一元二次方程資料名師教（學）案

1、 .21.1 一元二次方程 （王鵬鵬）一、教學目標（一）學習目標1.理解一元二次方程的概念.2.理解一般式的概念及其派生的其他概念.3.應用一元二次方程概念解決一些簡單題目.（二）學習重點一元二次方程的有關概念及其一般形式，并用這些概念解決問題.（三）學習難點通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.二、教學設計（一）課前設計預習任務理解一元二次方程的概念：整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：，其中：二次項為;一次項為;常數(shù)項為c;二次項系數(shù)為a;一次項系數(shù)為b.預習自測

2、（1）方程是否是一元二次方程？【知識點】一元二次方程概念【思路點撥】整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程.【解題過程】解：此方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為一次，所以不是一元二次方程.【答案】否（2）方程是否是一元二次方程？【知識點】一元二次方程概念【思路點撥】整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程.【解題過程】解：此方程含有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程.【答案】否（3）一元二次方程的一般形式是 .【知識點】一元二次方程的一般形式.【思路點撥】一元二次方程的一般形式：【解題過程】將原方程化簡后

3、整理得，一般形式：【答案】（4）一元二次方程的一次項系數(shù)是 .【知識點】一元二次方程的一般形式.【思路點撥】一元二次方程的一般形式：【解題過程】將原方程化整理成一般形式：，一次項系數(shù)為-2【答案】-2 (二)課堂設計1.問題探究探究一 一元二次方程的概念和一般形式 活動 以舊引新問題：有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋長方體盒子.如果要制作的無蓋長方體盒子底面積為3600cm²,那么鐵皮各角應切去邊長為多少cm的正方形? 請大家根據題目設未知數(shù)、列出方程.學生回答：設鐵皮各角應切去邊長為的正方形，由題意知整理

4、所列方程后觀察：老師問：方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？學生回答：方程可化為：.未知數(shù)的個數(shù)是1個，最高次數(shù)是2次.【設計意圖】復習設未知數(shù)列方程的步驟。通過對舊知識的復習，為新知識的學習作鋪墊.活動 大膽猜想，探究新知觀察這兩個方程，小組討論，有何發(fā)現(xiàn)？回答下列問題：（1） 上面方程整理后含有幾個未知數(shù)？學生回答：1個未知數(shù).（2） 按照整式中的多項式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？學生回答：2次（3） 有等號嗎？還是與多項式一樣只有式子？學生回答：是等式【設計意圖】讓學生充分感受所列方程的特點, 通過比較，對一元二次方程的概念達到共識，從而為掌握概念作準備.活動 集思廣益，歸納概念老師問

5、：一元二次方程的概念是什么？概念歸納：1.一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項【設計意圖】概括歸納出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.活動 掌握一元二次方程的特點提出問題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？(2)為什么要限制a0，b，c可以為0嗎？(3)一元二次方程3x2x20的一次項系數(shù)是1嗎？為什么？學生回答：一元二次方程是整式方程，等號左邊只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)

6、是2.等號右邊為0.學生回答：若則二次項不存在，所以要限制a0，b，c可以為0.學生回答：一元二次方程3x2x20的一次項系數(shù)不是1，應是-1.老師總結：一元二次方程特殊形式：；【設計意圖】加深對概念的理解，從而達到真正理解定義的目的。活動 類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念一元二次方程的根：老師問：一元一次方程的根是什么？學生回答：使一元一次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解（或根）.老師問：一元二次方程的根的概念是什么？學生回答：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.【設計意圖】識記、理解相關概念.通過類比，遷移提高.探究二 利用一元二次方程的

7、概念解決簡單的問題. 活動 一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應用例1. 判斷下列方程是否為一元二次方程？ 【知識點】 一元二次方程的概念【解題過程】（1）不是方程；（2）含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程；（3）整理后二次項系數(shù)為0；（4）不是整式方程；（5）不是整式方程；（6）二次項系數(shù)可能為0.【思路點撥】一元二次方程的特點：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個數(shù)是1，最高次數(shù)是2【答案】 （1）否（2）是（3）否（4）否（5）否（6）否【設計意圖】通過練習，掌握一元二次方程的概念.練習1. 在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0

