波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

1、第二章 波函數(shù)和薛定諤方程1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋)(expEtrpiA自由粒子自由粒子描寫粒子狀態(tài)描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它的波函數(shù)，它通常是一個復(fù)通常是一個復(fù)函數(shù)。函數(shù)。（一）波函數(shù)（一）波函數(shù)dedeBroglie Broglie 波波 3 3個問題？個問題？ (1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？),(tr 如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動？如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動？量子力學第一條假設(shè)量子力學第一條假設(shè)（

2、1 1）波？）波？1. 1. 波由粒子組成波由粒子組成感光時間較短感光時間較短感光時間足夠長感光時間足夠長最終最終實驗結(jié)果：實驗結(jié)果：電子雙電子雙縫衍射縫衍射實驗實驗單個電子就具有波動性單個電子就具有波動性2. 2. 粒子由波組成粒子由波組成什么是波包？什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。電子是波包電子是波包實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小1 1 。電子究竟是電子究竟是粒子？粒子？波？波？“ 電子既不是粒子也不是波電子既

3、不是粒子也不是波 ”“ 電子既是粒子也是波電子既是粒子也是波”粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一經(jīng)典概念粒子經(jīng)典概念粒子1. 1. 有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ; 2 2有確定的運動軌道有確定的運動軌道3. 3. 每一時刻有一定位置和速度每一時刻有一定位置和速度1. 1. 實在的物理量的空間分布作周期性的變化實在的物理量的空間分布作周期性的變化; ;2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念波經(jīng)典概念波 Born解釋解釋(1926年年)感光時間較短感光時間較短感光時間足夠長感光時間足夠長最終最終實驗結(jié)果：

4、實驗結(jié)果：電子雙電子雙縫衍射縫衍射實驗實驗衍射波的強度分布對應(yīng)于衍射波的強度分布對應(yīng)于電子數(shù)的密度分布電子數(shù)的密度分布電子聚集密度的分布決定電子聚集密度的分布決定于單個電子在底板上出現(xiàn)于單個電子在底板上出現(xiàn)概率的分布概率的分布電子出現(xiàn)的概率分布規(guī)律電子出現(xiàn)的概率分布規(guī)律表現(xiàn)為波強度的分布規(guī)律表現(xiàn)為波強度的分布規(guī)律電子在空間出現(xiàn)的概率電子在空間出現(xiàn)的概率分布顯示了電子運動的分布顯示了電子運動的波動性波動性德布羅意波或物質(zhì)波（概率波德布羅意波或物質(zhì)波（概率波Probability Wave）分析及討論：分析及討論：底板接收的電底板接收的電子是一個一個子是一個一個的完整體的完整體粒子性表現(xiàn)粒子性表現(xiàn)

5、條紋由大量電條紋由大量電子密集與稀疏子密集與稀疏有規(guī)律交替出有規(guī)律交替出現(xiàn)形成現(xiàn)形成波動性表現(xiàn)波動性表現(xiàn)粒子保持完整的顆粒結(jié)構(gòu)在空間以概率波的形式運粒子保持完整的顆粒結(jié)構(gòu)在空間以概率波的形式運動的性質(zhì)動的性質(zhì)波粒二象性（波粒二象性（Wave particle duality）微觀粒子的波動性乃是粒子統(tǒng)計運動規(guī)律的一種特殊表現(xiàn)微觀粒子的波動性乃是粒子統(tǒng)計運動規(guī)律的一種特殊表現(xiàn)電子電子雙縫雙縫衍射衍射二、波函數(shù)的物理意義二、波函數(shù)的物理意義衍射條紋衍射條紋極大值極大值衍射條紋衍射條紋極小值極小值波動觀點波動觀點粒子觀點粒子觀點波的強度最大波的強度最大波函數(shù)振幅絕對值的波函數(shù)振幅絕對值的平方即平方即

6、 最大最大感光點的密度最大感光點的密度最大電子到達的數(shù)目多電子到達的數(shù)目多電子出現(xiàn)的概率大電子出現(xiàn)的概率大2波的強度為零波的強度為零波函數(shù)振幅絕對值的波函數(shù)振幅絕對值的平方平方 =0感光點的密度為零感光點的密度為零到達的電子數(shù)目為零到達的電子數(shù)目為零電子出現(xiàn)的概率為零電子出現(xiàn)的概率為零2感光強度的分布感光強度的分布電子出現(xiàn)的概率分布電子出現(xiàn)的概率分布感光強度的分布感光強度的分布電子波函數(shù)振幅絕對值的平方電子波函數(shù)振幅絕對值的平方結(jié)論結(jié)論某時刻某時刻t，在空間某點，在空間某點r處，粒子出現(xiàn)的幾處，粒子出現(xiàn)的幾率正比于該時刻、該點處的波函數(shù)的模率正比于該時刻、該點處的波函數(shù)的模的平方的平方 。2,

