大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料【全】

1、【題型示例】計算:f(x|wq(x)商式的極限運算px=a0xmma1xam、q(x)=b0xn+bixnbn(特別地，當(dāng)limU-xigx0(不定型)時，通常分x3x-3=lim，xx3x-3x2-911-=limx32x6高等數(shù)學(xué)(本科少學(xué)時類型)第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)。函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識)()。鄰域(去心鄰域)()第二節(jié)數(shù)列的極限。數(shù)列極限的證明()【題型示例】已知數(shù)列xn,證明lim-xn=ax.【證明本例】名-N語言1.由Xn-ag(君)N-lig；2,即對vs0,：3N=g(8)1。當(dāng)naN時，始終有不等式xn-a|君成立，limlxnJ=axJ二二第三節(jié)函數(shù)的極限

2、Oxtx0時函數(shù)極限的證明()【題型示例】已知函數(shù)f(x),證明limf(x)=Ajx【證明本例】86語言1 .由f(x)A名化簡得0,-|0,m6=g(3),當(dāng)0|xx06時，始終有不等式f(xAE成立，limfx=Ax的Oxts時函數(shù)極限的證明()【題型示例】已知函數(shù)f(x),證明limf(x)=Ax.【證明示例】名-X語言2 .由f(x)Ag(z),X=g；3 .即對Vea0,三X=g(君)，當(dāng)xX時，始終有不等式“乂)-人g(x)=0)第五節(jié)極限運算法則。極限的四則運算法則()(定理一)加減法則(定理二)乘除法則關(guān)于多項式p(x卜n:mTq(x)b00子分母約去公因式即約去可去間斷點便

3、可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解)x-3【題型示例】求值lim與士x)3x2-9【求解示例】解：因為xT3,從而可得x03,所以原lim券=limx3x29x)3.一，,x-3其中x=3為函數(shù)f(x)=T3的可去間斷點x2-9倘若運用羅比達(dá)法則求解(詳見第三章第二節(jié))0x-30解：lim2=limx3x29Lx3。連續(xù)函數(shù)穿越定理(復(fù)合函數(shù)的極限求解)()（定理五）若函數(shù)f（x）是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么,的f產(chǎn)x二f敗：x【題型示例】求值：lim,x-3x2-9【求解示例】lim,x,-3x)3,x2-9x-3limx)3x2-91.66一6第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限。夾迫準(zhǔn)則（

4、P53）（）第一個重要極限：iimsn）=1xQxVxW0,-i,工2Jsinx/sinxxtanx.lim=1x#x擇數(shù)a,使得f（x）成為在R上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】f0-=e20-=e1=e1 f0+戶a+0+=af10=a2 .由連續(xù)函數(shù)定義limf（x）=limj（x）=f（0）=ex_0-x0-，a=e第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。零點定理（）【題型示例】證明：方程f（x）=g（x）+C至少有一個根介于a與b之間【證明示例】（特別地，limSn=i）x及x-x0。單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57）（）1.（建立輔助函數(shù)）函數(shù)平（x戶f（x）-g（x）-C在閉區(qū)間la,b上連續(xù)；第二個重要

5、極限：limi1=ex1.、x（一般地,limf（x0喳）=limf（x9?）,其中l(wèi)imf（x）0）,，2x+3尹【題型示例】求值：lim三一xB12x+1J【求解示例】第七節(jié)無窮小量的階（無窮小的比較）。等價無窮?。ǎ︰sinUtanUarcsinUarctanUln（1U）1Ue-12 .邛（a）邛（b）0（端點異號）3 .，由零點定理，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點-,使得以巴）=0,即f（X）g匕）=0（0d）4 .這等式說明方程f（x）=g（x）+C在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一個根第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念122U1-cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：lim1n

6、1xxln1Xx0x23x【求解示例】第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)連續(xù)的定義（）。間斷點的分類（P67）（）。高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義(P83)()xx.ex+1x0.處可導(dǎo)，求a,b【求解示例】0f0-=e1=e1=21“u0產(chǎn)e=1Lf.0=af0_bf0=e01=2f0；=f.0；=a=12,由函數(shù)可導(dǎo)定義士一一M二f0-f0：f0)：=b=2a=1,b=2第一類間斷點（左右極限存在）跳越間斷點（不等）國去間斷點（相等）第二類間斷點【題型示例】求y=f（x而x=a處的切線與法線方程（或：過y=f（x）圖像上點一a,f（a）處的切線與法線方程）【求解示例】無窮間斷點（極限為（特別地，可去