8、 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1個 B2個 C3個 D4個【知識點】一元二次方程的概念【解題過程】3x2+7=0 是ax2+bx+c=0 二次項系數(shù)可能為0， 所以不是一元二次方程（x-2）（x+5）=x2-1 整理后二次項系數(shù)為0，所以不是一元二次方程3x2-=0 不是整式方程，所以不是一元二次方程【思路點撥】判斷一個方程是否是一元二次方程的依據：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程【答案】A例2下面哪些數(shù)是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2

9、， 0【知識點】一元二次方程的根【解題過程】將x=-4代入原方程，不是將x=-3代入原方程，是將x=-2代入原方程，是將x=0代入原方程，不是【思路點撥】判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等【答案】-3，-2練習2. 已知關于x的一元二次方程的一個根是x=0，則a的值為_【知識點】一元二次方程的根【解題過程】把x=0代入原方程得，【思路點撥】把所給方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值【答案】-1【設計意圖】通過練習，掌握一元二次方程的根的概念.活動2 一元二次方程的一般形式的應用例3.判斷下列方程是不是關于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次

10、項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. （1）3x(x+2)=4(x-1)+7 （2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)【知識點】一元二次方程的一般形式.【解題過程】（1）原方程整理得：，二次項系數(shù)為3、一次項系數(shù)為2，常數(shù)項為-3.（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.【思路點撥】將方程化成一般形式，再根據其一般形式確定它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.【答案】（1）是一元二次方程；3；2；-3 （2）不是一元二次方程.練習3.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、常數(shù)項：方程一般形式二次項系數(shù)常數(shù)項3x2=5x-1(x+2)(x-1)=6【知識點】一

11、元二次方程的一般形式.【解題過程】將3x2=5x-1化為一般形式，二次項系數(shù)為3、常數(shù)項為1.將(x+2)(x-1)=6化為一般形式，二次項系數(shù)為1、常數(shù)項為-8.【思路點撥】將方程化成一般形式，再確定二次項系數(shù)和常數(shù)項.【答案】（1） 3；1 （2） 1；-8 【設計意圖】理解一元二次方程的一般形式，及其二次項和二次項系數(shù)、一次項和一次項系數(shù)、常數(shù)項.例4.若關于x的方程是一元二次方程，求m的取值范圍. 【知識點】一元二次方程的概念【解題過程】原方程整理得，因其是一元二次方程，m-20,m2.【思路點撥】先將原方程化為一般形式，再根據一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0，求出m的范圍.【答案】m

12、2練習4.若關于x的方程是一元二次方程，求m的值.【知識點】一元二次方程的概念【解題過程】是關于x的一元二次方程 【思路點撥】一元二次方程的一般形式為.【答案】【設計意圖】加強對一元二次方程的概念的理解，不能忽略a0這一隱含條件.活動3 綜合應用例5. 已知關于x的方程（1）k為何值時，此方程為一元二次方程？并寫出該一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.（2）k為何值時，此方程為一元一次方程?【知識點】一元二次方程和一元一次方程的概念.【解題過程】（1）是一元二次方程 該方程的二次項系數(shù)為、一次項系數(shù)為k+1、常數(shù)項為-2. （2）是一元一次方程 【思路點撥】根據一元二次方程和一元一次

13、方程的概念分別列不等式（組）求解.【答案】(1)k1，k+1，-2；（2）k=1練習5. 已知關于x的方程 當_時，是一元二次方程 當_時，是一元一次方程 【知識點】一元二次方程和一元一次方程的概念【解題過程】是一元二次方程 是一元一次方程 【思路點撥】根據一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解.【答案】【設計意圖】加強對一元二次方程和一元一次方程概念的理解例6.已知方程x2+bx+a=0有一根為-a，（a0） 則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（ ） A.ab B. C. a+b D.a-b【知識點】一元二次方程的根的概念【解題過程】有一根為 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方

14、程成立的未知數(shù)的值，所以將根代入原方程.【答案】D練習6一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0） (1)滿足a+b+c=0 時，有根x=_.(2)滿足a-b+c=0 時，有根x=_.(3)滿足c=0 時，有根x=_.【知識點】一元二次方程的根的概念【解題過程】（1）當時，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a+b+c=0 時，有根x=1.（2）當時，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a-b+c=0 時，有根x=-1.（3）當時，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足c=0 時，有根x=0.【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶

15、回原方程.【答案】（1）；（2）；（3）【設計意圖】加強對一元二次方程的根的概念的理解和應用.2. 課堂總結知識梳理1. 一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.3. 一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.重難點歸納1. 一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0，其一般形式為：.2.一元二次方程特殊形式有：；3.判斷一個方程是否是一元二次方程的依據：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；

16、(3)含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程4.只有一元方程的“解”可以說成“根”.5.判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等6.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當a+b+c=0 時，有根x=1；當a-b+c=0 時，有根x=-1；當c=0時，有根x=0.（三）課后作業(yè) 基礎型 自主突破1下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）Aax2+bx+c=0Bx2+2x=x21C3（x+1）2=2（x+1）D2=0【知識點】一元二次方程的概念【解題過程】A.可能，不是

17、一元二次方程. B.化成一般形式，不是一元二次方程. C.化成一般形式，是一元二次方程. D.不是整式方程.【思路點撥】一元二次方程的特點：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個數(shù)是1，最高次數(shù)是2.【答案】C2. 一元二次方程的一般形式是 （ ）A. ax2bxc0B. ax2bxc(a0)C. ax2bxc0(a0)D. ax2bxc0(b0)【知識點】一元二次方程的一般形式【解題過程】一元二次方程的一般形式【思路點撥】提示：抓住一元二次方程的三個特征：整式方程；只含一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 【答案】C3. 若px23xp2p0是關于x的一元二次方程，則 （ ）A. p1B. p0C.

18、 p0D. p為任意實數(shù)【知識點】一元二次方程的一般形式【解題過程】一元二次方程的一般形式【思路點撥】二次項系數(shù)不為0.【答案】C 4. 關于x的一元二次方程（3x）（3x）2a（x1）5a的一次項系數(shù)為 （ ）A. 8aB. 8aC. 2aD. 7a9【知識點】一元二次方程的一般形式【解題過程】首先把方程整理為一般形式為x22ax7a90，其中一次項系數(shù)為2a.【思路點撥】一元二次方程的一般形式【答案】C5. 若方程（m24）x23x50是關于x的一元二次方程，則 （ ）A. m2B. m2C. m2，或m2 D. m2，且m2【知識點】一元二次方程的概念【解題過程】二次項系數(shù)m240【思路

19、點撥】一元二次方程的一般形式【答案】D6. 已知0是關于x的方程（m3）x2x9m20的根，則m .【知識點】方程的根【數(shù)學思想】分類討論【解題過程】【思路點撥】此題分兩種考慮. 當m30時，方程化為一元一次方程；當m30時，方程化為一元二次方程.【答案】能力型 師生共研7. 當m 時，方程（m1）x2(2m1)xm0是關于x的一元一次方程；當m 時，上述方程才是關于x的一元二次方程.【知識點】一元二次方程和一元一次方程的概念【解題過程】一元一次方程（m1）x2(2m1)xm0 一元二次方程（m1）x2(2m1)xm0 【思路點撥】根據一元二次方程和一元一次方程的概念列方程或不等式求解.【答案

20、】8.已知x1是一元二次方程ax2bx400的一個根，且ab，求的值.【知識點】一元二次方程的根的概念和分式的化簡求值【數(shù)學思想】整體思想【解題過程】有一根為 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程。【答案】20探究型 多維突破9若b（b0）是方程x2+cx+b=0的根，則b+c的值為（）A1 B1 C2D2【知識點】一元二次方程的根【解題過程】有一根為 【思路點撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程.【答案】B10.關于x的一元二次方程(m+2) 2x2+3m2x+m2-4=0有一個根為0，則2m2-4m+3=_?！局R點】一元二次方程的根，代數(shù)式求值.【解題過程】有一根為 【思路點撥】先根據一元二次方程的根的概念求出m的值，再求出代數(shù)式的值.【答案】3自助餐1若方程(m2)x|m|3mx10是關于x的一元二次方程，則m_.【知識點】一元二次方程的概念【解題過程】【思路點撥】根據一元二次方程的概念列不等式組求