自動控制理論第3章6

1、李艷芳2015.10 第三章第三章 線性系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)的時域分析3-1 3-1 典型輸入信號典型輸入信號 3-2 3-2 線性定常系統(tǒng)的時域響應線性定常系統(tǒng)的時域響應 3-3 3-3 控制系統(tǒng)暫態(tài)響應的性能指標控制系統(tǒng)暫態(tài)響應的性能指標3-4 3-4 一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應一階系統(tǒng)的暫態(tài)響應3-5 3-5 二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應3-6 3-6 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應3-8 3-8 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性3-9 3-9 勞斯穩(wěn)定性判椐勞斯穩(wěn)定性判椐3-11 3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 3-12 3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差與擾動穩(wěn)態(tài)誤差給定

2、穩(wěn)態(tài)誤差與擾動穩(wěn)態(tài)誤差上節(jié)內容回顧上節(jié)內容回顧n勞思判據(jù) 閉環(huán)特征方程n 步驟各項系統(tǒng)是否同號，有無缺項列寫勞思陣列表判別勞思表第一列系數(shù)作業(yè)： 3-2 3-3 3-4 3-10 3-11 3-14 3-15 3-16 3-22 3-23n1） 第一列所有系數(shù)不為零的情況3 3、判別勞斯陣列表第一列系數(shù)、判別勞斯陣列表第一列系數(shù)（1）若表中第一列的系數(shù)均為正值）若表中第一列的系數(shù)均為正值,則則系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定（2）如果表中第一列的系數(shù)有正、負符號變化，其）如果表中第一列的系數(shù)有正、負符號變化，其變化的次變化的次數(shù)數(shù)等于該特征方程式的等于該特征方程式的根在根在S右半平面上的個數(shù)右半平面上的個數(shù)，

3、相應的系統(tǒng)，相應的系統(tǒng)為為不穩(wěn)定不穩(wěn)定n勞斯判據(jù)指出：3-9 勞斯穩(wěn)定判據(jù)一、勞斯判據(jù)例例1 10543212345 sssss）（1 1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零， 系統(tǒng)穩(wěn)定與否繼續(xù)第二步；系統(tǒng)穩(wěn)定與否繼續(xù)第二步；2 2、建立勞斯陣列表、建立勞斯陣列表 因為第一列中，各元素不同號，因為第一列中，各元素不同號，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)不穩(wěn)定。又：由于第一列的元素又：由于第一列的元素變號兩變號兩次次，應有兩個極點在，應有兩個極點在S S平面的右平面的右半面。半面。該系統(tǒng)有五個根：該系統(tǒng)有五個根：-2.0461 0.7336 -2.0461 0.7336 1.1577i

4、 1.1577i -0.7105 -0.7105 0.8922i 0.8922i 2） 某行第一列的系數(shù)等于零，而其余各項不全等于零。系統(tǒng)不穩(wěn)定。3 3、判別勞斯陣列表第一列系數(shù)、判別勞斯陣列表第一列系數(shù)（1）如果第一列）如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同符號相同，則表示方程中有則表示方程中有一對其它虛根一對其它虛根存在；存在；（2）如果第一列系數(shù)中）如果第一列系數(shù)中有符號變化有符號變化，其變化的次數(shù)，其變化的次數(shù)等于該方程在等于該方程在S平面右方根的數(shù)目。平面右方根的數(shù)目。n勞斯判據(jù)：用有限小 來代替零那一項，然后計算 3-9 勞斯穩(wěn)定判據(jù)一、勞斯判據(jù)012222

5、34 SSSS）（1221)(0022111 2 2、建立勞斯陣列表、建立勞斯陣列表 1 1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；該系統(tǒng)四個根：該系統(tǒng)四個根： -1.8832 -0.5310 -1.8832 -0.5310 + +0.2071 0.2071 0.9783i 0.9783i 第一列元素等于零時，系統(tǒng)不穩(wěn)第一列元素等于零時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。用定。用代替，可繼續(xù)計算確定代替，可繼續(xù)計算確定右半面的極點個數(shù)。右半面的極點個數(shù)。由于由于2-2/02-2/0，故認為變號，故認為變號兩次，有兩個極點在兩次，有兩個極點在S S平面平面的右半面。的右半面