7、間斷點能在分式中約去相應(yīng)公因式）【題型示例】設(shè)函數(shù)f（x）=2xex:0,x0應(yīng)該怎樣選x-01.y=f(x),y|x=f(a)2.切線方程：y-f(a)=f(ax-a)法線方程：y_fax-afa2 .函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）:(uv)=uvuv3 .函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）uuv-uv【題型示例】求函數(shù)【求解示例】由題可得f彳X）的導(dǎo)數(shù)f（x）為直接函數(shù)，其在定于域上單調(diào)、可導(dǎo)，且(x)#0；.f(x)=1-y1-e，切線方程:法線方程:【題型示例】設(shè)參數(shù)方程x=W求嗎j=飛）dx第二節(jié)函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則。函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）1.線性組合（定理一）：（otu

8、0v）1r=au+Pv特別地，當(dāng)a=P=1時，有（uv），=uv第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（）【題型示例】設(shè)y=in（earcsin“F+k7），求y【求解示例】第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)。仆x）=心X）y（或答7隼）（）-dx|dx【題型示例】求函數(shù)y=ln（1+x）的n階導(dǎo)數(shù)【求解示例】y，=（1+x廣，1xy,，-卜1x,=-11x,第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對x求導(dǎo)）（）【題型示例】試求：方程y=x+ey所給定的曲線C:y=y（x狂點（1-e,1）的切線方程與法線方程【求解示例】由y=x+ey兩邊對x求導(dǎo)即y=x+(e

9、y)化簡得y=1+ey-y1-e1y1二x-1e1-eyT=-1-ex_1e。參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo),dy、,，2【求解示例】1.曳=）2口=宜工1dx:tdxt第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分?；境醯群瘮?shù)微分公式與微分運算法則（）第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理。引理（費馬引理）（）。羅爾定理（）【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f（x）在10,n上連續(xù)，在（0團）上可導(dǎo)，試證明：=（0,Ji）,使得f.）cost+格jsint=0成立【證明示例】1 .（建立輔助函數(shù)）令中（x）=f（x）sinx顯然函數(shù)中（x/閉區(qū)間0尸上連續(xù)，在開區(qū)間（0,冗）上可導(dǎo)；2 .又.0

10、）=f0sin0=0即0-：-03 .，由羅爾定理知30（0平），使得f（上）cos-+fJsin2=0成立。拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當(dāng)x1時，exex【證明示例】1 .（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f（x）=ex,則對Vx1,顯然函數(shù)f（x）在閉區(qū)間1,x上連續(xù)，在開區(qū)間（1,x）上可導(dǎo)，并且f（x）=ex；2 .由拉格朗日中值定理可得，三tWl1,xl使得等式x1,、e-e=（x-1）e成立，1x11又ee,e-ex-1e二ex-e,化簡得exex,即證得：當(dāng)x1時，exex【題型示例】證明不等式：當(dāng)x0時，ln（1+x）0,函數(shù)f（x）在閉區(qū)間b,x】上連續(xù)，在開區(qū)1間（0,

11、五）上可導(dǎo)，并且f（x）=;1 x2 .由拉格朗日中值定理可得，wb,x使得等式1一ln（1+xln（1+0）=（x一0）成乂，1.,化簡得ln(1十x=x,又=30,x,1tanx【題型示例】求值：lim-J0xf=1,ln(1十x)1時,第二節(jié)羅比達(dá)法則。運用羅比達(dá)法則進行極限運算的基本步驟（）1 ,等價無窮小的替換（以簡化運算）2 .判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達(dá)法則的三個前提條件A.屬于兩大基本不定型（一，二）且滿足條件,0二則進行運算：lim5=limx）agxigx（再進行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B.不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）0二型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造

12、分式）【題型示例】求值：limxlnxx0【求解示例】（一般地，lxa0時，【證明示例】1.（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)中（乂）=exx1ex-x-1,(x0)00型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：limxxx0【求解示例】解：設(shè)丫=xx,兩邊取對數(shù)得：lny=lnxlnx=xlnx=-一x對對數(shù)取x-0時的極限：limlny=lim1nx=lim-x0x01Lx0/-1xx1=lim-x012_x產(chǎn)型-Timx=0,從而有l(wèi)imy=limenyx0x0x0（對數(shù)求極限法）1【題型示例】求值：limcosxsinxxx0【求解示例】8型（對數(shù)求極限法）limIny=eT=e=12,*0,（x0）;：x

13、廣；0=03.既證：當(dāng)x0時，exx+1【題型示例】證明：當(dāng)x0時，ln（1+x）0）.1一2.*（x）=-10時，ln（1+x）x。連續(xù)函數(shù)凹凸性（）【題型示例】試討論函數(shù)y=1+3x2-x3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】y=-3x26x=-3xx-21jy-6x6-6x-1y-Wxx-2=02y=-6x-1=0Xi=0,Xo=2解得：x1，2x=1一.一2一fx=-3x32.令f(x)=3(x1；(x+1)=0,3.(四行表)/解得：x1-1,Xo=13.(三行表)極小值極大值4.函數(shù)y=1+3x2-x3單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-二,0),(2,：);

