用高等幾何的觀點(diǎn)看待初等幾何的問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上從高等幾何的視角看待初等幾何的若干問(wèn)題 摘要：高等幾何是初等幾何的延伸課程，二者有著密切的關(guān)系.它為初等幾何的內(nèi)容提供了理論依據(jù)，開(kāi)闊了初等幾何的學(xué)習(xí)視野；高等幾何可為初等幾何構(gòu)造新的命題，豐富了初等幾何的內(nèi)容；高等幾何為初等幾何的某些問(wèn)題提供了解題方法，拓展了初等幾何的解題途徑.因此，很有必要研究高等幾何在初等幾何中的運(yùn)用.關(guān)鍵詞：高等幾何；初等幾何；命題；理論依據(jù)；思想方法1 問(wèn)題的提出 一.問(wèn)題的提出1.1 高等幾何與初等幾何的關(guān)系高等幾何是高等師范院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的課程.是為學(xué)生加深對(duì)中學(xué)幾何的理論和方法的理解，獲得較高觀點(diǎn)上處理中學(xué)幾何問(wèn)題的能力的專(zhuān)業(yè)

2、選修課程. 而初等幾何研究也是高師數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要課程，是為培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)師資所特有的課程，是培養(yǎng)未來(lái)中學(xué)數(shù)學(xué)教師從事初等幾何教學(xué)和研究的能力 ，是提高他們數(shù)學(xué)素質(zhì)和幾何教學(xué)水平的重要課程。初等幾何是高等幾何的基礎(chǔ).而高等幾何是初等幾何的深化。初等幾何研究的問(wèn)題一般比較直觀、單純，但形成的概念和積累的技巧對(duì)高等幾何往往影響深遠(yuǎn)；高等幾何雖然抽象、復(fù)雜，但內(nèi)容和方法卻常常可以在初等幾何中找到其根源，所以高等幾何由于引入了無(wú)窮元素，因而處理問(wèn)題的手段比初等幾何高明，作為數(shù)學(xué)工具也就更具有一般性.從內(nèi)容上講，高等幾何點(diǎn)變換的觀點(diǎn)把初等幾何中的正交變換擴(kuò)大到仿射變換，再擴(kuò)大到射影變換，從而把

3、幾何空間的概念也由歐氏空間擴(kuò)大到仿射空間，再擴(kuò)大到射影空間；坐標(biāo)系也由笛卡爾坐標(biāo)系擴(kuò)大到仿射坐標(biāo)系和射影坐標(biāo)系.幾何學(xué)的基本元素方面，也由以點(diǎn)為基本元素的點(diǎn)幾何學(xué)化為以直線為基本元素的線幾何學(xué)，并且由有限元素?cái)U(kuò)大到無(wú)窮遠(yuǎn)元素，由實(shí)元素?cái)U(kuò)大到復(fù)元素.1.2高等幾何的觀點(diǎn)研究出等幾何的意義法國(guó)教學(xué)家Klein曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“只有在完全不是初等數(shù)學(xué)的理論體系中，才能深刻理解初等數(shù)學(xué).”按照Klein的觀點(diǎn)，幾何學(xué)是研究在相應(yīng)變換群下圖形保持不變的性質(zhì)和量的科學(xué)，即每一個(gè)變換群都對(duì)應(yīng)著一個(gè)幾何學(xué)，圖形在此變換下保持不變的那些性質(zhì)和量，就是相應(yīng)的幾何學(xué)所研究的對(duì)象.由射影變換群，仿射變換群，正交變換群所對(duì)應(yīng)

4、的幾何學(xué)分別為：射影幾何學(xué)，仿射幾何學(xué)，歐氏幾何學(xué).又由于射影變換群仿射變換群正交變換群.故又有射影幾何學(xué)仿射幾何學(xué)歐氏幾何學(xué).但又由于群越大，它所保持不變的東西就越少，故從研究的內(nèi)容上看有：射影幾何學(xué)仿射幾何學(xué)歐氏幾何學(xué).射影幾何學(xué)的內(nèi)容比較貧泛，而歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容就十分豐厚了.了解了這種幾何學(xué)之間的聯(lián)系，也就擴(kuò)大了學(xué)生關(guān)于幾何的眼界，站得高也才能看得遠(yuǎn)，了解了歐氏幾何在整個(gè)幾何學(xué)中所處的地位，這就有助于我們從幾何學(xué)的全局與整體上來(lái)理解和把握初等幾何教材.掌握公理法，了解歐氏幾何與非歐幾何的關(guān)系，加深對(duì)初等幾何教材的理解.幾何學(xué)的思維其源于非歐幾何.因?yàn)槲ㄓ袕姆菤W幾何的觀點(diǎn)來(lái)看才得以闡明在中

