高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)圖形的描繪ppt課件

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)假假設(shè)設(shè)0)( xf)(xf增，增， 假假設(shè)設(shè)0)( xf)(xf 增；增；假假設(shè)設(shè)0)( xf)(xf減，減，假假設(shè)設(shè)0)( xf)(xf 減；減；2xy 與與xy 在在), 0( 內(nèi)單調(diào)添加，內(nèi)單調(diào)添加，為什么這么增呢？為什么這么增呢？2xy xy yxoxyoxyo)(xfy xyo)(xfy ABC如何研討曲線的彎曲方向如何研討曲線的彎曲方向? 在延續(xù)的曲線弧段上任一點(diǎn)作切線在延續(xù)的曲線弧段上任一點(diǎn)作切線,稱該曲線弧段是稱該曲線弧段是(向上向上)凸的凸的(或稱凸弧或稱凸弧).xyoabABxyoabBA)(xfy )(xfy 假設(shè)曲線假設(shè)曲線那么稱該曲線弧段是那么稱該曲線弧段是

2、(向上向上)凹凹假設(shè)曲線弧總是位于其切線下方假設(shè)曲線弧總是位于其切線下方, 那么那么1x2x1x2x1 2 1 2 凹凹2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 單調(diào)增單調(diào)增；0)( xf特征：特征：. 0)( xf2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 單調(diào)減單調(diào)減；0)( xf特征：特征：. 0)( xf反之：反之：0)( xf0)( xf成立嗎？成立嗎？)(xfy xyoabAB)(xfy xyoabBA假設(shè)假設(shè))(xf在在),(ba內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， 假設(shè)假設(shè)在在),(ba內(nèi)內(nèi)(1), 0)( xf(2), 0

3、)( xf那么曲那么曲線線在在),(ba內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的.)(xf)(xf那么曲那么曲線線在在),(ba內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的.留意：留意： 該定理?yè)Q成其它區(qū)間依然成立該定理?yè)Q成其它區(qū)間依然成立.xyoabABxyoabBA)(xfy )(xfy 3xy ,32xy ,6xy ,0 y, 0 yxyo判別曲線判別曲線的凹凸性的凹凸性.0 x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0 ,( 所以在所以在內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的.0 x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，), 0 所以在所以在內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的.)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn).延續(xù)曲線上由凹變凸或由凸變凹的分界延續(xù)曲線上由凹變凸或由凸變凹的分界稱為曲線的拐點(diǎn)稱為曲線

4、的拐點(diǎn).點(diǎn)點(diǎn)，) )(,(00 xfx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在0 x的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)， 且且，0)(0 xf或在或在0 x處二階不可導(dǎo)處二階不可導(dǎo).(1) 假設(shè)假設(shè))(xf 在在0 x的兩側(cè)異號(hào)，的兩側(cè)異號(hào)， 那么那么點(diǎn)點(diǎn)) )(,(00 xfx(2) 假設(shè)假設(shè))(xf 在在0 x的兩側(cè)不變號(hào)，的兩側(cè)不變號(hào)， 那么那么點(diǎn)點(diǎn)) )(,(00 xfx，),( : D,121223xxy ).32(36 xxyx)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(14334 xxy求曲線求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)

5、間., 0 y令令.32, 021 xx得得那么它的凹區(qū)間是：那么它的凹區(qū)間是：)0 ,(與與；),32(凸區(qū)間是：凸區(qū)間是：)32, 0(拐點(diǎn)是：拐點(diǎn)是：)1 , 0(和和).2711,32(能否二階導(dǎo)數(shù)為能否二階導(dǎo)數(shù)為0的根都是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)呢？的根都是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)呢？判別曲線判別曲線42xy 的凹凸性，求拐點(diǎn)的凹凸性，求拐點(diǎn).定義域?yàn)槎x域?yàn)?,( ，38xy 224xy 令令，0 y得得. 0 x列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，y xy)0 ,( ), 0( 00 不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)故該函數(shù)沒(méi)有拐點(diǎn)故該函數(shù)沒(méi)有拐點(diǎn).來(lái)斷定凹凸性來(lái)斷定凹凸性.求求3xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).定義域

