窮小量的階(無窮小的比較)。等價無窮?。ǎ︰sinUtanUarcsinUarctanUln(1U)1Ue-12 .邛(a)邛(b)0(端點異號)3 .,由零點定理,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點-,使得以巴)=0,即f(X)g匕)=0(0d)4 .這等式說明方程f(x)=g(x)+C在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個根第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念122U1-cosU2(乘除可替,加減不行)【題型示例】求值:lim1n

6、1xxln1Xx0x23x【求解示例】第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)連續(xù)的定義()。間斷點的分類(P67)()。高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(P83)()xx.ex+1x0.處可導(dǎo),求a,b【求解示例】0f0-=e1=e1=21“u0產(chǎn)e=1Lf.0=af0_bf0=e01=2f0;=f.0;=a=12,由函數(shù)可導(dǎo)定義士一一M二f0-f0:f0):=b=2a=1,b=2第一類間斷點(左右極限存在)跳越間斷點(不等)國去間斷點(相等)第二類間斷點【題型示例】求y=f(x而x=a處的切線與法線方程(或:過y=f(x)圖像上點一a,f(a)處的切線與法線方程)【求解示例】無窮間斷點(極限為(特別地,可去

7、間斷點能在分式中約去相應(yīng)公因式)【題型示例】設(shè)函數(shù)f(x)=2xex:0,x0應(yīng)該怎樣選x-01.y=f(x),y|x=f(a)2.切線方程:y-f(a)=f(ax-a)法線方程:y_fax-afa2 .函數(shù)積的求導(dǎo)法則(定理二):(uv)=uvuv3 .函數(shù)商的求導(dǎo)法則(定理三)uuv-uv【題型示例】求函數(shù)【求解示例】由題可得f彳X)的導(dǎo)數(shù)f(x)為直接函數(shù),其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo),且(x)#0;.f(x)=1-y1-e,切線方程:法線方程:【題型示例】設(shè)參數(shù)方程x=W求嗎j=飛)dx第二節(jié)函數(shù)的和(差)、積與商的求導(dǎo)法則。函數(shù)和(差)、積與商的求導(dǎo)法則()1.線性組合(定理一):(otu

8、0v)1r=au+Pv特別地,當(dāng)a=P=1時,有(uv),=uv第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。反函數(shù)的求導(dǎo)法則()。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則()【題型示例】設(shè)y=in(earcsin“F+k7),求y【求解示例】第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)。仆x)=心X)y(或答7隼)()-dx|dx【題型示例】求函數(shù)y=ln(1+x)的n階導(dǎo)數(shù)【求解示例】y,=(1+x廣,1xy,,-卜1x,=-11x,第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的求導(dǎo)(等式兩邊對x求導(dǎo))()【題型示例】試求:方程y=x+ey所給定的曲線C:y=y(x狂點(1-e,1)的切線方程與法線方程【求解示例】由y=x+ey兩邊對x求導(dǎo)即y=x+(e

9、y)化簡得y=1+ey-y1-e1y1二x-1e1-eyT=-1-ex_1e。參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo),dy、,,2【求解示例】1.曳=)2口=宜工1dx:tdxt第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率(不作要求)第七節(jié)函數(shù)的微分?;境醯群瘮?shù)微分公式與微分運算法則()第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理。引理(費馬引理)()。羅爾定理()【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f(x)在10,n上連續(xù),在(0團)上可導(dǎo),試證明:=(0,Ji),使得f.)cost+格jsint=0成立【證明示例】1 .(建立輔助函數(shù))令中(x)=f(x)sinx顯然函數(shù)中(x/閉區(qū)間0尸上連續(xù),在開區(qū)間(0,冗)上可導(dǎo);2 .又.0

