第三章 行波法

1、第三章 行波法與積分變換法二、積分變換法二、積分變換法主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、行波法、行波法 本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問題的方法，本章我們將介紹另外兩個(gè)求解定解問題的方法，一是一是行波法行波法，一是，一是積分變換法積分變換法。行波法行波法只能用于只能用于求解求解無界域內(nèi)波動(dòng)方程無界域內(nèi)波動(dòng)方程的定解問題，的定解問題，積分變換法積分變換法不受方程類型的限制，主要用于無界域，但對(duì)有不受方程類型的限制，主要用于無界域，但對(duì)有界域也能用。界域也能用。 在第二章中，我們較為詳細(xì)地討論了在第二章中，我們較為詳細(xì)地討論了分離變換分離變換法法，它是求解，它是求解有限域有限域內(nèi)定解問題的一個(gè)常用方法，內(nèi)定解

2、問題的一個(gè)常用方法，要求解的區(qū)域很規(guī)則要求解的區(qū)域很規(guī)則 ,對(duì)三種典型的方程均可運(yùn)用。對(duì)三種典型的方程均可運(yùn)用。3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式 我們知道，要求一個(gè)常微分方程定解問題的特解，常用我們知道，要求一個(gè)常微分方程定解問題的特解，常用的方法是先求出方程的通解，然后利用定解條件確定通解中的方法是先求出方程的通解，然后利用定解條件確定通解中的任意常數(shù)得到特解。的任意常數(shù)得到特解。 對(duì)于偏微分方程能否采用類似的方法呢？一般說來是不行的，對(duì)于偏微分方程能否采用類似的方法呢？一般說來是不行的， 原因之一是在偏微分方程中很難定義通解的概念；原因之一是在偏微分方程中很難定義通

3、解的概念； 原因之二是即使對(duì)某些方程能夠定義并求出它的通解，原因之二是即使對(duì)某些方程能夠定義并求出它的通解，但此通解中包含有任意函數(shù)，要由定解條件確定出這些但此通解中包含有任意函數(shù)，要由定解條件確定出這些任意函數(shù)是很困難的，任意函數(shù)是很困難的， 但事情總不是絕對(duì)的，在少數(shù)情況下不僅可以求出偏微分但事情總不是絕對(duì)的，在少數(shù)情況下不僅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函數(shù)的解），而且可以由通解求方程的通解（指包含有任意函數(shù)的解），而且可以由通解求出特解。出特解。行波法行波法適用范圍：適用范圍： 無界域內(nèi)波動(dòng)方程無界域內(nèi)波動(dòng)方程基本思想基本思想： 先求出偏微分方程的通解先求出偏微分方程的通解(含

4、有任意函數(shù)含有任意函數(shù))，然后用定解，然后用定解條件確定這些函數(shù)，得出特解。這一思想與常微分方程的解法條件確定這些函數(shù)，得出特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。是一樣的。關(guān)鍵步驟關(guān)鍵步驟： 通過變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏通過變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。微分方程。：此區(qū)域?yàn)闊o界域，不可采用分分析離變量法。2222200, -, 0,( ), ( ), -ttuuax ttxuuxxxt 一、無界長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)問題：初值問題（Cauchy問題） ,xatxat作代換 利用復(fù)合函數(shù)求解：導(dǎo)法則可得 uuuxxx1,1,= ,xxaatt ,uu22(

5、)()uuuuuxxx222222()()uuuu 222222uuu 22222222uuuux 22222222(2),uuuuat 同理可得 2=0.u 代入方程可得 = ( ),( ( )uff先對(duì) 求積分可得 是 的任意可 微函數(shù)）21212)( )()( )dfffffuf再對(duì) 求積分可得 （其中 ， 都是任意二次連續(xù)可 微函數(shù)）12()()( , )f xatatx tfxu即 通解表達(dá)式1212( )( )( ),( )( )( ).f xfxxafxafxx再由初始條件可知 1201( )( )( )xf xfxdCa 由第二式積分可得 102011( )( )( ),222

6、11( )( )( ).222xxCf xxdaCfxxda 再利用第一式可得 12( , )()()u x tf xatfxat所以，我們有 001111()( )()( )222222x atx atCCxatdxatdaa 11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 無限長(zhǎng)弦自由振動(dòng)的達(dá)朗貝爾（D Alembert）公式。222222001., -, 0,10, , -1ttuuax ttxuuxtx 例 求 解定問題 解11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 解D Alember：由公式 t 21121x atx

7、atda二、二、 達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用1arctan2x atx ata1 rctan()rctan()2axataxata三、達(dá)朗貝爾公式的物理意義三、達(dá)朗貝爾公式的物理意義11( , )()()( )d22x atx atu x txatxata )(. 122atxfu 的物理意義的物理意義)(2xf)(a假定假定的圖形如圖的圖形如圖所示。所示。 )(ax2uaa )(, 022xfut 221,()tufxa( )bx2ua2a022()ufxatax說明：表示一個(gè)以速度 沿 軸正方向傳播的波2.達(dá)朗貝爾公式的物理意義達(dá)朗貝爾公式的物理意義11( , )()()( )d

