對流體力學(xué)歐拉運動方程式的修正

1、第9節(jié)對流體力學(xué)歐拉運動方程式的修正（探討）內(nèi)容提要：本文是探討性的論文。觀念正確如否有待學(xué)界審視及實踐的檢驗。流體力學(xué)的歐拉運動方程式有修正的必要嗎？首先，歐拉運動方程式是在場論只具有散度和旋度的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為背景的產(chǎn)物；其次，人們注意到，航天器在飛行運動中存在一未知的莫銘的力。這個莫銘的力應(yīng)該是歐拉方程尚未慮及的因素造成的。作者在研究超變函數(shù)論過程中揭示了在三維向量場中除了散度、旋度外尚存在一個為目前所未知的副沖量度【見文獻3。我們所提出的修正意見就是從這里切入的，即在考慮存在副沖量度這一因素后，歐拉運動方程式應(yīng)該發(fā)生怎樣的變化。關(guān)鍵詞：理想流體，時變加速度，位變加速度，歐拉運動方程式，副沖量

2、度，沖量力，壓扁的四維空間.分類號：一，現(xiàn)在的歐拉運動方程式見文獻4,第77頁在理想流體場中取出一微小六面體流體微團。微團中心的壓力為P，速度為®x,C0y,COz。微團所受的力有表面力（壓力）和體積力（質(zhì)量力）。六面體各面所受的表面力如下圖所示。體積力為Fx，F(xiàn)y,Fz。設(shè)單位質(zhì)量的的體積力為X,Y,Z,則在x軸方向微團所受的力為dxdxX：dxdydz（二）dydz-（二）dydz：:x2:x2cP=（PX-）dxdydz:x在x軸方向微團產(chǎn)生加速度的運動力為dt:dxdydz【注：其中，總加速度dxx-：x,3.：z：zdt：:tFx：:t：:y：:t：z：:t該式右側(cè)第一項稱

3、為時變加速度；第二、四項總稱為位變加速度?！扛鶕?jù)牛頓第二運動定律，二者應(yīng)相等，即（：X-）dxdydz=-d-：dxdydz；xdt同理可推導(dǎo)y、z軸方向力的平衡，于是得到下式1；：PdxX-二Pfxdt、/1；：pd-yYp：yZ_12p：；zdtdzdt(1)用向量表不，則為其中1s-gradps=iX+jY+kZD-Dt(2)這就是理想流體的運動方程式，又稱歐拉運動方程式二，副沖量度的概念本文將用三維向量場的副沖量度來重新審視歐拉運動方程式.因而，在此簡要介紹副沖量度的概念.現(xiàn)考查流速場A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k=Pi+Qj+Rk的積分:!Ab!

4、9;：dvQP為副法線方向的單位向量。P與切線方向的單位向量方向單位向量n的關(guān)系是以右手法則(按附圖)確定的：t為空間曲線L某點處的切線方向的單位向量；匯是張在曲線的光滑的有向曲面，匯的外側(cè)法線單位向量為no令i=n但因丁與n不一定垂直，所以P1不是單位向量，故取從而使P為副法線方向的單位向量。我們首先來說明上面所給積分的物理意義。當(dāng)A(M)表空間的流速場時，設(shè)流體密度尸=1,則體元dV=dm(dm代表體元dV中的流體質(zhì)量元)?，F(xiàn)設(shè)Ay(i=1,2|Hn是空間G的一個任意分割，則A(Mi)PQM就表示質(zhì)量為m(=小用)的流體在總方向的沖量，記為(i=1,2,Hln)Hi=A(Mi)-iVi總沖

5、量n若該極限存在，則記為H-l|m.Hi于是可知，對流速場而言，HA,Pdv表。中的流體在副法線P方向上的沖量。Q定理：設(shè)空間閉區(qū)域G是由分片光滑的閉曲面2所圍成，又設(shè)L為分段光滑的空間區(qū)域G的界面£上的一條閉曲線，L的正向與£的側(cè)符合右手法則，其中P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面2在內(nèi)的空間區(qū)域C內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對C內(nèi)的向量場A=Pi+Qj+Rk有(3)式fddAAPdv=fI(Q-P)+(R-P)cosacor切l(wèi)l>ycZ一Gd1(P-R)(Q-R)cos.d廣xZ|_7Z(r-q)(P-Q)cos；二x(3)其中d四維空間