5、學(xué)研究的歐氏幾何學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)，只懂得一種歐幾里德幾何，就不能充分了解幾何學(xué)的結(jié)構(gòu)；幾何學(xué)之所以能夠提高到現(xiàn)代的觀點(diǎn)，不過(guò)是在研究了非歐幾何以后的事情.我們把羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何統(tǒng)稱(chēng)為非歐幾何.這三種幾何表面上看似乎是相互矛盾，相互排斥的，但它們?cè)谏溆皫缀沃械玫搅私y(tǒng)一，都是射影幾何的子幾何學(xué).了解了它們之間的聯(lián)系，對(duì)初等幾何教材的理解和把握就會(huì)加深一步.2 高等幾何在初等幾何中的應(yīng)用歐氏幾何作為仿射幾何、射影幾何的子幾何，使我們有可能把初等幾何、解析幾何放到更為廣闊的背景中去考慮，有助于弄清歐氏幾何與其它幾何的聯(lián)系與區(qū)別，以便從高觀點(diǎn)下把握和處理中學(xué)教材，將高等幾何的思想應(yīng)用在初等幾何中，

6、這無(wú)疑對(duì)初等幾何的教學(xué)有很大的指導(dǎo)作用.2.1 高等幾何為初等幾何內(nèi)容提供理論依據(jù)中學(xué)幾何考慮了學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，內(nèi)容不可能面面俱到，現(xiàn)行中學(xué)幾何教材部分僅從直觀的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索幾何性質(zhì)，問(wèn)題的結(jié)論依賴于默認(rèn)，而在高等幾何中，這些內(nèi)容和問(wèn)題都可以在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)給出嚴(yán)格的論述.例如立體幾何中的直觀圖及截面圖的畫(huà)法；三點(diǎn)定一圓問(wèn)題；一點(diǎn)在二次曲線的內(nèi)部還是外部的問(wèn)題；二次曲線的切線的尺規(guī)作圖問(wèn)題；以及著名的“九樹(shù)十行”問(wèn)題等，都能在高等幾何中得到徹底解決；另外，現(xiàn)行中學(xué)幾何教材對(duì)希爾伯特公理系統(tǒng)中的公理或某些定理作了如下處理，但高等幾何中幾何基礎(chǔ)部分對(duì)希爾伯特公理系統(tǒng)的論述，

7、可以幫助我們分析、理解中學(xué)幾何中的這些公理.（1）中學(xué)教材擴(kuò)大了公理體系。把希爾伯特公理系統(tǒng)中的一些定理作為公理提出.這是因?yàn)閍.有些定理證明較繁，甚至于在中學(xué)幾何的系統(tǒng)下不能證明，但這些定理的幾何事實(shí)非常明顯，又需要把它們作為推論的根據(jù)，就把它作為教學(xué)上的公理.例如，把兩三角形全等的“角邊角定理”作為“角邊角公理”；b.將西爾伯特公理系統(tǒng)中的某些公理結(jié)構(gòu)略為加強(qiáng)，以便于學(xué)生接受運(yùn)用.例如，將公理加強(qiáng)為公理“如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線；”c.將希爾伯特公理系統(tǒng)中的某些公理合并，以便運(yùn)用.例如，將公理和合并為公理“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線”；將

8、公理和合并為公理“經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”.（2）默認(rèn)的辦法：希爾伯特公理系統(tǒng)里的許多公理所反映的幾何事實(shí)極為明顯，例如公理：“至少存在著四個(gè)點(diǎn)，不在同一平面上”，中學(xué)幾何就憑直觀加以默認(rèn).再如在推理中事實(shí)上已經(jīng)用到順序、連續(xù)等概念，這些也全部被直觀的承認(rèn)了，既未作為公理提出，更未作為定理加以證明.而以上這些在初等幾何中無(wú)法解釋的公理在高等幾何（包括幾何基礎(chǔ)）中都作了精辟的闡述和概括的分析，因此，學(xué)習(xí)高等幾何有助于認(rèn)識(shí)并討論歐氏幾何體系，認(rèn)識(shí)它是怎樣在公理系統(tǒng)上純邏輯地建立起來(lái)的，同時(shí)，有助于了解中學(xué)幾何教材中的公理系統(tǒng)，能夠用公理化思想分析、評(píng)述和處理中學(xué)幾何教材，促進(jìn)

