兩角和與差的三角函數(shù)

1、 第四講兩角和與差的三角函數(shù)第四講兩角和與差的三角函數(shù)1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、變形應(yīng)用.1.若cos（）,cos（）,則tntn的值為()A.B.C.D.1535151213115選A.因?yàn)閏os（）coscossinsin,cos（）coscossinsin,3得2coscos4sinsin，即tntn.1535122.已知，sin,則tn等于()A.B.7C.D.7,23541717選A.因?yàn)?，sin,所以cos,所以tn.所以.,

2、235453431tan114tan()341tan714a 3.的值為()A. 0B.C.2D.sin3cos121222選B.13sin3cos2sincos12122122122sin2sin21234 兩角和與差的三角公式及其應(yīng)用（2010四川卷）（1）證明兩角和的余弦公式C（）：cos（）coscossinsin；由C（）推導(dǎo)兩角和的正弦公式S（）：sin（）sincoscossin.（2）已知431cos,tan,5232 ,求cos( + )（1）證明：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角，它們與單位圓O的交點(diǎn)分別為A，B.則OA（cos，sin），OB（cos，

3、sin）.所以O(shè)AOBcoscossinsin.設(shè)OA與OB的夾角為，由圖（1）和（2）可知2k，所以cos（）cos，所以O(shè)AOBOAOBcoscoscos（），于是，對(duì)任意角，有cos（）coscossinsin.cos（）cos-（）coscos（）sinsin（）coscossinsin.所以cos（）coscossinsin.由易得，cossin,sincos ,22sin()cos2cos2coscossinsinsincoscossin22 故有sin（）sincos+cossin.（2）因?yàn)?，cos,所以sin，因?yàn)?，tn,所以3,24535,2133 1010cos,sin.

4、1010cos()coscossin43 103103 1051051010sona 熟練掌握兩角和與差的三角公式是公式應(yīng)用的基礎(chǔ).考綱要求會(huì)用向量數(shù)量積推導(dǎo)兩角和的余弦公式，并由此得到其他公式.掌握公式的推證及公式之間的相互聯(lián)系是公式記憶的有效方法.在應(yīng)用公式時(shí)，要注意：(1)求三角函數(shù)值時(shí)，要明確變形目標(biāo)和方向.(2)注意角的變換，如等.(3)利用同角關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，要注意根據(jù)角的象限確定函數(shù)值的符號(hào).(4)已知三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意分析角的范圍.,33a1.已知,cos（）,且0.（1）求tn的值；（2）求的值.1314231cos7（1）由,0,得,1cos722214 3sin

5、1 cos177 sin4 37tan4 3cos71所以,于是3133tantantantantan11353341334（2）由0,得0,又因?yàn)閏os（）,所以,所以coscos（）coscos（）sinsin（）,因?yàn)?,所以.2213142133 3sin()1 cos ()114141134 33 31714714223公式的逆用與變用（1）化簡(jiǎn)：.（2）求值：tn20+tn40+tn20tn40.2sin6cos44xx3（1）原式132 2sincos24242 2 cossinsincos34342 2sin4372 2sin12xxxxxx(2)原式=tan(20+40)(1

6、-tan20tan40)+tan20tan40=(1-tan20tan40)+tan20tan40=-tan20tan40+tan20tan40=.3333333（1）輔助角公式實(shí)質(zhì)是兩角和的正弦公式的逆用，這一公式應(yīng)用廣泛，應(yīng)熟練掌握.（2）兩角和與差的正切公式聯(lián)系了tntn與tntn，涉及tntn與tntn的有關(guān)問題，常常要對(duì)正切公式進(jìn)行如下變用：tn+tntn（）（1tntn）.tantantan1tantan)sin(cossinxbaxbxa222.（1）要使有意義，則m的取值范圍是.（2）在ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為.1364cossin225mtan3tanta

7、n2222ACAC（1）填；（2）填.（1）因?yàn)?，所?11，所以.（2）因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，又ABC，所以AC,故,所以11144m364sin65m645m11144m23tantan3tantantan(1 tantan)3tantan22222222233tantan3tantan32222ACACA CACACACAC32CAtan公式的綜合應(yīng)用（2011廣東卷）已知函數(shù)f(x）=，xR（1）求f( )的值；（2）設(shè),求cos(+)的值6312xsin562313102320)(,)(,ff54本題主要同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式及兩角和與差的三角函數(shù)的求值，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及運(yùn)算

8、求解能力.2.25cos()1 sin (),223 24 5sin()1 cos (),229 0.2 212330,141( )3 02.2 已已知知 、 是是的的內(nèi)內(nèi)角角 且且, ,求求（）35,cossin.513cos.ABABCABAB 解解：, ,3cos05A 21cos.2243由由, ,得得AA24sin1 cos.5AA 51sin,132B 5(, ),6若若B ,則則A B 1 1yxO0.50.5656222512cos1sin1().1313BB為銳B必必角角. .cos(coscossinsin）ABABAB3516124.513513655(0,)(, ).66B 【1】解解：, , 為為的的內(nèi)內(nèi)角角，4cos05BBABC由由，得得2cos1045 .2BB 2234sin1cos1( ).55BB31212sin,1,13213A 已已知知 , , 是是的的內(nèi)內(nèi)角角 且且, ,則則（）412,cossin.513cos()A BABCBAAB(60 ,90 )(90