大學(xué)物理：第2-3章 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)（Dynamics of Particles）

1、二-三、 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)（Dynamics of Particles）引言引言：前一章對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動進(jìn)行了描述，此章介紹：前一章對質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動進(jìn)行了描述，此章介紹 質(zhì)點(diǎn)為什么會處在某種狀態(tài)以及這種狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)為什么會處在某種狀態(tài)以及這種狀態(tài) 為什么會改變。為什么會改變。 1687年牛頓提出了牛頓三定年牛頓提出了牛頓三定律解決了此問題。是否沒有必律解決了此問題。是否沒有必要再講？要再講？(一一)牛頓定律的表述及其意義牛頓定律的表述及其意義自由物體永遠(yuǎn)保持靜止或勻速直線動狀態(tài)。自由物體永遠(yuǎn)保持靜止或勻速直線動狀態(tài)。由于自然界的相互作用力有一共同特點(diǎn)：由于自然界的相互作用力有一共同特點(diǎn)：相距越遠(yuǎn)作用力越

2、小相距越遠(yuǎn)作用力越小，故當(dāng)一個物體距其，故當(dāng)一個物體距其它物體足夠遠(yuǎn)時，或其它物體對該物體的它物體足夠遠(yuǎn)時，或其它物體對該物體的相互作用力相互抵消時均可視為自由物體相互作用力相互抵消時均可視為自由物體-如遠(yuǎn)在天的邊慧星。如遠(yuǎn)在天的邊慧星。 a）自由物體自由物體-凡不受其它物體凡不受其它物體 作用的物體。作用的物體。 b）說明物體具有慣性）說明物體具有慣性-不受外力時物體都不受外力時物體都 有保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)的性質(zhì)。有保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)的性質(zhì)。1）牛頓第一定律）牛頓第一定律 c 說明力是引起物體運(yùn)動狀態(tài)改變的原因。說明力是引起物體運(yùn)動狀態(tài)改變的原因。任一時刻物體動量的變化率總是

3、等于物體任一時刻物體動量的變化率總是等于物體所受的合外力。所受的合外力。v當(dāng)當(dāng)C時：時：m=c o n s tamdtvdmF 或或mFai 2）牛頓第二定律牛頓第二定律 （牛頓當(dāng)年發(fā)表形式）（牛頓當(dāng)年發(fā)表形式）iFFdtpd說明說明：a ）定律定量地說明了力的效果）定律定量地說明了力的效果-改變物體的動量。物體動量的變化率一定等改變物體的動量。物體動量的變化率一定等于物體所受的合外力。于物體所受的合外力。dtvmd)( b） 定量地說明了物體質(zhì)量是物體慣性大小的定量地說明了物體質(zhì)量是物體慣性大小的量度。量度。F相同的條件下，質(zhì)量大的物體加速度小，質(zhì)相同的條件下，質(zhì)量大的物體加速度小，質(zhì)量小的

4、加速度大，說明質(zhì)量越大的物體越難量小的加速度大，說明質(zhì)量越大的物體越難改變運(yùn)動狀態(tài)。即質(zhì)量是物體慣性大小的量改變運(yùn)動狀態(tài)。即質(zhì)量是物體慣性大小的量度。度。1m2mF1221mmaa 若定義若定義m1為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，為標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量，便可測定其它物體的便可測定其它物體的質(zhì)量。定量地給出了質(zhì)量。定量地給出了其它物體的質(zhì)量。其它物體的質(zhì)量。F1a2a注意注意：a）要注意定律的瞬時性）要注意定律的瞬時性-力的作用力的作用與加速度是瞬時對應(yīng)的。與加速度是瞬時對應(yīng)的。 Fb ）要注意定律的矢量性）要注意定律的矢量性-定律中定律中的力和加速度都有是矢量。的力和加速度都有是矢量。今天今天a明天明天寫出其分量式為：寫出其