7、tr總結(jié)：總結(jié)：衍射實驗揭示的電子的波動性是：衍射實驗揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，在此基礎(chǔ)上，Born Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。2 與粒子與粒子(某時刻、在空間某處某時刻、在空間某處)出現(xiàn)的幾率成正比出現(xiàn)的幾率成正比波函數(shù)是什么呢？波函數(shù)是什么呢？物質(zhì)波既不是機械波，又不是電磁波，而是物質(zhì)波既不是機械波，又

8、不是電磁波，而是物質(zhì)波是什么呢？物質(zhì)波是什么呢？幾率波是描寫微觀體系的統(tǒng)計行為，而不是單個粒子的幾率波是描寫微觀體系的統(tǒng)計行為，而不是單個粒子的單次過程。單次過程。宏觀物體：討論它的位置在哪里宏觀物體：討論它的位置在哪里微觀粒子：研究它在某地點出現(xiàn)的幾率有多大微觀粒子：研究它在某地點出現(xiàn)的幾率有多大區(qū)別區(qū)別 對微觀粒子，討論其運動軌道是沒有意義對微觀粒子，討論其運動軌道是沒有意義的。波函數(shù)反映的只是微觀粒子運動的統(tǒng)計規(guī)的。波函數(shù)反映的只是微觀粒子運動的統(tǒng)計規(guī)律。律。結(jié)論結(jié)論三、波函數(shù)的歸一性：三、波函數(shù)的歸一性：設(shè)波函數(shù)設(shè)波函數(shù) 描寫粒子的狀態(tài)描寫粒子的狀態(tài)tzyx,在空間一點在空間一點（x,

9、y,z）處和時刻處和時刻t:2波的強度是波的強度是表示表示的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)),(tzyxdW在時刻在時刻t，在坐標在坐標xx+dx、y y+dy、z z+dz的無限小區(qū)域內(nèi)找到粒子的幾率的無限小區(qū)域內(nèi)找到粒子的幾率dxdydzddW2),(tzyxdWdtzyxCtzyxdW2),(),(C為比例常數(shù)為比例常數(shù)幾率密度幾率密度 2),(),(),(tzyxCdtzyxdWtzyx表示某時刻、在空間某點附近表示某時刻、在空間某點附近單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率：粒子在整個空間出現(xiàn)的幾率： 1),(2dtzyxCdtzyxC2),(1),(tzyx)

10、,(tzyxC和和的的相對概率相對概率是相同的是相同的概率波概率波2222211122222111),(),(),(),(tzyxCtzyxCtzyxtzyx波函數(shù)乘以一常數(shù)，其波函數(shù)乘以一常數(shù)，其描述的概率波不變，即描述的概率波不變，即描寫的粒子狀態(tài)不變。描寫的粒子狀態(tài)不變。dtzyxC2),(1),(),(tzyxCtzyx),(),(tzyxtzyx和和描寫的是粒子的同一狀態(tài)描寫的是粒子的同一狀態(tài)dtzyxtzyxdW2),(),(2),(),(),(tzyxCdtzyxdWtzyx2),(),(tzyxtzyx1),(2dtzyxC) 1 (1),(2dtzyx滿足（滿足（1）的波函數(shù)

11、）的波函數(shù)歸一化波函數(shù)歸一化波函數(shù)) 1 (1),(2dtzyx波函數(shù)的歸一化條件波函數(shù)的歸一化條件),(),(tzyxtzyx把把換成換成的步驟的步驟C歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)歸一化歸一化(Normalization)dtzyxC2),(1若若dtzyx2),(發(fā)散，發(fā)散，0C則無意義！則無意義！經(jīng)典波經(jīng)典波和微觀粒子和微觀粒子幾率波幾率波的區(qū)別：的區(qū)別：1、經(jīng)典波經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期變化，而描述某物理量在空間分布的周期變化，而幾幾 率波率波描述微觀粒子某力學量的幾率分布；描述微觀粒子某力學量的幾率分布；2、經(jīng)典波經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動能量為原來四倍的波幅增大一倍，相應(yīng)波動

12、能量為原來四倍, 變成另一狀態(tài)；變成另一狀態(tài)；幾率波幾率波的波幅增大一倍不影響粒子的波幅增大一倍不影響粒子 在空間各點出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù)在空間各點出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù), 所描述的粒子的狀態(tài)并不改變；所描述的粒子的狀態(tài)并不改變；例例1：有一微觀粒子，沿：有一微觀粒子，沿x軸方向運動，描述其運動的波函數(shù)為軸方向運動，描述其運動的波函數(shù)為ixAx1)(1）將此波函數(shù)歸一化；）將此波函數(shù)歸一化；2）求出粒子坐標的概率分）求出粒子坐標的概率分布函數(shù)；布函數(shù)；3）求在何處找到粒子的概率密度最大？）求在何處找到粒子的概率密度最大？解：解：1）令）令 11)(2dxxxdxx或或