10、)=f0sin0=0即0-:-03 .,由羅爾定理知30(0平),使得f(上)cos-+fJsin2=0成立。拉格朗日中值定理()【題型示例】證明不等式:當(dāng)x1時,exex【證明示例】1 .(建立輔助函數(shù))令函數(shù)f(x)=ex,則對Vx1,顯然函數(shù)f(x)在閉區(qū)間1,x上連續(xù),在開區(qū)間(1,x)上可導(dǎo),并且f(x)=ex;2 .由拉格朗日中值定理可得,三tWl1,xl使得等式x1,、e-e=(x-1)e成立,1x11又ee,e-ex-1e二ex-e,化簡得exex,即證得:當(dāng)x1時,exex【題型示例】證明不等式:當(dāng)x0時,ln(1+x)0,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間b,x】上連續(xù),在開區(qū)1間(0,

11、五)上可導(dǎo),并且f(x)=;1 x2 .由拉格朗日中值定理可得,wb,x使得等式1一ln(1+xln(1+0)=(x一0)成乂,1.,化簡得ln(1十x=x,又=30,x,1tanx【題型示例】求值:lim-J0xf=1,ln(1十x)1時,第二節(jié)羅比達(dá)法則。運用羅比達(dá)法則進行極限運算的基本步驟()1 ,等價無窮小的替換(以簡化運算)2 .判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達(dá)法則的三個前提條件A.屬于兩大基本不定型(一,二)且滿足條件,0二則進行運算:lim5=limx)agxigx(再進行1、2步驟,反復(fù)直到結(jié)果得出)B.不屬于兩大基本不定型(轉(zhuǎn)化為基本不定型)0二型(轉(zhuǎn)乘為除,構(gòu)造

12、分式)【題型示例】求值:limxlnxx0【求解示例】(一般地,lxa0時,【證明示例】1.(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè)中(乂)=exx1ex-x-1,(x0)00型(對數(shù)求極限法)【題型示例】求值:limxxx0【求解示例】解:設(shè)丫=xx,兩邊取對數(shù)得:lny=lnxlnx=xlnx=-一x對對數(shù)取x-0時的極限:limlny=lim1nx=lim-x0x01Lx0/-1xx1=lim-x012_x產(chǎn)型-Timx=0,從而有l(wèi)imy=limenyx0x0x0(對數(shù)求極限法)1【題型示例】求值:limcosxsinxxx0【求解示例】8型(對數(shù)求極限法)limIny=eT=e=12,*0,(x0);:x

13、廣;0=03.既證:當(dāng)x0時,exx+1【題型示例】證明:當(dāng)x0時,ln(1+x)0).1一2.*(x)=-10時,ln(1+x)x。連續(xù)函數(shù)凹凸性()【題型示例】試討論函數(shù)y=1+3x2-x3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】y=-3x26x=-3xx-21jy-6x6-6x-1y-Wxx-2=02y=-6x-1=0Xi=0,Xo=2解得:x1,2x=1一.一2一fx=-3x32.令f(x)=3(x1;(x+1)=0,3.(四行表)/解得:x1-1,Xo=13.(三行表)極小值極大值4.函數(shù)y=1+3x2-x3單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-二,0),(2,:);

14、23函數(shù)y=1+3x-x的極小值在x=0時取到,為f(0)=1,極大值在x=2時取到,為f(2)=5;函數(shù)y=1+3x2x3在區(qū)間(,0),(0,1)上凹,在區(qū)間(1,2),(2,七)上凸;23.函數(shù)y=1+3x-x的拐點坐標(biāo)為(1,3)第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值。函數(shù)的極值與最值的關(guān)系()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果三xM的某個鄰4.又.f1)=2,f(1)=2,f(3)=18域U(xm產(chǎn)D,使得對VxeU(Xm),都適合不等式f(x)dx成立,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理:()如果函數(shù)f(x)在定義區(qū)間I上連續(xù),則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得F(x)=f(x

15、),也就是說:連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù))不定積分的概念()在定義區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項C的原函數(shù)稱為f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分,U(xmD,使得對Vx=U(Xm),都適合不等式f(x)f(Xm),我們則稱函數(shù)f(x成點m,f(xm)處有極小值f(Xm);令xm,xm1,xm2,Xm3,,Xmn則函數(shù)f(x昨閉區(qū)間la,b】上的最小值m滿足:m=minf(a)Xm1,Xm2,Xm3,.,Xmn,f(b;【題型示例】求函數(shù)f(x)=3x-x3在-1,3上的最值【求解示例】1.函數(shù)f(x而其定義域-1,3上連續(xù),且可導(dǎo)即表示為:fxdx=FxC(J稱為積分號,f(x)

