數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)

1、數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)陳基耿摘要：數(shù)學(xué)發(fā)展從來不是完全直線式的，而是常常出現(xiàn)悖論。歷史上一連串的數(shù)學(xué)悖論動(dòng)搖了人們對數(shù)學(xué)可靠性的信仰，數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)發(fā)生了三次數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)悖論的產(chǎn)生和危機(jī)的出現(xiàn)，不單給數(shù)學(xué)帶來麻煩和失望，更重要的是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮。危機(jī)產(chǎn)生、解決、又產(chǎn)生的無窮反復(fù)過程，不斷推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這個(gè)過程也是數(shù)學(xué)思想獲得重要發(fā)展的過程。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)悖論；數(shù)學(xué)危機(jī)；畢達(dá)哥拉斯悖論；貝克萊悖論；羅素悖論數(shù)學(xué)歷來被視為嚴(yán)格、和諧、精確的學(xué)科，縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)發(fā)展從來不是完全直線式的，他的體系不是永遠(yuǎn)和諧的，而常常出現(xiàn)悖論。悖論是指在某一一定的理論體系的基

2、礎(chǔ)上，根據(jù)合理的推理原則，推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者是證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式1。數(shù)學(xué)悖論在數(shù)學(xué)理論中的發(fā)展是一件嚴(yán)重的事，因?yàn)樗苯訉?dǎo)致了人們對于相應(yīng)理論的懷疑，而如果一個(gè)悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及到整個(gè)學(xué)科的基礎(chǔ)時(shí)，這種懷疑情緒又可能發(fā)展成為普遍的危機(jī)感，特別是一些重要悖論的產(chǎn)生自然引起人們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑以及對數(shù)學(xué)可靠性信仰的動(dòng)搖。數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)發(fā)生過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，每次都是由一兩個(gè)典型的數(shù)學(xué)悖論引起的。本文回顧了歷史上發(fā)生的三次數(shù)學(xué)危機(jī)，重點(diǎn)介紹了三次數(shù)學(xué)危機(jī)對數(shù)學(xué)發(fā)展的重要作用。1畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1.1第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容公元

3、前六世紀(jì)，在古希臘學(xué)術(shù)界占統(tǒng)治地位的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其思想在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是絕對權(quán)威的真理，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派倡導(dǎo)的是一種稱為“唯數(shù)論”的哲學(xué)觀點(diǎn)，他們認(rèn)為宇宙的本質(zhì)就是數(shù)的和諧2。他們認(rèn)為萬物皆數(shù)，而數(shù)只有兩種，就是正整數(shù)和可通約的數(shù)（即分?jǐn)?shù)，兩個(gè)整數(shù)的比）， 除此之外不再有別的數(shù)，即是說世界上只有整數(shù)或分?jǐn)?shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了畢達(dá)哥拉斯定理3，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應(yīng)有如下關(guān)系，即a2=b2+c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。然而不久畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)學(xué)生希伯斯很快便發(fā)現(xiàn)了這個(gè)論斷的問題。他發(fā)現(xiàn)邊長相等的正方形其對角線

4、長并不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示。假設(shè)正方形邊長為1，并設(shè)其對角線長為d，依勾股定理應(yīng)有d2=12+12=2，即d2=2，那么d是多少呢？顯然d不是整數(shù)，那它必是兩整數(shù)之比。希伯斯花了很多時(shí)間來尋找這兩個(gè)整數(shù)之比，結(jié)果沒找著，反而找到了兩數(shù)不可通約性的證明4，用反證法證明如下：設(shè)RtABC，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有c2=2a2，設(shè)已將a和c中的公約數(shù)約去，即a、c已經(jīng)互素，于是c為偶數(shù)，a為奇數(shù)，不妨令c=2m，則有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是a為偶數(shù)，這與前面已證a為奇數(shù)矛盾。這一發(fā)現(xiàn)歷史上稱為畢達(dá)哥拉斯悖論。1.2第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響畢達(dá)哥拉斯悖論的出現(xiàn)，對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)