13、 ixAx1 ixAx1112222AxarctgAxdxA1A歸一化的波函數(shù)為歸一化的波函數(shù)為 ixx112)粒子坐標概率密度分布函數(shù)為粒子坐標概率密度分布函數(shù)為 211xxxx3） 求出，在求出，在x=0處概率密度最大處概率密度最大1)0(max 0 x令1)(cos2/2/22bbdxbxA即：即：1| ),(| ),(| ),(|2/22/2/22/2bbbbdxtxdxtxdxtx解解:(1)其中其中A為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，E和和b均為均為確定的常數(shù)確定的常數(shù)求：求：(1)歸一化的波函數(shù)；歸一化的波函數(shù)；(2)幾率密度幾率密度 ？例例2、設(shè)粒子在一維空間運動，其狀態(tài)可用波函數(shù)描述為

14、：、設(shè)粒子在一維空間運動，其狀態(tài)可用波函數(shù)描述為：)cos()exp(),(bxtiEAtx0),(tx)2/, 2/(bxbx)2/2/(bxb122bAbA2(2)幾率密度為：幾率密度為：)(cos2),(),(22bxbtxtx)2/),2/(bxbx)2/2/(bxb0),(),(2txtx歸一化的波歸一化的波函數(shù)為：函數(shù)為：)cos()exp(2),(bxtiEbtx0),(tx)2/, 2/(bxbx)2/2/(bxb如圖所示，在區(qū)間（如圖所示，在區(qū)間（ b/2,b/2)以外找不到粒子。在以外找不到粒子。在x=0處找處找到粒子的幾率最大。到粒子的幾率最大。xob/2-b/22),(

15、txtx,1.1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長 時間亦顯示衍射圖樣時間亦顯示衍射圖樣; ;電子源電子源感感光光屏屏QQOPP電子的衍射實驗電子的衍射實驗2. 2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. .波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，基礎(chǔ)上，Born Born 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計解釋。 正正比于電子出現(xiàn)在比于電子出現(xiàn)在 r r 點附近的幾率點附近的幾率在電子衍射實驗中，照相底片上在電子衍射實驗中，照相底片

16、上 結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是許多電子在同一個結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。統(tǒng)計結(jié)果。r r 點附近衍射花樣的強度點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目正比于該點附近感光點的數(shù)目 正比于該點附近出現(xiàn)正比于該點附近出現(xiàn) 的電子數(shù)目的電子數(shù)目描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)波函數(shù) (r) (r)有時也稱為幾率幅。有時也稱為幾率幅。 這就是首先由

17、這就是首先由 Born Born 提出的波函數(shù)的幾提出的波函數(shù)的幾率解釋，它是量子力學的基本原理。率解釋，它是量子力學的基本原理。衍射花紋的強度則用衍射花紋的強度則用 | (r)|2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。描述，但意義與經(jīng)典波不同。| (r)| (r)|2 2 xx yy zz表示在表示在 r 點處，體積元點處，體積元x y z中找到粒子的幾率中找到粒子的幾率假設(shè)衍射波波幅用假設(shè)衍射波波幅用 (r) 描述描述| (r)|2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點附近幾率的大小點附近幾率的大小波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成波函數(shù)在空間某點

18、的強度（振幅絕對值的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，比例，（三）波函數(shù)的性質(zhì)（三）波函數(shù)的性質(zhì)（1 1）幾率和幾率密度）幾率和幾率密度2 2 在在 t t 時刻時刻 r r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是1 1 在在t t時刻時刻，r r點，點，d = dx dy dz 體積內(nèi)，找到由波函數(shù)體積內(nèi)，找到由波函數(shù) (r,t(r,t) ) 描寫描寫的粒子的幾率是：的粒子的幾率是：C C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。d W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 dd幾率密度幾率密度 ( r, t ) = ( r, t )

19、= dW(rdW(r, t )/ , t )/ dd = C| (r,t)| = C| (r,t)|2 2 3 3 在體積在體積 V V 內(nèi)，內(nèi)，t t 時刻找到粒子的幾率為：時刻找到粒子的幾率為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d（2 2）平方可積平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對值平方可積的函數(shù)。對值平方可積的

20、函數(shù)。若若 | (r , t)| (r , t)|2 2 dd , , 則則 C C 0, 0, 這是沒這是沒有意義的。有意義的。)(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函注意：自由粒子波函數(shù)數(shù) 不滿足這一要求不滿足這一要求即：即： C| (r , t)|C| (r , t)|2 2 dd= 1, = 1, 常數(shù)常數(shù) C C 之值為：之值為： C = 1/ | (r , t)|C = 1/ | (r , t)|2 2 dd（3 3）歸一化波函數(shù)）歸一化波函數(shù) (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 所描寫狀態(tài)的相對幾率所描寫狀態(tài)的相對幾率是

21、相同的，這里的是相同的，這里的 C C 是常數(shù)是常數(shù). . 因為在因為在 t t 時刻，空間任時刻，空間任意兩點意兩點 r r1 1 和和 r r2 2 處找到粒子的相對幾率之比是：處找到粒子的相對幾率之比是： 221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可見，可見， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一幾率描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。 這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的（原來的 2 2倍），則相應(yīng)的波動能量將倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的為原來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，