8、22x atx atu x txatxata a. 只有初始位移時(shí)， 代表以速度a 沿x 軸正向傳播的波 代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波1( , )()()2u x txatxat()xat()xatb. 只有初始速度時(shí)：假使初始速度在區(qū)間 上非0 ，而在此區(qū)間外恒等于01( , )( )d2x atx atu x ta 11( , )()(),u x txatxat1212( , )()()()()u x tf xatfxatf xataxfxatax總之：表示一個(gè)以速度 沿 軸負(fù)方向傳播的行波，稱為表示一個(gè)以速度 沿 軸正方向傳播的行波，左行波稱為右行波結(jié)論：達(dá)朗貝爾公式表示沿x 軸正

9、、反向傳播的兩列波速為a的行 波的疊加，故稱為行波法。四、四、相關(guān)概念11( , )()()( ) 22x atx atu x txatxatda 1. 依賴區(qū)間：( , ),1xu x txat xatxat xata 解的值完全由 和在區(qū)間上的值唯一確定，而與其他點(diǎn)上的初始條件無關(guān)。稱區(qū)間為點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間。它是由過(x,t)點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在 軸所截得的區(qū)間。xxatxat依賴區(qū)間t( , )P x t12112212122.1,1,( , ),x xxxxataxxxatx xax tx x 決定區(qū)域： 在x軸上任取一個(gè)區(qū)間,過 作一斜率為 的直線，過 作一斜率為-的直線

10、，它們和區(qū)間圍成一個(gè)三角形區(qū)域。此三角形區(qū)域中任一點(diǎn)的依賴區(qū)間都落在的內(nèi)部。1212,x xx x 解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由上的初始條件決定，這個(gè)三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定區(qū)域。x1xxatt1x決定區(qū)域2x2xxat3. 影響區(qū)域: 12121212121212,D, ), ),D,D,D,x xxxat xxatx xx tu x tx xx xux xx x 從的端點(diǎn)出發(fā)作兩條直線連同區(qū)間構(gòu)成區(qū)域 。其中任一點(diǎn)(上函數(shù)值 (的依賴區(qū)間或全部或部分落在區(qū)間之間，而在區(qū)域 外任何一點(diǎn)的依賴區(qū)間都不會(huì)和相交。即 內(nèi)每一點(diǎn) 值或多或少地受上初始數(shù)據(jù)的影響，稱 為區(qū)間的影響區(qū)域.1xx2xt2

11、xxat影響區(qū)域 1xxat11( , )()()( )d22x atx atu x txatxata 1xx2xt2xxat影響區(qū)域1xxatx1xxatt1x決定區(qū)域2x2xxatxxatxat依賴區(qū)間t( , )P x t12xatCxatC特征線xatxat特征變換222220uuatx222(d )(d )0 xat222201 ()0BACaa 雙曲型方程 222xuatu201 00 2(dt)0拋物型方程2222220uuuuuABCDEFuxx yyxy 22(d )2 d d(d )0AyB x yCx特征方程1此方程的積分曲線稱為偏微分方程的特征線(特征曲線)。：特征線只

12、與該方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，與低階項(xiàng)的 系注 ：注2數(shù)無關(guān) 22220uuxy22(d ) +(d )0yx201 10 橢圓型方程 2222200, -, 0,( ), ( ), -ttuuax ttxuuxxxt 1212( , )( )()()fff xatfxatu x t積分得 =12()()f xatfxat由初始條件，確定出 20.u 代入原方程可得 22212()() ,dxadtxatCxatCxatxat，特征方程為 特征曲線 作特征變換 解：用行波法求解定解問題的步驟：2222200, -, 0,( ), ( ), -ttuuax ttxuuxxxt 2,0 xatu

13、xat 第一步：取特征變換將原來的問題化簡(jiǎn) 特征變換 12( , )()()u x tf xatfxat第二步：通過積分求出原方程的通解 12,ff第三步：代入初始條件確定通解中的任意函數(shù)22222200230,0,3,0,.yyuuuyxxx yyuuxxy 求解Cauchy問題：例2.3,xyxy作特征變換 20.u 代入原方程可得 123xyCxyC特征曲線 ，22()23()0dydxdydx第一步：取特征變換將原來的問題化簡(jiǎn) 特征方程: 解：第二步：通過積分求出原方程的通解20.u = ( )uf先對(duì) 求積分可得 212)()( )ufdfff再對(duì) 求積分可得 12( , )(3)(

14、)u x yfxyfxy即 第三步：代入定解條件確定通解中的任意函數(shù)2120120(3 )( )3(3 )( )0yyufxfxxufxfxy 由定解條件可得 22129333(3 ),( ).4444xxfxCfxC從而可得2212333( ),( ).4444xxf xCfxC即 12(3 )( )3fxfxC由第二式積分可得 21212(3 )( )3(3 )( )0fxfxxfxfx222213( , )(3)() =344u x yxyxyxy 例3 求解2222222sin(cos )cos0uuuuxxxxx yyy 解：特征方程為222(d )2sin d d(cos ) (d )0yx x yxx22(dsin d