高等數(shù)學11.5隨機變量數(shù)字特征ppt課件

1、11. 5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，分布函前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)可以完好地描畫隨機變量的統(tǒng)計特性。但在一數(shù)可以完好地描畫隨機變量的統(tǒng)計特性。但在一些實踐問題中，不需求去全面調(diào)查隨機變量的變些實踐問題中，不需求去全面調(diào)查隨機變量的變化情況，而只需知道隨機變量的某些特征，因此化情況，而只需知道隨機變量的某些特征，因此并不需求求出它的分布函數(shù)。例如，在評定某一并不需求求出它的分布函數(shù)。例如，在評定某一地域糧食產(chǎn)量的程度時，在許多場所只需知道該地域糧食產(chǎn)量的程度時，在許多場所只需知道該地域的平均產(chǎn)量；地域的平均產(chǎn)量； 從上面的例子看到，與隨機

2、變量有關(guān)的某些從上面的例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完好地描畫隨機變量，但能描畫數(shù)值，雖然不能完好地描畫隨機變量，但能描畫隨機變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征隨機變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在實際和實際上都具有重要的意義。在實際和實際上都具有重要的意義。一、期望一、期望例：有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：例：有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出： 甲射手甲射手 乙射手乙射手試問哪個射手身手較好？試問哪個射手身手較好？解：設(shè)兩個選手各射解：設(shè)兩個選手各射N 槍，那么有槍，那么有 平均甲射中平均甲射中9.3環(huán)，乙射中環(huán)，乙射中9.1環(huán)，環(huán)，因此甲射手的身

3、手好些。因此甲射手的身手好些。甲：甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N乙：乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N1、定義、定義 設(shè)設(shè)X是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和和.它是隨機變量一切取值的以概率為權(quán)的加權(quán)平均它是隨機變量一切取值的以概率為權(quán)的加權(quán)平均 1()kkkE Xx p 1|kkkxp 假設(shè)假設(shè)有限有限,定義定義X 的數(shù)學期望的數(shù)學期望1|kkkxp 假設(shè)假設(shè)發(fā)散發(fā)散, 稱稱X 的數(shù)學期望不存在的數(shù)學

4、期望不存在例例 1例例 2假設(shè)假設(shè)XB( n, p)，那么，那么 EX n p， X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布 EX= , 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Y 是隨機變量是隨機變量X 的延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函數(shù)Y=g(X) 設(shè)設(shè) X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量,其分布列為其分布列為 P(X=Xi)=pi , i=1,2,1|() |iiig xp 假設(shè)假設(shè) 收斂收斂,1;)()(kkkpxgXgEEY那么那么 例例 5 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 的分布列為的分布列為pkX -1 0 1 20.1 0. 2 0.4 0.3求求 E(2X - 1), E(X 2). 解解 E(2X -1)=()

5、()2110.12 010.2()2 110.42 210.3 （22222()10.100.210.420.31.7EX = 0.8 ; 2、定義：、定義： 設(shè)設(shè)X是延續(xù)型隨機變量，其密度是延續(xù)型隨機變量，其密度 函數(shù)函數(shù) f (x),假設(shè)假設(shè)dxxfx)(|有限有限,定義定義X的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為dxxfxXE)()(也就是說也就是說,延續(xù)型隨機變量的數(shù)學延續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的積分期望是一個絕對收斂的積分.例例3：設(shè)均勻分布的隨機變量：設(shè)均勻分布的隨機變量XU(a,b),求求E(X)。1,:( )0,axbXf xba 解解： 的的概概率率密密度度其其它它()()EX

6、x fxd x X 數(shù)學期望為數(shù)學期望為2ab 00ababxxdxdxxdxba 例例4 求求 指數(shù)分布的期望與方差指數(shù)分布的期望與方差 ,服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量 X那么有那么有 , 0,e1 xx. 0, 0 x)(xf 其概率密度為其概率密度為)(XE xxxfd)( xxxde10 xxxxdee00 . X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布， 1EX X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，XN( , 2)。EX= 假設(shè)假設(shè) 收斂收斂 ，那么，那么dxxfxg)(| )(|設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Y 是隨機變量是隨機變量X 的延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函

7、數(shù)Y=g(X)設(shè)設(shè)X 是延續(xù)型隨機變量是延續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 f (x),.)()()(dxxfxgXgEEY 例例6. 設(shè)設(shè)XUa, b，計算，計算EX222200ababxxdxdxxdxba 21baxdxba 223aabb 22( )EXxf x dx 三、數(shù)學期望的性質(zhì)三、數(shù)學期望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么E(C)=C; 2. 假設(shè)假設(shè)k是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么E(kX)=kE(X);3. E(X+Y)=EX+EY11()()()nnE XXE XE X 推行推行 設(shè)設(shè)1，2 ，每一個隨機變量每一個隨機變量Xi 的數(shù)學期望都存在，那么的數(shù)學期望

8、都存在，那么4. 假設(shè)假設(shè)X、Y相互獨立，且相互獨立，且EX 、EY存存在，在， 那么那么E(XY )= EX EY ;四、方差的定義四、方差的定義 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它與由于它與X具有一樣的度量單位，在實具有一樣的度量單位，在實踐問題中經(jīng)常運用踐問題中經(jīng)常運用. 方差的算術(shù)平方根方差的算術(shù)平方根 稱為規(guī)范稱為規(guī)范差差)(XD1、設(shè)、設(shè)X是一個隨機變量，假設(shè)是一個隨機變量，假設(shè)E(X-E(X)2，那，那么稱么稱D(X)=VarX=EX-E(X)2 (1)為為X的方差的方差.X為離散型，為離散型，P(X=xk)=pk

9、 由定義知，方差是隨機變量由定義知，方差是隨機變量X的函數(shù)的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的數(shù)學期望的數(shù)學期望 .212()()()( )kkkxE XpD XxE Xf x dx X為延續(xù)型，為延續(xù)型，Xf(x) 2、D(X)=E(X2)-E(X)2 展開展開證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)22()()()D XE XE X 2(1)pppp例例3. 設(shè)設(shè)XUa, b，計算，計算DX解：解：EX=21baxdxbaab 222200ababxEXxdxdxxdxba 22212baDXEXEX 21baxdxba 223aabb 假設(shè)假設(shè)XB( n, p)，那么，那么 EX n p，DXn p qEX= , DX= X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布 XUa, b，2EXab 212baDX X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布， 211EXDXXN( , 2)。2EXDX 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù),那么那么D(C)=0; 反之，假設(shè)反之，假設(shè)DX=0，那么存在常數(shù)，那么存在常數(shù)C，使使 PX=C=1, 且且C=E(X