一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 (4)

1、一元二次方程一元二次方程 根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的的解的情況怎樣確定？一元二次方程的的解的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42沒(méi)有實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根000) 04(2422acbaacbbx知識(shí)小競(jìng)賽知識(shí)小競(jìng)賽設(shè)設(shè) x1 、 x2是下列一元二次方程的兩個(gè)根，填寫下表是下列一元二次方程的兩個(gè)根，填寫下表一元二次方程一元二次方程 方程的兩個(gè)根方程的兩個(gè)根 X1+X2 X1X2 X25X6=0 X1= X2= X24

2、X3=0 X1= X2= 2X2X1=0 X1= X2= 3X2X2=0 X1= X2=2313121234651231121323猜想：猜想：根據(jù)所填寫的表格，請(qǐng)你猜想出根據(jù)所填寫的表格，請(qǐng)你猜想出x1 + x2 ， x1 x2與與 方方 程程 的系數(shù)有什么關(guān)系嗎？的系數(shù)有什么關(guān)系嗎？ 證明你們的猜想已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax1x2xacxx21abxx21求證：求證：已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元

3、二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02

4、acbxaxabxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxax求證：求證：abxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxaxacxx21求證：求證：abxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)根分別是 、 。) 0( 02acbxaxacaacbbaacbbaacbbxx2222222144)24()24(ababaacbbaacbbxx2224242221證明證明： 如果一元二次方程如果一元二次方程 的兩個(gè)根分別是的兩個(gè)

5、根分別是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x這就是一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系，也叫，也叫韋達(dá)定理韋達(dá)定理。歸納：歸納： 韋達(dá)韋達(dá)（15401603）是法國(guó)數(shù)學(xué)家,最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理韋達(dá)定理。韋達(dá)最重要的貢獻(xiàn)是對(duì)代數(shù)的推進(jìn)，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展。韋達(dá)用“分析”這個(gè)詞來(lái)概括當(dāng)時(shí)代數(shù)的內(nèi)容和方法。他創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號(hào)，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，著有分析方法入門、論方程的識(shí)別與訂正等多部著作。qxxpxxxxqpxx212121

6、20,則：，的兩根為若方程特別地：推論：鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練: 1.下列方程兩根的和與兩根的積各是多少下列方程兩根的和與兩根的積各是多少(不解方程）不解方程）（1 1）x x2 2- -3 3x+1=0 x+1=0 （2 2）3x3x2 2-2x=2-2x=2（3 3）2x2x2 2+ +3 3x=0 x=0 （4 4）3x3x2 2=1=1已知方程已知方程 的兩根之和的兩根之和與兩根之積相等，那么與兩根之積相等，那么m m的值為（的值為（ ） A.1A.1 B.-1 B.-1 C. 2 C. 2 D. -2 D. -2方程方程 的兩根和為的兩根和為4 4，積為，積為 -3-3，則，則a=a= ，

7、b=b= 。xmxm2210()2202xaxbB8-3x x2 2+kx-6=0+kx-6=0的一個(gè)根是的一個(gè)根是2 2，求，求它的另一個(gè)根及它的另一個(gè)根及k k的值。的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根是解：設(shè)方程的另一個(gè)根是x1那么 2x1=- x1=-.又（-）+2=- k=-5 （-）+2 =-7答：方程的另一個(gè)根是-，k的 值是-7。運(yùn)用運(yùn)用1 1、求方程另一個(gè)根及、求方程另一個(gè)根及k k的值的值2.2.已知已知 是方程是方程x x2 2+mx+7=0+mx+7=0的的一個(gè)根一個(gè)根, ,則則m=_,m=_,另一根另一根為為_(kāi). _. 3- 2已知方程已知方程3 x x2 2-19x+m=0-

8、19x+m=0的一個(gè)根的一個(gè)根是是1 1，它的另一個(gè)根是，它的另一個(gè)根是 ，m m的的值是值是 。例例3、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個(gè)根的；（兩個(gè)根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒數(shù)和）倒數(shù)和01322xx解：設(shè)方程的兩個(gè)根是解：設(shè)方程的兩個(gè)根是x1 x2那么 x1+x2 = x1x2=3212=（-）2-2（-）=（1）（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 (2)1212123112312xxxxxx運(yùn)用運(yùn)用2 2：求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值：求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值設(shè)設(shè) x

9、1 、 x2是方程是方程 的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的 關(guān)系，求下列各關(guān)系，求下列各式的值：式的值：22430 xx12(1)(1)xx（1）（2）2112xxxx （3 3）331212+x xx x2112+1+1xxxx（4 4）練習(xí)：練習(xí)： 2、若關(guān)于若關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程 的的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是 , ,且滿足且滿足 . .求求k k的的值值. . 22430 xkxk12,x x1212xxx x運(yùn)用運(yùn)用3 3 根的判別式與根系關(guān)系的根的判別式與根系關(guān)系的 綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用1 1、已知方程、已知方程x x2 2+(2k+1)x+k+

10、(2k+1)x+k2 22=02=0的兩實(shí)根的兩實(shí)根的平方和等于的平方和等于1111，求，求k k值。值。已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方程的方程 kxkx2 2-2(-2(k k+1)+1)x x+ +k k-1=0 -1=0 有兩有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 求求k k的取值范圍；的取值范圍；是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù)k k，使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于的倒數(shù)和等于0 0 ？若存在，求出？若存在，求出k k的值；的值；已知一元二次方程已知一元二次方程 。當(dāng)。當(dāng)b b為何值時(shí)，方程有一正、一負(fù)兩個(gè)根？為何值時(shí)，方程有一正、一負(fù)兩個(gè)根？ 210200 xxb 2.2.應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，首先要應(yīng)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，首先要把已知方程化成一般形式。把已知方程化成一般形式。 3.3.應(yīng)用