6、的“體元”cos%dsd0在yoz平面上的投影cos%d»d»在zox平面上的投影cos%d。ds在xoy平面上的投影并且,dydzdVcos%d。=n口21PliKdLRdzdxdVcos-.,d1=：口2|P1|KdLv,dxdydVcosCd8=工2|*|KdL記，則藝ZillA,:dV=Q:d1|(Q-P)+-(R-P)|cosx9czTQ)Q)(P-R)(Q_R)COSd.fx')z'【注1】以上定理的證明可查文獻3.但請注意(4)式是文獻3相應(yīng)公式的修正.經(jīng)簡單推導(dǎo)，可得dydzcos：.,=1,2225(dydz)(dxdz)(dxdy)2co

7、sdxdz1222S(dydz)(dxdz)(dxdy)2(4)dxdycos產(chǎn)7(dydz)2(dxdz)2(dxdy)22由此得到一個單位向量©0=cosa小+cosPoj+cos.%k,并且可以看出切。的方向余弦與(上述行文中的)1Pli與K無關(guān)?！咀?】定理又給出一類四維空間.其微元1(dydz)2(dxdz)2(dxdy)22dVd,=：2|-11KdL它與伸i|與K有關(guān)【注3】定理左端的積分域Q,應(yīng)視為四維空間域O的“界面”。因此，下面的積分!AJdVQ應(yīng)在積分號上加上個扁圓圈。對(3)式右端使用積分中值定理，可得沖量密度的極限：HIl叫-(Q-P)-(R-P)cos；+

8、心(R-Q)七(P-Q)cos；(*)其中，M為內(nèi)任一點；Aco表缶的容積.上式表明，在給定點處，R的方向指示沖量密度最大的方向。于是有定義：若向量場A=Pi+Qj+Rk中的一點M處存在這樣的向量R,向量場A在點M處的沖量密度為最大，則稱向量R為向量場A在點M處的副沖量度。記作I-dR=vdbiA=(Q-P)-IL-:y-(P-R)i+-(zzr-qY(Q-p)j一-二1(5)+I(P-R)-(R-Q)k且定理3的另一形式為illA:dV=vdbiA*od于是，對三維空間向量場，不單存在著散度divA,旋度rotA，尚存在一個副沖量度vdbiA?！咀?】上述定理最后歸結(jié)為一個四重積分.其積分域

9、是壓扁了的四維空間.因而，我們所說的的沖量密度是四維密度.無論如何，我們只能實測到三維密度.這就涉及到一個非常的概念:維密度的實測現(xiàn)實，逼迫我們將（*）式左端降低一維，這就相當(dāng)于使右端帶有量綱L.從而知，副沖量度vdbiA是帶有量綱L的.對歐拉運動方程式的修改為了與所錄文獻的符號相統(tǒng)一，現(xiàn)將（5）式記為R=vdbi=一(-)fyy(-x-z)i?x(yx)jJ/X£/xI.+至。血）一百降一心k其中，流速場.=xi-、yj+zk注意到副沖量度vdbiA是帶有量綱L的.故可知，在量綱上vdb底的三個分量皆表速度（L）。T據(jù)此，上面圖示的微團在x軸方向又將產(chǎn)生一個附加的加速度的運動力:-

10、z)1idxdydz(6)d(vx)一(dt|LyyFz我們稱其為沖量力根據(jù)牛頓第二運動定律，二者應(yīng)相等，即(X-)dxdydz-xdxdydz：:xdtd.(y一x)一dt_：yy(X-)dxdydz=ex6£(%一%)Pdxdydzcz.dt口上d3c10%xdydz十一I一(切y-0)一4x8z)Pdxdydzdt自cz是，（1）式應(yīng)修改為X-1件Pexd«xdrd/八八、(ydt出方c(SxcZJ-®z)Y1小石百dEyd一口、二十一I-9z-®y)-dtdt出y-(®y漢-0x)1Z-1年P(guān)在d«z.dd,、二，十(0x-°z)-出出|cxC.Mcy-y)用向量表不，則為1.s-gradpDD，一(8)vdbiDtDt其中s=iX+jY+kZ(8)式右端第二項與第一項一樣，也包括時變加速度和位變加速度這兩類加速度這就是修改后的理想流體歐拉運動方程式.參考文獻2008;1于滌塵超變函數(shù)論探討Int.J.Appl.Math.Stat.;Vol.13;No.S08;September95-113ISSN0973-1377(Print),ISSN0973-7545(Online)