5、生了沉重的打擊，“數(shù)即萬物”的世界觀被極大的動(dòng)搖了,有理數(shù)的尊崇地位也受到了挑戰(zhàn)，因此也影響到了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響是巨大的，它極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。首先，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們第一次認(rèn)識到了無理數(shù)的存在，無理數(shù)從此誕生了，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論5，為數(shù)學(xué)分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。再者，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，并由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就

6、是人們?yōu)榱讼?，解除危機(jī)，在這時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的6。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展,使幾何學(xué)在此后兩千年間成為幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，這不能不說是數(shù)學(xué)思想史上的一次巨大革命。2貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)2.1第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容公元17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現(xiàn)象，它在自然科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的重要作用引起人們高度的重視。然而，因?yàn)槲⒎e分才剛剛建立起來，這時(shí)的微積分只有方法，沒有嚴(yán)密的理論作為基礎(chǔ)，許多地方存在漏洞，還不能自圓其說。例如牛頓當(dāng)時(shí)是這樣求函數(shù)yxn的導(dǎo)數(shù)的7：（xx）nxnn·xn-1·xn（n+1）/2&#

7、183;xn-2·(x)2（x）n，然后用自變量的增量x除以函數(shù)的增量y ，y/x（xx）nxn /xn·xn-1n（n-1）/2 ·xn-2·xn·x·（x）n-2（x）n-1，最后，扔掉其中含有無窮小量x的項(xiàng)，即得函數(shù)y=xn的導(dǎo)數(shù)為y=nxn-1。對于牛頓對導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過程的論述，哲學(xué)家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問題，他一針見血的指出：先用x為除數(shù)除以y，說明x不等于零，而后又扔掉含有x的項(xiàng)，則又說明x等于零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無窮小是“逝去的量的鬼魂”，他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果，說微積分的推導(dǎo)是“分

8、明的詭辯”。8這就是著名的“貝克萊悖論”。確實(shí)，這種在同一問題的討論中，將所謂的無窮小量有時(shí)作為0，有時(shí)又異于0的做法，不得不讓人懷疑。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？貝克萊悖論的出現(xiàn)危及到了微積分的基礎(chǔ)，引起了數(shù)學(xué)界長達(dá)兩個(gè)多世紀(jì)的論戰(zhàn)，從而形成了數(shù)學(xué)發(fā)展史中的第二次危機(jī)。2.2第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響8第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，迫使數(shù)學(xué)家們不得不認(rèn)真對待無窮小量x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機(jī)，無數(shù)人投入大量的勞動(dòng)。在初期，經(jīng)過歐拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進(jìn)展；從19世紀(jì)開始為徹底解決微積分的基礎(chǔ)問題，柯西、外爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論的嚴(yán)格化工作。微

9、積分內(nèi)在的根本矛盾，就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來表現(xiàn)無窮小，從而表現(xiàn)與無窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì)。在解決使無窮小數(shù)學(xué)化的問題上，出現(xiàn)了羅比達(dá)公理：一個(gè)量增加或減少與之相比是無窮小的另一個(gè)量，則可認(rèn)為它保持不變。而柯西采用的方法刻畫無窮小，把無窮小定義為以0為極限的變量，沿用到今，無窮小被極限代替了。后來外爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴(yán)格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎(chǔ)之上了。極限的定義就是用靜態(tài)的刻畫動(dòng)態(tài)極限，用有限量來描述無限性過程，它是從有限到無限的橋梁和路標(biāo)，它表現(xiàn)了有限與無限的關(guān)系，使微積分朝科學(xué)化、數(shù)學(xué)化前進(jìn)了一大步。極限理論的建立加速了微積分的發(fā)展，它