9、教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效果的提高.因此，通過(guò)高等幾何的學(xué)習(xí)可以更加深入的理解初等幾何中的一些問(wèn)題，對(duì)它做出合理的解釋.例1 平面上不在同一直線上的三個(gè)實(shí)的有窮點(diǎn)確定一個(gè)圓.這是初等幾何中的一個(gè)定理，可用二階曲線的性質(zhì)給予嚴(yán)格的證明.證明：因?yàn)槊咳c(diǎn)不共線的五點(diǎn)可以確定一條二階曲線，而每?jī)蓚€(gè)有窮點(diǎn)與圓點(diǎn)不共線，所以已知的三點(diǎn)和兩個(gè)圓點(diǎn)決定一條二階曲線，又這條二階曲線經(jīng)過(guò)二圓點(diǎn)所以是圓.2.2高等幾何在初等幾何命題方面的應(yīng)用從高等幾何與初等幾何的關(guān)系出發(fā)，可以構(gòu)造許多初等幾何新命題，主要方法有：（1）將初等幾何命題推廣.如在高等幾何中，在仿射變換下，任意一個(gè)三角形（平行四邊形、梯形、橢圓）與正三角形（正方

10、形、等腰梯形、圓）是仿射等價(jià)的，因此如果已知一個(gè)只涉及仿射性質(zhì)的幾何命題對(duì)于后一類(lèi)簡(jiǎn)單圖形成立，則就有理由斷定該命題對(duì)前一類(lèi)復(fù)雜圖形也成立。同樣在射影變換下，橢圓、雙曲線、拋物線與圓射影等價(jià).因此，如果只涉及射影性質(zhì)的幾何命題對(duì)圓成立，則對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線也成立.例2已知與平行的直線相交，且的面積等于給定值，那么當(dāng)與的面積之間滿足什么關(guān)系時(shí)問(wèn)題有解？有多少解？（1987年上海數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解：設(shè)經(jīng)仿射變換變?yōu)檎?，其邊長(zhǎng)為，設(shè)，且， 如圖1：因?yàn)?所以化簡(jiǎn)得：所以當(dāng)0時(shí) 即時(shí)問(wèn)題有解當(dāng)時(shí)，有兩解，其中如圖中和當(dāng)時(shí)，有一解，其中，此時(shí)、分別、中點(diǎn). （圖1） 例3命題：“為圓的切線，為經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

11、的直徑，求證：.”該命題涉及結(jié)合性、直徑、平行性等仿射性質(zhì)，因而可移置到橢圓中去，構(gòu)成新的命題.新命題：“為橢圓的切線，為橢圓的中心，與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.”（初級(jí)中學(xué)課本，幾何第二冊(cè)，115頁(yè)13題） （2）將高等幾何命題特殊化例4高等幾何命題：在平面上給定二直線及不在上的一點(diǎn)，不先定出的交點(diǎn)，可用直尺作出通過(guò)此點(diǎn)和點(diǎn)的直線.將其特殊化可得到初等幾何命題：在平面上給定二平行直線及不在上的一點(diǎn)，只用直尺可作出通過(guò)點(diǎn)且與平行的直線.作法：1）過(guò)作二直線分別與相交與，連接得交點(diǎn).2）過(guò)任作一直線與分別交于，.3）連接，得交點(diǎn)，則直線為所求直線.綜上我們可以看出，熟知高等幾何與初等幾何知識(shí)間的聯(lián)

12、系，就能構(gòu)造出形式多樣，內(nèi)容豐富的初等幾何問(wèn)題.一些中學(xué)幾何問(wèn)題運(yùn)用初等幾何方法解決時(shí)，有時(shí)會(huì)非常復(fù)雜和困難，但應(yīng)用高等幾何方法解決此類(lèi)問(wèn)題卻非常簡(jiǎn)捷，如利用迪沙格（Desargues）定理證明三角形的三條中線交于一點(diǎn)；利用交比證明有關(guān)圓的問(wèn)題；利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性，可以比較簡(jiǎn)捷地解決一些初等幾何的共點(diǎn)和共線問(wèn)題.例5四邊形兩組對(duì)邊延長(zhǎng)后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，求證另一條對(duì)角線的延長(zhǎng)線平分對(duì)邊交點(diǎn)連線的線段.（1978年 全國(guó)數(shù)學(xué)連決賽試題）證法一（用初等幾何的方法）設(shè)四邊形中與交于，與交于且.（如圖2），求證平分.過(guò)作，連接，下證四邊形是平行四邊形.因?yàn)椋?（1）