5、分量式為：直角坐標(biāo)系 i)222222dtzdmdtdvmmaFdtydmdtdvmmaFdtxdmdtdvmmaFzzzyyyxxx自然坐標(biāo)系 ii)2vmmaFdtdvmmaFnn222zyxFFFF22nFFF力的獨(dú)立性原理：什么方向的力只產(chǎn)生什么方力的獨(dú)立性原理：什么方向的力只產(chǎn)生什么方向的加速度而與其它方向的受力及運(yùn)動無關(guān)。向的加速度而與其它方向的受力及運(yùn)動無關(guān)。XYOA水平方向不受力作勻速直線運(yùn)動，水平方向不受力作勻速直線運(yùn)動，豎直方向受重力只產(chǎn)生豎直方向的豎直方向受重力只產(chǎn)生豎直方向的加速度而不影響水平方向的運(yùn)動，加速度而不影響水平方向的運(yùn)動，水平方向不受力的情況也不影響到水平方

6、向不受力的情況也不影響到豎直方的運(yùn)動。因此平拋運(yùn)動可以豎直方的運(yùn)動。因此平拋運(yùn)動可以看看作水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎作水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動的疊加直方向的自由落體運(yùn)動的疊加。這。這就是就是運(yùn)動的疊加原理運(yùn)動的疊加原理。 c ）使用時應(yīng)注意單位制）使用時應(yīng)注意單位制 S I 制中：制中：F牛頓牛頓 m千克千克a-2米 秒V0g3)牛頓第三定律牛頓第三定律物體物體A以力以力 作用在物體作用在物體B上上,物體物體B必定同時必定同時以力以力 作用在作用在A上上, 作用在同一直線上作用在同一直線上且大小相等且大小相等.方向相反方向相反,無主從之分。無主從之分。2F1F21.FF或

7、；一對作用力反作用力總是大小相等、或；一對作用力反作用力總是大小相等、方向相反、作用在同一直線上不同物體上。方向相反、作用在同一直線上不同物體上。2112FF -mg地心地心mgFFNN注意：注意： 、 作用力反作用力無主從之分、先作用力反作用力無主從之分、先 后之分、同時產(chǎn)生、同時消失。后之分、同時產(chǎn)生、同時消失。2、作用力、反作用力總是作用在不作用力、反作用力總是作用在不同的物體上，不會抵消。同的物體上，不會抵消。3、作用力、反作用力是同性質(zhì)的力作用力、反作用力是同性質(zhì)的力4）牛頓定律適用的參照系）牛頓定律適用的參照系-慣性系慣性系1、牛頓定律不是適用一切參照系、牛頓定律不是適用一切參照系

8、意義：意義：說明了力的起源是物體的相互作用。說明了力的起源是物體的相互作用。即：作用力、反作用力要滿足：即：作用力、反作用力要滿足： 等大、反向、共線、同時、同等大、反向、共線、同時、同性、作用在不同物體上。性、作用在不同物體上。 BA靜止時靜止時a)牛頓定律不是適用一切參照系牛頓定律不是適用一切參照系火車加速時：地面上的人看來火車加速時：地面上的人看來A物體不受力由于慣物體不受力由于慣性而相對地球不動，性而相對地球不動，B物體由于受力而作加速運(yùn)動，物體由于受力而作加速運(yùn)動，符合牛頓定律。而火車上的人以火車作參照系看來符合牛頓定律。而火車上的人以火車作參照系看來A物體不受力，而作加速運(yùn)動，物體

9、不受力，而作加速運(yùn)動，B物體受力，而相對物體受力，而相對火車靜止，不符合牛頓定律?；疖囲o止，不符合牛頓定律。物體沒有不受力而保物體沒有不受力而保持靜止或勻速直線運(yùn)動的性質(zhì)持靜止或勻速直線運(yùn)動的性質(zhì)，當(dāng)然無慣性可言。，當(dāng)然無慣性可言。對火車這個參照系而言，牛頓定律不成立！對火車這個參照系而言，牛頓定律不成立！BAaFab）牛頓定律適用的參照系）牛頓定律適用的參照系-慣性系慣性系自由物體可以作為慣性系，但實(shí)際上并不存在絕對自由物體可以作為慣性系，但實(shí)際上并不存在絕對不受力的物體，因此這個不受力的物體，因此這個 問題成為一個實(shí)踐性的問問題成為一個實(shí)踐性的問題。實(shí)驗(yàn)表明：題。實(shí)驗(yàn)表明： a、地球、太陽

