312用二分法求方程的近似解

1、3.1.2 3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 （2 2）能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解；）能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解； （3 3）體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一）體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一 （1 1）通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，）通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件， 了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用； 在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水

2、庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10km10km長(zhǎng)的線路，長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿，查找，困難很多每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿，10km10km長(zhǎng)，大約有長(zhǎng)，大約有200200多根電線桿呢想一想，維修線路的工多根電線桿呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？人師傅怎樣工作最合理？如圖如圖, ,設(shè)閘門和指揮部的所在處為點(diǎn)設(shè)閘門和指揮部的所在處為點(diǎn)A,B, A,B, B BA AC C6.6.這樣每查一次這樣每查一次, ,就可以把待查的線

3、路長(zhǎng)度縮減一半就可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半1.1.首先從中點(diǎn)首先從中點(diǎn)C C查查2.2.用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí)用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí), ,發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)ACAC段正常段正常, ,斷定斷定 故障在故障在BCBC段段3.3.再到再到BCBC段中點(diǎn)段中點(diǎn)D D4.4.這次發(fā)現(xiàn)這次發(fā)現(xiàn)BDBD段正常段正常, ,可見故障在可見故障在CDCD段段5.5.再到再到CDCD中點(diǎn)中點(diǎn)E E來(lái)看來(lái)看D DE E這樣每查一次，就可以把待查線路長(zhǎng)度縮減為一這樣每查一次，就可以把待查線路長(zhǎng)度縮減為一半，故經(jīng)過(guò)半，故經(jīng)過(guò)7 7次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍縮小次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍縮小到到50100m5010

4、0m左右，即在一兩根電線桿附近左右，即在一兩根電線桿附近這在現(xiàn)實(shí)生活中也有許多重要的應(yīng)用其思想方這在現(xiàn)實(shí)生活中也有許多重要的應(yīng)用其思想方法在生活中解答以上這類問(wèn)題時(shí)經(jīng)常碰到解答以上法在生活中解答以上這類問(wèn)題時(shí)經(jīng)常碰到解答以上這類實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵在于，根據(jù)實(shí)際情況加以判斷和總這類實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵在于，根據(jù)實(shí)際情況加以判斷和總結(jié)，巧妙取中點(diǎn)，巧妙分析和縮小故障的區(qū)間，從而結(jié)，巧妙取中點(diǎn)，巧妙分析和縮小故障的區(qū)間，從而以最短的時(shí)間和最小的精力達(dá)到目的以最短的時(shí)間和最小的精力達(dá)到目的 假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間-1,5-1,5上，上，f(x)f(x)的圖象是一條連續(xù)的的圖象是一條連續(xù)的曲線，且曲線，且f(-1)0,

5、f(5)0,f(5)0即即f(-1)f(5)0f(-1)f(5)0,f(5)0,f(5)0,即即 f(2)f(5)0,f(2)f(5)0,所以在區(qū)間所以在區(qū)間2,52,5內(nèi)有方程的解，于是再內(nèi)有方程的解，于是再取取2,52,5的中點(diǎn)的中點(diǎn)3.53.5，-1 f(x)yxO12345如果取到某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)如果取到某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x x0 0, ,恰好使恰好使f(xf(x0 0)=0,)=0,則則x x0 0就是所求的一個(gè)解；如果區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)總不就是所求的一個(gè)解；如果區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)總不為為0 0，那么，不斷重復(fù)上述操作，那么，不斷重復(fù)上述操作， 像像上面這種求方程近似解的方法稱為二分法，它上面這種

6、求方程近似解的方法稱為二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。是求一元方程近似解的常用方法。二分法的定義：二分法的定義：定義如下：定義如下： 對(duì)于在區(qū)間對(duì)于在區(qū)間a,ba,b 上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且f(a)f(bf(a)f(b)0)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(xy=f(x),),通過(guò)不斷地把函數(shù)通過(guò)不斷地把函數(shù)f(xf(x) )的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法近似值的方法叫做二分法（bisectionbisection）. .給定精度給定精度 , ,用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似

7、值的步驟如下：用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1.1.確定區(qū)間確定區(qū)間 ，驗(yàn)證，驗(yàn)證 ，給定精度，給定精度 ；, a b( )( )0f af b2.2.求區(qū)間求區(qū)間 的中點(diǎn)的中點(diǎn) ；, a bc3.3.計(jì)算計(jì)算( )f c（1 1）若）若 ，則，則 就是函數(shù)的零點(diǎn)；就是函數(shù)的零點(diǎn)；( )0f c（2 2）若）若 , ,則令則令 （此時(shí)零點(diǎn)（此時(shí)零點(diǎn) ；( )( )0f af cbc0( , )xa c（3 3）若）若 , ,則令則令 （此時(shí)零點(diǎn)（此時(shí)零點(diǎn) ；ac( )( )0f cf b0( , )xc b即若即若 ，則得到零點(diǎn)近似值，則得到零點(diǎn)近似值 (或或 ）；）；abab4.4.