10、不僅在數(shù)學(xué)上，而且在認(rèn)識論上也有重大的意義。后來在考查極限理論的基礎(chǔ)中，經(jīng)過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產(chǎn)生了實(shí)數(shù)理論；在考查實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)時(shí)，康托爾又創(chuàng)立了集合論。這樣有了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論后，微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎(chǔ)之上了，從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭論局面，進(jìn)而開辟了下一個(gè)世紀(jì)的函數(shù)論的發(fā)展道路。3羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)3.1第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的內(nèi)容在前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)解決后不到30年即19世紀(jì)70年代,德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論,集合論是數(shù)學(xué)上最具革命性的理論,初衷是為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1900年，在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家會議上，

11、法國大數(shù)學(xué)家龐加萊興奮的宣布9：“我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對的嚴(yán)格。”然而，正當(dāng)人們?yōu)榧险摰恼Q生而歡欣鼓舞之時(shí),一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來，又?jǐn)嚨脭?shù)學(xué)家心里忐忑不安,其中英國數(shù)學(xué)家羅素1902年提出的悖論影響最大,“羅素悖論”的內(nèi)容是這樣的：設(shè)集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問：B是否屬于B？若B屬于B，則B是B的元素，于是B不屬于自身，即B不屬于B；反之，若B不屬于B，則B不是B的元素，于是B屬于自己，即B屬于B。這樣，利用集合的概念，羅素導(dǎo)出了集合B不屬于B當(dāng)且僅當(dāng)集合B屬于B時(shí)成立的悖論。之后，羅素本人還提出了羅素悖論的通俗版本，即理發(fā)師悖論10。理發(fā)師宣布了這樣一

12、條原則：他只為村子里不給自己刮胡子的人刮胡子。那么現(xiàn)在的問題是，理發(fā)師的胡子應(yīng)該由誰來刮？。如果他自己給自己刮胡子，那么他就是村子里給自己刮胡子的人，根據(jù)他的原則，他就不應(yīng)給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，那么他就是村子里不給自己刮胡子的人，那么又按他的原則他就該為自己刮胡子。同樣有產(chǎn)生了這樣的悖論：理發(fā)師給自己刮胡子當(dāng)且僅當(dāng)理發(fā)師不給自己刮胡子。這就是歷史上著名的羅素悖論。羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。3.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響羅素悖論的出現(xiàn)，動(dòng)搖了本來作為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)集合論，自然引起人們對數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)有效性的懷疑。羅素悖論的高明之處，還在

13、于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出來的，使人們更是無從下手解決。羅素悖論導(dǎo)致的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使數(shù)學(xué)家們面臨著極大的困難。數(shù)學(xué)家弗雷格在他剛要出版的論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)卷二末尾就寫道11：“對一位科學(xué)家來說，沒有一件比下列事實(shí)更令人掃興：當(dāng)他工作剛剛完成的時(shí)候，它的一塊基石崩塌下來了。在本書的印刷快要完成時(shí)，羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地。”可見第三次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們面臨多么尷尬的境地。然而科學(xué)面前沒有人會回避，數(shù)學(xué)家們立即投入到了消除悖論的工作中，值得慶幸的是，產(chǎn)生羅素悖論的根源很快被找到了，原來康托爾提出集合論時(shí)對“集合”的概念沒有做必要的限制，以至于可以構(gòu)造“一切集合的集體

14、”這種過大的集合而產(chǎn)生了悖論。為了從根本上消除集合論中出現(xiàn)的各種悖論，特別是羅素悖論，許多數(shù)學(xué)家進(jìn)行了不懈的努力。如以羅素為主要代表的邏輯主義學(xué)派12，提出了類型論以及后來的曲折理論、限制大小理論、非類理論和分支理論，這些理論都對消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德國數(shù)學(xué)家策梅羅提出的集合論的公理化，策梅羅認(rèn)為，適當(dāng)?shù)墓眢w系可以限制集合的概念，從邏輯上保證集合的純粹性，他首次提出了集合論公理系統(tǒng)，后經(jīng)費(fèi)蘭克爾、馮·諾伊曼等人的補(bǔ)充形成了一個(gè)完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)）5，在ZFC系統(tǒng)中，“集合”和“屬于”是兩個(gè)不加定義的原始概念，另外還有十條公理。ZFC系統(tǒng)的建立，使各種