14、23函數(shù)y=1+3x-x的極小值在x=0時取到，為f(0)=1,極大值在x=2時取到，為f(2)=5;函數(shù)y=1+3x2x3在區(qū)間(,0),(0,1)上凹，在區(qū)間(1,2),(2,七)上凸；23.函數(shù)y=1+3x-x的拐點坐標(biāo)為(1,3)第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值。函數(shù)的極值與最值的關(guān)系()設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果三xM的某個鄰4.又.f1)=2,f(1)=2,f(3)=18域U(xm產(chǎn)D,使得對VxeU(Xm),都適合不等式f(x)dx成立,則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：()如果函數(shù)f(x)在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)使得F(x)=f(x

15、),也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù))不定積分的概念()在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項C的原函數(shù)稱為f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分,U(xmD,使得對Vx=U(Xm),都適合不等式f(x)f(Xm),我們則稱函數(shù)f(x成點m,f(xm)處有極小值f(Xm)；令xm,xm1,xm2,Xm3，,Xmn則函數(shù)f(x昨閉區(qū)間la,b】上的最小值m滿足:m=minf(a)Xm1,Xm2,Xm3,.,Xmn,f(b；【題型示例】求函數(shù)f(x)=3x-x3在-1,3上的最值【求解示例】1.函數(shù)f(x而其定義域-1,3上連續(xù)，且可導(dǎo)即表示為：fxdx=FxC(J稱為積分號，f(x)

16、稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達(dá)式，x則稱為積分變量)。基本積分表()。不定積分的線性性質(zhì)(分項積分公式)()第二節(jié)換元積分法。第一類換元法(湊微分)()(dy=fX卜dx的逆向應(yīng)用).,1【題型小例】求*dxax【求解示例】解：dxaxTdx=a1a1dz二12aarctanxCna=一一mMiNl由待定系N21【題型小例】求1dx,2x1【求解示例】。第二類換元法（去根式）（）（dy=f（x）dx的正向應(yīng)用）對于一次根式（a#0,bwR）：Jax+b:令t=Jax+b,于是x=,a則原式可化為t對于根號下平方和的形式（a0）：22Va+x:令x=atant（一t0）：工a. 7a-x

17、:ax=asint（t一）,22x于是t=arcsin一,則原式可化為acost;ab. Vx2-a2:令x=asect（0t二），2a于是t=arccos一,則原式可化為atant；x1【題型小例】求fIdx（一次根式）.2x1【求解示例】解：fdx1tdt=f出=t+C=J2x+1+C2x1x建弓tdx4dt【題型示例】求fx/a2-x2dx（三角換元）【求解示例】第三節(jié)分部積分法。分部積分法（）設(shè)函數(shù)u=f（x）,v=g（x）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：udv=uv-vdu分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、哥、三、指”。運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)

18、排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序；就近湊微分：（vdx=dv）使用分部積分公式：udv=uv-vdu展開尾項vdu=vudx,判斷a.若Jvudx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；b.若fv，udx依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)C【題型示例】求exx2dx【求解示例】【題型示例】求exsinxdx【求解示例】x1x-esinxdx=-esinx-cosx廠C第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分。有理函數(shù)（）、Pxpx=axmaxm

19、am設(shè)：7-=內(nèi)Qxqx=b0xbx：bn對于有理函數(shù)E0）,當(dāng)P（x）的次數(shù)小于Q（x）的Qx次數(shù)時，有理函數(shù)以兇是真分式；當(dāng)P（x）的次數(shù)Qx大于Q（x）的次數(shù)時,有理函數(shù)以有是假分式Qx。有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）將有理函數(shù)Px，的分母Q（x）分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示k為一次因式（x-a）；而另一個多項式可以表示為二次質(zhì)因式（x2+px+q）,（p24q,.,AkJNi數(shù)法（比較法）求出得到分拆式后分項積分即可求解2【題型示例】求fdx（構(gòu)造法）x1【求解示例】第五節(jié)積分表的使用(不作要求)第五章定積分極其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)。定積分的定義()(f(x和為被積函數(shù)，f(xjdx稱為被積表達(dá)式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，la,b1稱為積分區(qū)間)。定積分的性質(zhì)()bbafxdx=afuduaafxdx=0bbaIkxdx=kafxdx(線性性質(zhì))(積分區(qū)間的可加性)若函數(shù)f(xW積分區(qū)間la,b上滿足f(x)A0,b則ff(xdx0;a(推論一)若函數(shù)f(x)、函數(shù)g(x次積分區(qū)間a,b上滿bb足f(x)g(x),貝ULf(xdxMLg(xdx；bb(推論二)ff(xdxEff(x)dx-a+a。積分中值定理