6、。+ +- -+ +022323 sss）（ 2123 s0 0 2 2 0 1 1 0 sss方程中有對虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。方程中有對虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1 1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；2 2、建立勞斯陣列表、建立勞斯陣列表 第一列沒有符號改變第一列沒有符號改變3） 某行某行所有各項均為零所有各項均為零 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定（1 1）取元素全為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助方程，式中的）取元素全為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助方程，式中的均為偶次（均為偶次（根是對稱出現(xiàn)的）；根是對稱出現(xiàn)的）；（2 2）求輔助方程對的導數(shù)，以其系數(shù)代替全為零值

7、的一行。）求輔助方程對的導數(shù)，以其系數(shù)代替全為零值的一行。（3 3）用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù)，并判斷穩(wěn)定性）用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù)，并判斷穩(wěn)定性（4 4）解輔助方程，得系統(tǒng)各對稱根）解輔助方程，得系統(tǒng)各對稱根n勞斯判據(jù)用下述處理方法n在在S平面中有對稱的實根或有共軛虛根，關于原點對稱的根。平面中有對稱的實根或有共軛虛根，關于原點對稱的根。501 .145024005048225241SSSSSS012345121050254824242345 SSSSS）（閉環(huán)特征方程系數(shù)符號不閉環(huán)特征方程系數(shù)符號不一致，一致， 系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。使用勞斯判據(jù)進一步分析使用勞斯判據(jù)進一

8、步分析根分布情況根分布情況勞斯陣列中出現(xiàn)整行等于零勞斯陣列中出現(xiàn)整行等于零時，利用上一行組成輔助方時，利用上一行組成輔助方程，并求導程，并求導, ,用其系數(shù)用其系數(shù)陣列中陣列中S S3 3行的系數(shù)行的系數(shù)8 8，9696S698SdSdA5048S2SA(S) 324系數(shù)系數(shù)8 8，9696有公因子有公因子8 8，又可以，又可以化簡為化簡為1 1，1212，填入陣列，填入陣列勞斯陣列中第一列元素變號一勞斯陣列中第一列元素變號一次，有一個根在右半平面。次，有一個根在右半平面。勞斯陣列中第一列元素出現(xiàn)勞斯陣列中第一列元素出現(xiàn)0 0，系統(tǒng)有虛根。系統(tǒng)有虛根。由輔助方程：由輔助方程：2S2S4 4+4

9、8S+48S2 2-50=0-50=0可求得：可求得：1S,1S,5 jS4321 、 還有一個根是還有一個根是 2 2 0161620128223456 ssssss）（5行行的的各各項項組組成成輔輔助助方方程程將將4sssdssdAsssA12486324 )()(將輔助方程求導后的系數(shù)作為行的元素，并往下計算各行，得：3s1 1、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；、閉環(huán)特征方程系數(shù)全部大于零，繼續(xù)第二步；2 2、建立勞斯陣列表、建立勞斯陣列表 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 勞斯表的第一列各項符號 沒有改變，因此系統(tǒng)在右半 平面沒有極點，但由于行的 各項為零，說明有共軛虛數(shù)極點?？捎奢o助方程求出

10、。解3s22086432124jsjsss ,，得得從輸入端定義：從輸入端定義：有物理意義有物理意義)()()(tbtrte )(limteetss 從輸出端定義：從輸出端定義：有數(shù)學意義有數(shù)學意義)()()(tctcte 0)(limteetss 單位反饋時，單位反饋時，兩種定義相兩種定義相同同3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差的傳遞函數(shù)誤差的傳遞函數(shù) 不考慮擾動量，對于參考給定誤差的象函數(shù)為：不考慮擾動量，對于參考給定誤差的象函數(shù)為：)()()(sBsRsEr )()()()(sRsHsGsG2111 )()()()(sHsGsGsG21 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)1( )1

11、( )ersG s系統(tǒng)給定誤差傳遞函數(shù)系統(tǒng)給定誤差傳遞函數(shù)3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差二、穩(wěn)態(tài)誤差的傳函不考慮輸入，對于擾動量，穩(wěn)態(tài)誤差傳函是穩(wěn)態(tài)誤差取決于給定或擾動信號的性質和系統(tǒng)的結構類型和參量。)()()()()()()()(nsNssRsHsGsGsGsEn 2121)(1) s ()()(2nsGHsGs 3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差二、穩(wěn)態(tài)誤差的傳函 按v的數(shù)值對控制系統(tǒng)進行分類。分為 0型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、型系統(tǒng)。反映了系統(tǒng)跟隨階躍信號、斜坡信號和拋物信號等輸入信號的能力。 121211221122121121njnlllljmimkkkkivssTsTssssKsG)()()()(