13、又因，所以 （2）由（1）與（2）得于是，所以四邊形是平行四邊形.利用平行四邊形的性質(zhì)知平分，則，故的延長(zhǎng)線交于平分線段.證法二（利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)）如圖3所示四邊形中與交于，與交于，若與交于，則由完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)知（，），即（，）（）.故為線段的中點(diǎn)，從而對(duì)角線平分線段.（圖2） （圖3）方法2直接用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)，即可證出，易于理解，而方法1需作輔助線，證明過(guò)程較繁瑣.例6（蝴蝶定理）如圖4所示，設(shè)是圓的弦，是的中點(diǎn)，過(guò)任作二弦，記為依次與，的交點(diǎn)，求證.證法一：（用初等幾何的方法）圓是以直徑所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)圖形，那么可作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)線段，則有=，連接，則，由此可知，所

14、以.又且.故，則四點(diǎn)，和 共圓，所以，因，則。又，則，故.證法二（利用交比來(lái)證明）如圖6所示，連接，以為頂點(diǎn)的線束被直線所截，有（ ， ）=（，）同樣，以為頂點(diǎn)的線束被直線所截，有（ ， ）=（，），由同弧所對(duì)的圓周角相等，從而有，而 （ ， ）故（，）（，）即又為的中點(diǎn)，從而.把，代入上式得 即 即 故，從而.（在上述證法中，射影幾何的方法簡(jiǎn)單，它只需要計(jì)算一下交比，不但簡(jiǎn)捷，而且計(jì)算交比的方法適用于所有二階曲線，這樣就自然地將蝴蝶定理推廣到橢圓、雙曲線和拋物線上，不過(guò)這時(shí)二階曲線中弦的中點(diǎn)卻不能用垂足代替.） （圖4） （圖5） （1）投影法投影法的基本思想是把某一幾何圖形中的各線段向某一

15、直線（叫作軸）平行投影，將圖形的比例線段轉(zhuǎn)化成軸上的線段比，從而獲得一些命題的解.例7過(guò)的頂點(diǎn)作任一直線，與邊及中線分別交于點(diǎn)及，求證：.（初級(jí)中學(xué)課本，幾何 第二冊(cè) 66頁(yè)9題）證明：把點(diǎn)、分別投影到與垂直的直線上（如圖7）其投影為、，則由為的中點(diǎn)知.，從而，故.（圖6）通常講某種解題方法時(shí)，常要考慮這種方法的應(yīng)用范圍，才能很好的掌握這種方法，由于投影法的基本思想是平行投影，那么投影法適合證明哪類(lèi)型的題目呢？按照克萊因變換群與幾何學(xué)的觀點(diǎn)，投影法的適用范圍也只能是涉及經(jīng)過(guò)平行投影能保留下來(lái)的哪一些量和性質(zhì)（不變量和不變性）的幾何命題.由高等幾何知，平行投影保持二平行線段的比，同一直線上二線段

16、的比等，因而投影法用于證明有關(guān)涉及二平行線段的比和同一直線上二線段的比（特別地二平行線段的相等，同一直線上二線段的相等）的幾何命題或可以轉(zhuǎn)化為上述有關(guān)的命題.（2）壓縮變換法橢圓與圓相比，圓要簡(jiǎn)單些，利用壓縮變換解題的基本思想就是通過(guò)壓縮變換，將與橢圓有關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成與圓有關(guān)的問(wèn)題來(lái)求解.解：作壓縮變換， （1）則橢圓化為圓 （2）相應(yīng)的直線化為直線 （3）因而原問(wèn)題變更為求（2）與（3）相切的條件，由直線與圓相切的條件得： 整理得 .由于變換（1）是一特殊的仿射變換，按克萊因變換群與幾何學(xué)的觀點(diǎn)，只有經(jīng)過(guò)（1）能保持不變的那些量和性質(zhì)，才適用于上述解法，由高等幾何知：仿射變換保持結(jié)合性，通素

17、性，平行性，簡(jiǎn)比和二封閉圖形的面積比等.除此之外，還有壓縮變換（1）特有的一些性質(zhì)，和保持與二坐標(biāo)軸平行的二直線的垂直性等.因此，只有當(dāng)與橢圓有關(guān)的命題只涉及上述不變性與不變量時(shí)，才可以通過(guò)變換（1）將與橢圓有關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為與圓有關(guān)的問(wèn)題來(lái)求解，如上例中，涉及直線與橢圓的結(jié)合性，由于變換（1）保持結(jié)合性不變，因此就可以用上述方法解.上面剖析了兩種解題方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，類(lèi)似于上面的問(wèn)題還有許多，如“用解析法證明幾何命題時(shí)為什么可以任意選取坐標(biāo)系？”等.這些問(wèn)題雖然出自于中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，但不能在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)給出回答，它需要高等幾何的知識(shí)，從這里也可看出，高等幾何是如何指導(dǎo)中學(xué)數(shù)