6、為定義域?yàn)椋?,( ，3231xy 35192xy 3xy 有二階不可導(dǎo)點(diǎn)有二階不可導(dǎo)點(diǎn)，0 x列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)斷定凹凸性列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)斷定凹凸性.y xy)0 ,( ), 0( 0 拐點(diǎn)拐點(diǎn) ），（ 00那么它的拐點(diǎn)是：那么它的拐點(diǎn)是：.00 ），（不存在不存在求求32xy 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).定義域?yàn)槎x域?yàn)椋?,( ，3132 xy，34192xy 32xy 有二階不可導(dǎo)點(diǎn)有二階不可導(dǎo)點(diǎn)，0 x列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)斷定凹凸性列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)斷定凹凸性y xy)0 ,( ), 0( 0 不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn) 因此該函數(shù)沒(méi)有拐點(diǎn)因此該函數(shù)沒(méi)有拐點(diǎn).不存在不存在0

7、yy 于是于是；y 0 yy 1.曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;2.改動(dòng)彎曲方向的點(diǎn)改動(dòng)彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn);凹凸性的斷定凹凸性的斷定.求拐點(diǎn)求拐點(diǎn)xy1 有漸近線嗎？有漸近線嗎？，01lim xx0 y叫程度漸近線叫程度漸近線， xx1lim00 x叫垂直漸近線叫垂直漸近線xyo當(dāng)曲線當(dāng)曲線y=f(x)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P沿著沿著曲線移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí)，曲線移向無(wú)窮點(diǎn)時(shí)，P到某定直線到某定直線L的間隔趨向的間隔趨向于零，于零，曲線曲線y=f(x)的一條漸近線的一條漸近線.假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)那么直線那么直線L就稱為就稱為1.1.程度漸近線程度漸近線 ( (平行于平行于 軸的漸近線軸的漸近線)

8、 )x假設(shè)假設(shè)，bxfx )(limby 那么那么就是就是)(xfy 的程度漸近線的程度漸近線.b(為常數(shù)為常數(shù)),2.2.垂直漸近線垂直漸近線假設(shè)假設(shè)， )(limxfaxax 那么那么就是就是)(xfy 的垂直漸近線的垂直漸近線.a(為常數(shù)為常數(shù)),( (平行于平行于 軸的漸近線軸的漸近線) )y一一. .漸近線漸近線，或或bxfx )(limbxfx )(lim或或，或或 )(limxfax )(limxfax或或,arctanxy 有程度漸近線兩條有程度漸近線兩條: :.2,2 yy2arctanlim xx2arctanlim xx，xey 1又如又如1)1(lim xxe1 y所以

9、有程度漸近線所以有程度漸近線2 yo2 y,21 xy xxlnlim00 x有鉛直漸近線有鉛直漸近線: :，021lim xx0 y是它的程度漸近線是它的程度漸近線.,ln xy xyo2xyo有鉛直漸近線有鉛直漸近線: :. 2 x,21lim2 xx, ;21 x )(lim21xfx所以有鉛直漸近線所以有鉛直漸近線12)(2 xxxf求求的漸近線的漸近線. 12lim)(limxxxxfxx 12lim221xxx,21且且 212lim2xxxx,41那么有斜漸近線那么有斜漸近線.4121 xy)12(222lim22 xxxxx,12lim2 xxx所以它沒(méi)有程度漸近線所以它沒(méi)有程

10、度漸近線;)(xfy )(xf ；)(xf 0)( xf0)( xf)(xf )(xf 解解),( : D無(wú)奇偶性及周期性無(wú)奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13( 2)( xxf, 0)( xf令令, 0)( xf令令),0 , 1( A),1 , 0 (B).85,23(C列表確定函數(shù)升降區(qū)間列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn):1)(23 xxxxf作出函數(shù)作出函數(shù)的圖形的圖形. 1,31 xx得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)：.31 x得特殊點(diǎn)得特殊點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn)：補(bǔ)充點(diǎn)：例例2 2x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極大值極大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 極小極小值值0：凸增：凸增：凸減：凸減：凹減：凹減：凹增：凹增)0 , 1( A)1