10、可以看作近似的慣性系（恒星）、地球、太陽可以看作近似的慣性系（恒星）b、相對慣性系作勻速直線運(yùn)動的參照系也、相對慣性系作勻速直線運(yùn)動的參照系也 是慣性系是慣性系地球地球日日al a11!2lMa例：如圖，有一條長為 質(zhì)量為的均勻分布的鏈條成直線狀放在光滑的水平桌面上。鏈子的一端有極小的一段（長為 ）被推出桌子邊緣，在重力作用下從靜止開始下降，試求：（）鏈條剛離開桌面時的速度。（要求用牛頓第二定律做 ）（ ）若鏈條與桌面有摩擦并設(shè)摩擦系數(shù)為 ，問鏈條必需垂下多長時才能開始下滑。，如圖段的拉力向僅受段在水平方。、加速度分別為段。兩部分的質(zhì)量和長，為段，已下垂為條為時刻，留在桌面上的鏈）設(shè)在解：（)

11、(12121aTBCABaammBCxABtABT1aN)(a圖段有：由牛頓第二定律，對AB) 1 (1111dtdvmamTgm1。如圖與重力段的拉力段在豎直方向受)(,2bgmTABBCBC2aTgm2段有：據(jù)牛頓第二定律對BC)2(22222dtdvmamTgm)3(21dtdvdtdvdtdv因繩不可伸長，有：)4(TTglxgmmmdtdv212聯(lián)立上四式有：dx兩邊乘以gdxlxdxdtdvgdxlxdxdtdvvdtdxxdxlgvdv 故有：lavxdxlgvdv0)(22allgv速度為：則鏈條剛離開桌面時的）中四個方程改為：，則（的摩擦力為到桌面時鏈條開始下滑，考慮設(shè)當(dāng)下垂

12、長度為1)2(fd)4()3()2() 1 (21222221111TTdtdvdtdvdtdvdtdvmamTgmdtdvmamfT）（聯(lián)立解得：fgmmmdtdv2211）（gmgmmm12211，求鏈條要開始下滑，則要0dtdv12mm即dldmm12因?yàn)?(dld所以ld1由此可得*例例2、如圖所示，一根均質(zhì)柔繩，單位長度的質(zhì)、如圖所示，一根均質(zhì)柔繩，單位長度的質(zhì) 量為量為 ，盤繞在一張光滑的水平桌子上。，盤繞在一張光滑的水平桌子上。 、設(shè)在、設(shè)在t=0時時 y=0, 今以恒定的加速度今以恒定的加速度a 豎直向上提繩。當(dāng)提起的高度為豎直向上提繩。當(dāng)提起的高度為y時時,作用作用 在繩端的

13、力為多少？在繩端的力為多少？0vv、以一恒定的速、以一恒定的速 率率 豎豎 直向上提繩子時，當(dāng)提直向上提繩子時，當(dāng)提 起高度為起高度為y時作用在繩端時作用在繩端 的力又是多少？的力又是多少？FF 、以恒力、以恒力F豎直向上提，豎直向上提， 當(dāng)提起高度為當(dāng)提起高度為y時繩端時繩端 的速度又是多少？的速度又是多少？ YOFFYO已知：已知：t=0時，時，y=00vconsta constv 求求h= y時時,?F求求高度高度y時時,?FconstF 求求高度高度y時時,?v解：以鏈條整體作為研究解：以鏈條整體作為研究 對象。以地面為參照對象。以地面為參照 系建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)OYym1 gm2 g