18、學(xué)解題教學(xué)的.它不是用高等幾何的解題方法去求解中學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題，而是用高等幾何的觀點(diǎn)去分析解題方法和解題過(guò)程中出現(xiàn)的高等幾何背景，只有將高等幾何知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中，才能真正做到“居高臨下”.在解題教學(xué)過(guò)程中，不僅能講述某種解體方法如何用，而且應(yīng)知道這種方法的適應(yīng)范圍以及為什么要這樣用等.這正是高等幾何對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的指導(dǎo)作用的含義.3 結(jié)論高等幾何是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課.高等幾何的涵義較為廣泛.我國(guó)現(xiàn)在開(kāi)設(shè)的高等幾何課內(nèi)容上以射影幾何為主，兼顧其它，方法上采用代數(shù)法兼綜合法而側(cè)重代數(shù)法.目的旨在使學(xué)生系統(tǒng)接受射影幾何而主要又是實(shí)射影平面幾何的基本知識(shí)，認(rèn)識(shí)射影空間的基本特性，研

19、究方法和幾何學(xué)的本質(zhì)，深化幾何空間的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ).從理論和實(shí)踐的結(jié)合上學(xué)好高等幾何，就能在更高層面上認(rèn)識(shí)幾何學(xué)的基本特性，研究方法，內(nèi)在聯(lián)系，確認(rèn)幾何學(xué)的本質(zhì)，深化和發(fā)展幾何空間概念，以便更深入地駕馭和掌握初等幾何的內(nèi)涵和外延.我們明白了高等幾何與初等幾何的內(nèi)在聯(lián)系，擴(kuò)大了關(guān)于幾何學(xué)的眼界，了解到初等幾何在幾何學(xué)中所處的地位，就有助于我們從幾何學(xué)的全局與整體來(lái)理解和分析初等幾何教材，就能對(duì)初等幾何中的許多問(wèn)題做透徹的理解.大學(xué)生通過(guò)這門(mén)課的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了自己的數(shù)學(xué)思維能力和空間想象能力.綜上所述，高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用較大，所以我們要“站得更高，看得更遠(yuǎn)”，應(yīng)拓寬視野

20、，拓廣思路，這樣才能更好的把握中學(xué)數(shù)學(xué).利用高等幾何的觀點(diǎn)和思想方法，將已知初等幾何命題進(jìn)行變換，獲得相關(guān)的其它初等幾何命題，是十分有效的解題方法，只要我們有心，積極開(kāi)動(dòng)腦子，就會(huì)把高等幾何的知識(shí)運(yùn)用到初等幾何中去.參考文獻(xiàn)1梁延堂.高等幾何與初等幾何J.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1993，（2）：69702高巧琴.高等幾何在初等幾何中的作用J.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào). 2004，（2）：53553吳曉旭.高等幾何與初等幾何的相關(guān)性探討J.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè). 2009，（2）4趙強(qiáng).淺談高等幾何對(duì)中學(xué)幾何教學(xué)的指導(dǎo)意義J.南寧師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào). 2006，（4）：1271295梁康健.對(duì)“高等數(shù)

21、學(xué)初等化，初等數(shù)學(xué)高等化”的教學(xué)體會(huì)J.婁底師專(zhuān)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.1989，（4）：59636陳小春.例談高等幾何對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的指導(dǎo)作用J.數(shù)學(xué)通報(bào). 1993，（6）33357初級(jí)中學(xué)課本，幾何M.第二冊(cè).人民教育出版社. 19898梅向明，劉增賢，王匯淙，王智秋.高等幾何M.北京：高等教育出版設(shè).20009舒見(jiàn)賢.在高等幾何教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)初等幾何的指導(dǎo)J.懷化師專(zhuān)學(xué)報(bào).1993（2）：737510朱得祥.初等幾何研究M.北京：高等教育出版設(shè).200011薩學(xué)思.淺談高等幾何對(duì)初等幾何教學(xué)的指導(dǎo)作用J.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào). 1994，（1）：939812孫有偉.關(guān)于高等幾何課程教學(xué)中的數(shù)

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