16、稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為積分表達(dá)式,x則稱為積分變量)。基本積分表()。不定積分的線性性質(zhì)(分項積分公式)()第二節(jié)換元積分法。第一類換元法(湊微分)()(dy=fX卜dx的逆向應(yīng)用).,1【題型小例】求*dxax【求解示例】解:dxaxTdx=a1a1dz二12aarctanxCna=一一mMiNl由待定系N21【題型小例】求1dx,2x1【求解示例】。第二類換元法(去根式)()(dy=f(x)dx的正向應(yīng)用)對于一次根式(a#0,bwR):Jax+b:令t=Jax+b,于是x=,a則原式可化為t對于根號下平方和的形式(a0):22Va+x:令x=atant(一t0):工a. 7a-x

17、:ax=asint(t一),22x于是t=arcsin一,則原式可化為acost;ab. Vx2-a2:令x=asect(0t二),2a于是t=arccos一,則原式可化為atant;x1【題型小例】求fIdx(一次根式).2x1【求解示例】解:fdx1tdt=f出=t+C=J2x+1+C2x1x建弓tdx4dt【題型示例】求fx/a2-x2dx(三角換元)【求解示例】第三節(jié)分部積分法。分部積分法()設(shè)函數(shù)u=f(x),v=g(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則其分部積分公式可表示為:udv=uv-vdu分部積分法函數(shù)排序次序:“反、對、哥、三、指”。運用分部積分法計算不定積分的基本步驟:遵照分部積分法函數(shù)

18、排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序;就近湊微分:(vdx=dv)使用分部積分公式:udv=uv-vdu展開尾項vdu=vudx,判斷a.若Jvudx是容易求解的不定積分,則直接計算出答案(容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果);b.若fv,udx依舊是相當(dāng)復(fù)雜,無法通過a中方法求解的不定積分,則重復(fù)、,直至出現(xiàn)容易求解的不定積分;若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán),則聯(lián)立方程求解,但是最后要注意添上常數(shù)C【題型示例】求exx2dx【求解示例】【題型示例】求exsinxdx【求解示例】x1x-esinxdx=-esinx-cosx廠C第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分。有理函數(shù)()、Pxpx=axmaxm

19、am設(shè):7-=內(nèi)Qxqx=b0xbx:bn對于有理函數(shù)E0),當(dāng)P(x)的次數(shù)小于Q(x)的Qx次數(shù)時,有理函數(shù)以兇是真分式;當(dāng)P(x)的次數(shù)Qx大于Q(x)的次數(shù)時,有理函數(shù)以有是假分式Qx。有理函數(shù)(真分式)不定積分的求解思路()將有理函數(shù)Px,的分母Q(x)分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積:其中一個多項式可以表示k為一次因式(x-a);而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式(x2+px+q),(p24q,.,AkJNi數(shù)法(比較法)求出得到分拆式后分項積分即可求解2【題型示例】求fdx(構(gòu)造法)x1【求解示例】第五節(jié)積分表的使用(不作要求)第五章定積分極其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)。定積分的定義()(f(x和為被積函數(shù),f(xjdx稱為被積表達(dá)式,x則稱為積分變量,a稱為積分下限,b稱為積分上限,la,b1稱為積分區(qū)間)。定積分的性質(zhì)()bbafxdx=afuduaafxdx=0bbaIkxdx=kafxdx(線性性質(zhì))(積分區(qū)間的可加性)若函數(shù)f(xW積分區(qū)間la,b上滿足f(x)A0,b則ff(xdx0;a(推論一)若函數(shù)f(x)、函數(shù)g(x次積分區(qū)間a,b上滿bb足f(x)g(x),貝ULf(xdxMLg(xdx;bb(推論二)ff(xdxEff(x)dx-a+a。積分中值定理

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