12、)( 設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 型型系系統(tǒng)統(tǒng)型型型型分分別別稱稱為為節(jié)節(jié)個個數(shù)數(shù)開開環(huán)環(huán)傳傳函函中中串串聯(lián)聯(lián)積積分分環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)的的時時間間常常數(shù)數(shù)，系系統(tǒng)統(tǒng)的的總總開開環(huán)環(huán)增增益益OvvTK,210 3-11 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差三、控制系統(tǒng)的型別一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算 終值定理：終值定理： )(lim)(limssEteestss0 0001lim( )lim( )( )lim( )1( )srerersssSEsSR ssS R sG se與輸入有關！3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差PssssrKsGsGe11)(lim11)(

13、11lim00KsSGsSGSessssr1)(lim1)(1lim00KasGSsGSSessssr1)(lim1)(1lim20220位置（階躍）誤差系數(shù)位置（階躍）誤差系數(shù)斜坡（速度）誤差系數(shù)斜坡（速度）誤差系數(shù) 拋物線（加速度）誤差系數(shù)拋物線（加速度）誤差系數(shù)SsR1)(21)(SsR)(lim0sGKsP)(lim0sSGKs )(lim20sGSKas3S1R(s)靜態(tài)誤差系數(shù)靜態(tài)誤差系數(shù)3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值和穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)給定輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)n1iim1jj)1ST(S)1ST(K)s (G穩(wěn)態(tài)誤

14、差系數(shù)僅與系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)僅與系統(tǒng)參數(shù)K K、 ( (積分環(huán)節(jié)個數(shù)積分環(huán)節(jié)個數(shù)系統(tǒng)型號系統(tǒng)型號) )有關，有關，對應對應 0 0、1 1、2 2 稱稱 0 0、I I、型系統(tǒng)型系統(tǒng))(lim0sGKsP)(lim0sSGKs)(lim20sGSKas1111PsrKsrK vsrK aeee階躍輸入下階躍輸入下: :斜坡輸入下斜坡輸入下: :拋物線輸入下拋物線輸入下: :3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差一、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值和穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù) 輸出不能跟隨輸入，輸出不能跟隨輸入，穩(wěn)態(tài)誤差無窮大穩(wěn)態(tài)誤差無窮大0 0、I I、型三種系統(tǒng)型三種系統(tǒng)分別三種典型輸入分別三種典型輸入穩(wěn)態(tài)誤差有九種情況

15、穩(wěn)態(tài)誤差有九種情況0) s (SGlimK0s0) s (GSlimKa20s niimjjSTSTKsG1111)()()(階躍輸入時，誤差系數(shù)階躍輸入時，誤差系數(shù)=K=KK11sse輸出始終不會等于輸入，存在穩(wěn)態(tài)誤差輸出始終不會等于輸入，存在穩(wěn)態(tài)誤差斜坡輸入時，誤差系數(shù)斜坡輸入時，誤差系數(shù)=0=0穩(wěn)態(tài)誤差無窮大（輸出不能跟隨輸入）穩(wěn)態(tài)誤差無窮大（輸出不能跟隨輸入） sse sse拋物線輸入時，誤差系數(shù)拋物線輸入時，誤差系數(shù)=0=0系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中不含積分環(huán)節(jié)不含積分環(huán)節(jié)K) s (GlimK0sP 0 0 型型 系統(tǒng)系統(tǒng)階躍輸入階躍輸入 0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)斜坡輸入斜坡輸