14、) 1 ()(2ygFdtvmd)2()(ygFdtyvdN分析：因力等于動量的變化分析：因力等于動量的變化鏈條動量的變化只是被拉起來的的部分，在桌面鏈條動量的變化只是被拉起來的的部分，在桌面上的部分動量總是為零。故有：上的部分動量總是為零。故有：(N與與m1g 抵消抵消)FFYO已知：已知：t=0時，時，y=00vconsta 求求y=h時時,?Fhm1 gm2 gygFdtdvydtdyv)2()(ygFdtyvdNygFyav2)3()(2yavygF討論：討論：consta ayv22yagF)3(FFYOhm1 gm2 gN)3()(2yavygF討論：討論：是變化的vaconstF

15、 )(2vygFoa constv dtdydydvdtdvadydvv)(212vdyd)4()(2122ygFdyvdyvFFYOhm1 gm2 gN同同/2y222222)(2gyyFdyvdyyv)32()(3222gyyFdydyvdyd) 4()(2122ygFdyvdyvFYOhm1 gN)32()(3222gyyFdydyvdyd323222gyyFdyvdCgyyFyv322232兩邊積分：兩邊積分：代入初始條件：代入初始條件：t=0時，時，y=00v得得C=032321gyyFyvgyFv32aFbsdsFfsAcos):(的夾角正向小于或等于與SF:ba到質(zhì)點(diǎn)由,dsF取

16、力元位移作功dAF ds元 功作功總和為整個過程FbaAdAF ds作功恒力對沿直線運(yùn)動物體).1 (作功變力對沿曲線運(yùn)動物體).2(合力的功).3(sdFAba總sdFFFban).(21sdFsdFsdFbanbaba.21nAAA.21分力的功的代數(shù)和合力的功等于各功率表示作功的快慢).4(a、平均功率tAPb、瞬時功率dtdAP 力的瞬時功率：c、dtdAP dtdsFcosdtdsFcosvFcosvF、動能和動能定理2FFabnFavbv等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功初末kkabEEAdsFdsFAbabaabcosdsdtdvmdsmababa221221abvvmvmv

17、mvdvbakakbEE、保守力和非保守力1萬有引力的功) 1 (與路徑無關(guān)Maarbbrmsddr2rmMGf dsfdAcoscos)180cos(fdsdsffdrfbarrbarrGmMdrrmMGA)11(2)()(barmMGrmMG初末重力的功與路徑無關(guān). 2重力的功)2(與路徑無關(guān)abxyzoahbh)()(bahhababhhmghhmgmgdzAba初末abxo0l彈簧彈性力作的功)3(與路徑無關(guān)點(diǎn)彈性力作的功點(diǎn)到小球由babaxxabxdFAbaxxkxdx22222121)(21baabkxkxxxk初末稱之為保守力。而與所經(jīng)路徑無關(guān)，則體的始末位置，如果力作功僅與運(yùn)動

18、物力等。還有，靜電場力、分子有引力都是保守力重力、彈簧彈性力、萬摩擦力的功)4(與路徑有關(guān)abmm1S2Sff1L2LmgfmgdsdA摩擦力所作元功：運(yùn)動，摩擦力所作的功沿路徑1L11LLmgdsA1mgS：運(yùn)動，摩擦力所作的功沿路徑2L222mgSmgdsALL稱為非保守力作功與路徑有關(guān)的力是磁力、火藥爆炸力等亦摩擦力是非保守力，、勢能2功。負(fù)值等于保守力所作的作用下，勢能的增量的定義：質(zhì)點(diǎn)在保守力的)(abPPEEA保能零點(diǎn)選取有關(guān)）在某點(diǎn)的勢能：（與勢勢能零點(diǎn)保保aPsdFAEa功勢能零點(diǎn)的保守力所作從該點(diǎn)經(jīng)任意路徑到選取無關(guān)勢能之差卻與勢能零點(diǎn)選取有關(guān)某點(diǎn)的勢能與勢能零點(diǎn)2211kx