8、判斷是否達(dá)到精度判斷是否達(dá)到精度 ：否則重復(fù)步驟否則重復(fù)步驟2 24 4c例例1. 1. 求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x)=lnx+2x-6)=lnx+2x-6在區(qū)間（在區(qū)間（2 2，3 3）內(nèi)的零點(diǎn)）內(nèi)的零點(diǎn)（精確度為（精確度為0.010.01）. .解：解：畫出畫出y=lnxy=lnx及及y=6-2xy=6-2x的圖象，觀察圖象得，的圖象，觀察圖象得，方程方程lnxlnx=6-2x=6-2x有唯一解，記為有唯一解，記為 ，且這個(gè)解，且這個(gè)解在區(qū)間（在區(qū)間（2 2，3 3）內(nèi)。）內(nèi)。1x根所在區(qū)間根所在區(qū)間區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)值中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)（2 2，3 3

9、）f(2)0f(2)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)02.56252.5625f(2.5625)0f(2.5625)0（2.531252.53125，2.56252.5625）f(2.5)0f(2.5)0f(2.5625)0（2.52.5，2.56252.5625）f(2.5312

10、5)0f(2.53125)0f(2.5625)0f(2.53125)0f(2.53125)0f(2.5390625)0f(2.53125)0f(2.53125)0f(2.546875)0（2.531252.53125，.5390625.5390625）f(2.546875)0f(2.546875)0f(2.53125)0,f(2.53125)0f(2.5390625)0列出下表：列出下表：由于由于2.53906252.531250.00781250.01所以，可以將所以，可以將2.53125x作為函數(shù)作為函數(shù)( )ln26f xxx零點(diǎn)的近似值，也即方程零點(diǎn)的近似值，也即方程ln260 xx的

11、近似根的近似根點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可以由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可以用二分法來(lái)求方程的近似解。用二分法來(lái)求方程的近似解。由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此可以通由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此可以通過(guò)設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算。過(guò)設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算。利用計(jì)算器，求方程利用計(jì)算器，求方程 lgxlgx=3-x=3-x的近似解的近似解. .（精確到（精確到0.10.1）解：解：畫出畫出y=lgxy=lgx及及y=3-xy=3-x的圖象，觀察圖象得，方程的圖象，觀察圖象得，方程lgxlgx=3-x

12、=3-x有唯一解，記為有唯一解，記為x x，且這個(gè)解在區(qū)間（且這個(gè)解在區(qū)間（2 2，3 3）內(nèi)。）內(nèi)。設(shè)設(shè) f(xf(x)=lgx+x-3)=lgx+x-3xOyy=lgxy=3-x因?yàn)橐驗(yàn)?.56252.5625，2.6252.625精確到精確到0.10.1的近似值都為的近似值都為2.62.6，所以原方程的，所以原方程的近似解為近似解為x x1 12.6 .2.6 .根所在區(qū)間根所在區(qū)間區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)值中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)（2 2，3 3）f(2)0f(2)0f(3)02.52.5f(2.5)0f(2.5)0（2.52.5，3 3）f(2.5)0f(2

13、.5)0f(3)02.752.75f(2.75)0f(2.75)0（2.52.5，2.752.75）f(2.5)0f(2.5)0f(2.75)02.6252.625f(2.625)0f(2.625)0（2.52.5，2.6252.625）f(2.5)0f(2.5)0f(2.625)0 2.56252.5625f(2.5625)0f(2.5625)0（2.56252.5625，2.6252.625）f(2.5625)0f(2.5625)0f(2.625)0列出下表：列出下表：方法點(diǎn)評(píng)方法點(diǎn)評(píng)用二分法求方程用二分法求方程 f(x)=0f(x)=0（或（或g(x)=h(x)g(x)=h(x)）近似解