16、入 I I型系統(tǒng)型系統(tǒng)拋物線輸入拋物線輸入 型系統(tǒng)型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差無窮大穩(wěn)態(tài)誤差無窮大（輸出不能跟隨輸入）（輸出不能跟隨輸入）) s (GlimK0sPK) s (SGlimK0s0) s (GSlimKa20s1n1iim1jj)1ST( S)1ST(K)s (G I I型系統(tǒng)，階躍輸入時誤差系數(shù)無窮大型系統(tǒng)，階躍輸入時誤差系數(shù)無窮大0sse沒有穩(wěn)態(tài)誤差沒有穩(wěn)態(tài)誤差 輸出最終等于輸入輸出最終等于輸入 I I型系統(tǒng)，斜坡輸入時，誤差系數(shù)型系統(tǒng)，斜坡輸入時，誤差系數(shù)=K=KK1 sse I I型系統(tǒng)，拋物線輸入時，誤差系數(shù)型系統(tǒng)，拋物線輸入時，誤差系數(shù)=0=0輸出可跟隨輸入，但存在誤差輸出可跟隨輸

17、入，但存在誤差 sse系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含一個積分環(huán)節(jié)中含一個積分環(huán)節(jié) I I 型型 系統(tǒng)系統(tǒng)) s (GlimK0sP) s (SGlimK0sK) s (GSlimKa20s2n1ii2m1jj) 1ST( S) 1ST(K) s (G 型系統(tǒng)，階躍輸入和斜坡輸入時型系統(tǒng)，階躍輸入和斜坡輸入時 時誤差系數(shù)無窮大時誤差系數(shù)無窮大0sse階躍輸入時沒有穩(wěn)態(tài)誤差，階躍輸入時沒有穩(wěn)態(tài)誤差，輸出最終等于輸入輸出最終等于輸入K1 sse型系統(tǒng)，拋物線輸入誤差系數(shù)型系統(tǒng)，拋物線輸入誤差系數(shù)=K=K斜坡輸入時，輸出完全跟隨輸入，斜坡輸入時，輸出完全跟隨輸入，沒有穩(wěn)態(tài)誤差沒有穩(wěn)態(tài)誤差 輸出可

18、跟隨輸入，但存在穩(wěn)態(tài)誤差輸出可跟隨輸入，但存在穩(wěn)態(tài)誤差0 sse系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含兩個積分環(huán)節(jié)中含兩個積分環(huán)節(jié) 型型 系統(tǒng)系統(tǒng)給定輸入給定輸入給定穩(wěn)態(tài)誤差的終值給定穩(wěn)態(tài)誤差的終值0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)I I型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)1(t)1(t)1/(1+K)1/(1+K)0 00 0t t1/K1/K0 0t t2 2/2/21/K1/K三種典型輸入下對應于三種典型輸入下對應于“0 0”“I I”“”型三種系統(tǒng)型三種系統(tǒng)有九種情況，誤差的計算公式列表如下：有九種情況，誤差的計算公式列表如下：例 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為)()(110 sssG2210211tAtAtAtr )

19、()(其中均為大于零的常數(shù)，求系統(tǒng)給定其中均為大于零的常數(shù)，求系統(tǒng)給定穩(wěn)態(tài)誤差終值穩(wěn)態(tài)誤差終值 。210AAA,sre解：此為解：此為型系統(tǒng)型系統(tǒng) 010110102102102000AAAKAKAKAesGsKssGKsGKavpsrsasvsp)(lim)(lim)(lim說明：有些情況下，不能使用終值定理（如：正弦輸入），說明：有些情況下，不能使用終值定理（如：正弦輸入），用穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)計算用穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)計算 ( )( ) ( )erE ss R s 附近展開泰勒級數(shù)在0s) s (e( )211( )(0)(0)(0)( )nnererererersSSs S 2!n!21( )(0)

20、( )(0)( )(0)( )rerererEsR SSR SS R S 2!拉普拉斯反變換，得拉普拉斯反變換，得 0121( )(0) ( )(0) ( )(0) ( )( )( )( )srerereretr tr tr tC r tC r tC r t 2!C0 動態(tài)位置 誤差系數(shù)C1 動態(tài)速度 誤差系數(shù)C2動態(tài)加速度 誤差系數(shù)動態(tài)誤差系數(shù)描述穩(wěn)態(tài)誤差隨時間的變化不是誤差隨時間的變化3-12 給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差二、給定穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)的計算 例例: :設系統(tǒng)結構圖如下，試求擾動穩(wěn)態(tài)誤差。設系統(tǒng)結構圖如下，試求擾動穩(wěn)態(tài)誤差。已知已知N(s)=1(t),N(s)=1(t),其中其中H(s)=1H(s)=1，Gc(s)=10/S,G