19、ErGMmEmghEPPP彈性勢能：引力勢能：重力勢能：常見勢能函數(shù)：彈引重0kikiiEEA0knknnEEA2022kkEEA1011kkEEA動能定理：對質(zhì)點(diǎn)組中每個質(zhì)點(diǎn)用 質(zhì)點(diǎn)組力）內(nèi)力（質(zhì)點(diǎn)間相互作用質(zhì)點(diǎn)組受到外力和0kkiEEAAA內(nèi)外00ikikikkAEEEEPPEEAAAA0保內(nèi)非保內(nèi)保內(nèi)內(nèi)00)(kkPPEEAEEA非保內(nèi)外0)()(00EEEEEEAAPkPk非保內(nèi)外即：保守內(nèi)力的功的代數(shù)和于它所受一切外力和非點(diǎn)組機(jī)械能的增量，等質(zhì)點(diǎn)組的功能原理：質(zhì)功的計(jì)算求力作的功應(yīng)用）已知：（sdFAFFxFF),(),(1dhh1h0h331 10/kg m 解：已知水的密度。gh

20、dmdAdm元功：質(zhì)量的水抽到地面需作將SdhdmSghdhdA23:50,1.55.0mmm例一地下蓄水池，面積為貯水深度為。假定水平面低于地面的高度是。問要將這池水全部吸到地面，需作功多少？100hhhdAA地面需作功：將蓄水池中水全部吸到100hhhSghdh)2(211021hhhSg)(1023. 4)5 . 10 . 525 . 1 (8 . 95010121623JABORNvddsfmgsinmgcosmg解：以物體為研究對象析任取一位置進(jìn)行受力分的過程中，到在物體由BAdtdvmfmgcos向有：根據(jù)牛頓第二定律沿切dtdvmmgfcos是變力f4mABBvRAB例 ：質(zhì)量為

21、 的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著四分之一的圓周從 滑到（如圖）。在 處速度的大小是 ，已知圓的半徑為 ，用作功定義求物體從 到 摩擦力所作的功。摩擦力所作元功：物體經(jīng)過位移元dsfdsdAdsdtdvmmg)cos(過程摩擦力所作的功：到由BAdAAdsdtdvmdsmg)()cos(dvdtdsmdRmgv020cosdvmvmgRv0221mvmgR作的功。力到求從應(yīng)用動能定理已知：FttmvmvAtrrtFF2121222121),(),()2(,3vs末的速度為解：設(shè)物體在maF 根據(jù)牛頓第二定律：dtdva mF10242t2510042 ()3mkgxtFtNsF例 ：質(zhì)量為的

22、物體沿 軸無摩擦地運(yùn)動，時，速度為零。設(shè)物體在的作用下運(yùn)動，經(jīng)歷了 ，求力 對質(zhì)點(diǎn)作的功。dttdv10242分離變量3020)1024(dttdvv兩邊積分)/(3smv 得：222121mvvmA由動能定理得)(450310212JdyFAdxFAFAAAjFiFFyyxxyxyx作的功，其中求力應(yīng)用）合力的功。已知：（,3taxcos解：由題設(shè)知：22dtxdax則tacos2x2xmmaFxx26cossin,02mratibtj abtt例 ：已知一質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動，其運(yùn)動方程為、 、 均為正常量，試求在到時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受合外力的功。02cos20cos0axtaaxt時，

23、時，02axxdxmA2221matbysin同理：22dtydayytb22sinymmaFyy2bbytbyt2sin200sin0時，時，dyFAyy220221mbydymb)(21222bamAAAyx故合外力作功：dxFAxxxdxm2ABORv）用功能原理計(jì)算功。（4用功能原理求點(diǎn)處為重力勢能零點(diǎn)。以統(tǒng)，解：取物體與地球?yàn)橄礏mgRE 1mgREEAPk11, 0點(diǎn)，初態(tài)：在0,21222PkEmvEB點(diǎn)，末態(tài)：在2221mvE mgRmvAEEA21221得：用功能原理7mABBvRAB例 ：質(zhì)量為 的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著四分之一的圓周從 滑到（如圖）。在 處速度的