14、的基本）近似解的基本步驟步驟: :1.1.尋找解所在區(qū)間尋找解所在區(qū)間（1 1）圖象法）圖象法先畫出先畫出y = f(x)y = f(x)圖象，觀察圖象與圖象，觀察圖象與x x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所處軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所處的范圍；的范圍；或畫出或畫出y=g(x)y=g(x)和和y=h(x)y=h(x)的圖象的圖象, ,觀察兩圖象的交點(diǎn)橫坐觀察兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍標(biāo)的范圍. .（2 2）函數(shù)法）函數(shù)法把方程均轉(zhuǎn)換為把方程均轉(zhuǎn)換為 f(x)=0f(x)=0的形式，再利用函數(shù)的形式，再利用函數(shù)y=f(xy=f(x) )的有關(guān)性質(zhì)（如單調(diào)性）來(lái)判斷解所在的區(qū)間的有關(guān)性質(zhì)（如單調(diào)性）來(lái)判斷解所在的區(qū)間. .2

15、.2.判斷二分解所在的區(qū)間判斷二分解所在的區(qū)間若若x x1 1 (a,b), (a,b),不妨設(shè)不妨設(shè)f(af(a)0)0（3 3）若）若（1 1）若）若（2 2）若）若由由f(af(a)0 )0 ,)0 ,對(duì)對(duì)(1)(1)、(2)(2)兩種情形再繼續(xù)求二分解所在的區(qū)間兩種情形再繼續(xù)求二分解所在的區(qū)間. .abf()021abx(a,)2abf()021abx(,b)2abf()021abx2當(dāng)當(dāng)x x1 1 (m,n (m,n),),且且m, nm, n根據(jù)精確度得到的近似值均為同根據(jù)精確度得到的近似值均為同一個(gè)值一個(gè)值P P時(shí)，則時(shí)，則x x1 1P P ，即求得近似解。，即求得近似解。

16、3.3.根據(jù)精確度得出近似解根據(jù)精確度得出近似解例例2.2.借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2 2x x+3x=7+3x=7的近的近似解（精確度似解（精確度0.10.1）解：解：原方程即原方程即2 2x x+3x=7+3x=7，令，令f(x)= 2f(x)= 2x x+3x-7+3x-7，用計(jì)算器，用計(jì)算器作出函數(shù)作出函數(shù)f(x)= 2f(x)= 2x x+3x-7+3x-7的對(duì)應(yīng)值表和圖象如下：的對(duì)應(yīng)值表和圖象如下： 273 273142 142 75754040212110103 3-2-2-6-6f(x)f(x) 8 8 7 76 65 54 43 32

17、21 10 0 x x因?yàn)橐驗(yàn)閒(1)f(2)0f(1)f(2)0所以所以 f(x)= 2f(x)= 2x x+3x-7+3x-7在（在（1 1，2 2）內(nèi)）內(nèi)有零點(diǎn)有零點(diǎn)x x0 0, ,?。ㄈ。? 1，2 2）的中點(diǎn)）的中點(diǎn)x x1 1=1.5=1.5，f(1.5)f(1.5) 0.33 0.33，因?yàn)橐驗(yàn)閒(1)f(1.5)0 f(1)f(1.5)0 所以所以x x0 0 （1 1，1.51.5）?。ㄈ。? 1，1.51.5）的中點(diǎn)）的中點(diǎn)x x2 2=1.25 ,f(1.25)= -0.87=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因，因?yàn)闉閒(1.25)f(1.5)0f(1.25)

18、f(1.5)0，所以，所以x x0 0（1.251.25，1.51.5）同理可得，同理可得，x x0 0（1.3751.375，1.51.5），），x x0 0（1.3751.375，1.43751.4375），由于），由于|1.375-1.4375|=0.06250.1|1.375-1.4375|=0.06250.1所以，原方程的近似解可取為所以，原方程的近似解可取為1.43751.4375練習(xí)練習(xí)1 1：用二分法求函數(shù)：用二分法求函數(shù)32f(x)x1.1x0.9x1.4在區(qū)間（在區(qū)間（0 0，1 1）內(nèi)的零點(diǎn)（精確到）內(nèi)的零點(diǎn)（精確到0.10.1）解解: : 由題設(shè)可知：由題設(shè)可知：f (0)1.40,f (1)1.60,f (0) f (1)0 則所以，函數(shù)所以，函數(shù)f(x)區(qū)間（區(qū)間（0 0，1 1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn). .下面用二分法求函數(shù)在區(qū)間（下面用二分法求函數(shù)在區(qū)間（0 0，1 1）內(nèi)的零點(diǎn)）內(nèi)的零點(diǎn)取區(qū)間取區(qū)間(0,1)(0,1)的中點(diǎn)的中點(diǎn)1x0.5,f(0.5)0.55 得0f (0.5) f (1)0,x(0.5,1).因?yàn)樗詅(0.75)0.32得0