15、矛盾得到回避，從而消除了羅素悖論為代表的一系列集合悖論，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)也隨之銷聲匿跡了。盡管悖論消除了，但數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步喪失，現(xiàn)代公理集合論一大堆公理是在很難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的，所以第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)7。為了消除第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，數(shù)理邏輯也取得了很大發(fā)展，證明論、模型論和遞歸論相繼誕生，出現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論、類型論和多值邏輯等?？梢哉f第三次數(shù)學(xué)危機(jī)大大促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性，而且也因此直接造成了數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的“黃金時(shí)代”。4結(jié)語歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)，給人們帶來了極大的麻煩，危機(jī)的產(chǎn)生使人們認(rèn)

16、識到了現(xiàn)有理論的缺陷，科學(xué)中悖論的產(chǎn)生常常預(yù)示著人類的認(rèn)識將進(jìn)入一個(gè)新階段，所以悖論是科學(xué)發(fā)展的產(chǎn)物，又是科學(xué)發(fā)展源泉之一。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，建立了完整的實(shí)數(shù)理論，歐氏幾何也應(yīng)運(yùn)而生并建立了幾何公理體系；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，直接導(dǎo)致了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論的產(chǎn)生和完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎(chǔ)之上；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使集合論成為一個(gè)完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)），促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性。數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究、悖論的出現(xiàn)和危機(jī)的相對解決有著十分密切的關(guān)系，每一次危機(jī)的消除都會給數(shù)學(xué)帶來許多新內(nèi)容、新認(rèn)識，甚至是革命性的變化，使數(shù)

17、學(xué)體系達(dá)到新的和諧，數(shù)學(xué)理論得到進(jìn)一步深化和發(fā)展。悖論的存在反映了數(shù)學(xué)概念、原理在一定歷史階段會存在很多矛盾，導(dǎo)致人們的懷疑，產(chǎn)生危機(jī)感，然而事物就是在不斷產(chǎn)生矛盾和解決矛盾中逐漸發(fā)展完善起來的，舊的矛盾解決了,新的矛盾還會產(chǎn)生，而就是在其過程中，人們便不斷積累了新的認(rèn)識、新的知識，發(fā)展了新的理論。數(shù)學(xué)家對悖論的研究和解決促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮和發(fā)展，數(shù)學(xué)中悖論的產(chǎn)生和危機(jī)的出現(xiàn)，不單是給數(shù)學(xué)帶來麻煩和失望，更重要的是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望。數(shù)學(xué)中悖論和危機(jī)的歷史也說明了這一點(diǎn)：已有的悖論和危機(jī)消除了，又產(chǎn)生新的悖論和危機(jī)。但是人的認(rèn)識是發(fā)展的，悖論或危機(jī)遲早都能獲得解決?！爱a(chǎn)生悖論和危機(jī)，

18、然后努力解決它們，而后又產(chǎn)生新的悖論和危機(jī)?！边@是一個(gè)無窮反復(fù)的過程，也就不斷推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這個(gè)過程也是數(shù)學(xué)思想獲得重要發(fā)展的過程。參考文獻(xiàn)：1 師瓊,王保紅.悖論及其意義J.中共山西省委黨校學(xué)報(bào),2005,28（4）:7678.2 趙院娥,喬淑莉.悖論及其對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響J.延安大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,2(1):2125.3 李春蘭.試論數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)及其影響J.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版),2006,19(1):8890.4 梁偉.試析悖論與數(shù)學(xué)史上三次危機(jī)及其方法論意義J.科技資訊,2005,(27):187188.5 王方漢.歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)J.數(shù)學(xué)通報(bào),2002,(5):4243.6 胡作