24、大小是 ，已知圓的半徑為 ，用作功定義求物體從 到 摩擦力所作的功。*例例8:一條均勻鏈條，質(zhì)量為一條均勻鏈條，質(zhì)量為m， 總長總長 成直線成直線 狀放在桌上，設(shè)桌面與鏈條之間的摩擦系數(shù)為狀放在桌上，設(shè)桌面與鏈條之間的摩擦系數(shù)為 ?，F(xiàn)已知鏈條下垂長度為?，F(xiàn)已知鏈條下垂長度為a時，鏈條開始下滑時，鏈條開始下滑 ，試計(jì)算鏈條剛巧全部離開桌面時的速率。，試計(jì)算鏈條剛巧全部離開桌面時的速率。laal,已知：已知：v求：求：解：方法解：方法1：利用動：利用動能定理能定理v以鏈條為研究對象以鏈條為研究對象0212mvAAfWNxYygfavfmgxY求重力的功：求重力的功：ygdydAW)/(lmNlaW

25、gydyA)(2122alg)(222allmg求摩擦力的功：求摩擦力的功：0lafAfdxalfdx0alxgdx02)(2alg2)(2allmgavfmgxY)/(lmN)(222allmgAW2)(2allmgAf0212mvAAfW代入動能定理：代入動能定理：)(222allmg2)(2allmg221mv)()(222alallgvavfmgxYlm/2)(2allmgAf12EEAf方法方法2：以鏈條和地球?yàn)椋阂枣湕l和地球?yàn)檠芯繉ο?，由功能原理：研究對象，由功能原理?2()(1alagglalE22212mvlmgE以鏈條以鏈條剛巧全部離開桌面時剛巧全部離開桌面時鏈條底端為勢能

26、零點(diǎn)鏈條底端為勢能零點(diǎn))(al lavfmgxY)(lmN2)(2allmgAf12EEAflalgE)(122212mvlmgE)()(222alallgv2)(2allmg)212(2mvlmg()()2ag la lga l)2(algal角動量動量、沖量1的積累效應(yīng)）沖量（力在一段時間內(nèi)) 1 ()(12ttFI)(tF若變力?dtFId內(nèi)沖量：在變力dttF )(內(nèi)沖量：在變力12)(tttF21ttdtFI：對恒力F合力的沖量：21ttdtFI 21)(ttidtF 21)(ttidtFiI沖量的矢量和合力的沖量等于各分力動量)2(vmP角動量)3(mLroP角動量定義：vmrPr

27、Lsin rmvL 大小：右手螺旋方向： 特例OLrP2sinrPPrLrmv角動量定理、動量定理、2動量定理) 1 (質(zhì)點(diǎn)動量定理a、a1v2vbm)(tFvdtvdmamFdt兩邊乘)( vmdvmddtF動量定理微分形式兩邊積分122121)(vmvmvmddtFvmvmtt積分形式12PPI用沖量表示：直角坐標(biāo)）：動量定理的分量形式（121212212121zzttzzyyttyyxxttxxPPdtFIPPdtFIPPdtFI質(zhì)點(diǎn)組動量定理b、PddtF外122121PPPddtFPPtt外微分形式積分形式角動量定理)2(點(diǎn)所受的合外力決定的量的時間變化率是由質(zhì)由動量定理知：質(zhì)點(diǎn)動d

28、tPdF外率？質(zhì)點(diǎn)角動量的時間變化兩邊求導(dǎo)對vmrLdtvmrddtLd)(vmdtrddtvmdr)(0vmvvmdtr d)()(dtdmvdtvdmrdtvmdrdtLddtvmdF)(FrdtLd得：FrMdtLdM注：的位矢）的作用點(diǎn)對參考點(diǎn)是力（其中，的力矩對參考點(diǎn)稱為力OFrOFFrM) 1 (方向：右手螺旋力矩的大?。簊inFrM 。的慣性系是固定不動的而且這參考點(diǎn)對于所選而言，必須是相對同一參考點(diǎn)與中LMdtLdM)3(性系中才成立。角動量定理也只有在慣頓第二定律導(dǎo)出，所以由于角動量定理是由牛)2(0EEAA非保內(nèi)外功能原理：0非保內(nèi)外AA常量0EE條件機(jī)械能守恒定律12PPI動量定理