高等數(shù)學-十三、第三節(jié) 定積分定義、換元積分法ppt課件

1、一.曲邊梯形的面積 二二. .定積分的定義定積分的定義 四定積分的性質四定積分的性質第三節(jié)第三節(jié) 定積分定積分三定積分的幾何意義六定積分的計算五積分上限的函數(shù)一曲邊梯形的面積一曲邊梯形的面積曲邊梯形: 假設圖形的三條邊是直線段，其中有兩條垂直于第三條底邊，而其第四條邊是曲線，這樣的圖形稱為曲邊梯形。左以下圖所示.yoxab例：計算由 所圍成的曲邊梯形的面積。 ( ),yf x,xaxb及 軸xyox( )yf xab如圖yoxab1x2x1ix1ixix1( )yf x110 xxx1iiixxx1nnnxxx111()Afx()iiiAfxi()nnnAfx0 x1x2xa 1ixix 1i

2、xnxb01,xx12,xx1,iixx1,nnxx1nx 求和 把個小矩形面積相加，就得到曲邊梯形面積A的近似值n11221( )()()( )nnniiiAfxfxfxfx01lim( ).niiiAfx1,iixx計算曲邊梯形面積的詳細步驟：0121nnaxxxxxb(1)分割 把區(qū)間分成個小區(qū)間， 每個小區(qū)間長度記為 , a bn1(1,2, );iiixxxin任取分點 取近似 在每個小區(qū)間 上任取 一點做高 ,那么得小曲邊梯形面積 的近似值 1,iixx(1,2, )in()iiiAfxiA(3) 求和 把個小矩形面積相加，就得到曲邊梯形面積A的近似值n11221( )()()(

3、)nnniiiAfxfxfxfx (4) 取極限 令小區(qū)間長度的最大值inix1max 趨于零,則和式 iniixf)(1的極限就是曲邊梯形面積 A 的精確值， 即 01lim( ).niiiAfx 定義 設函數(shù) 在上延續(xù)，用 個 ( )f x , a b1n分點 012naxxxxb把 分成 , a bn個小區(qū)間 ，其長度 1,iixx1iiixxx在各小區(qū)間上任取一點 作乘積 i(),iifx并求和 1()niiifx記 12max,nxxx當 0時，假設和式的極限存在 ， 二、定積分的定義二、定積分的定義01( )dlim( )nbiiaif x xfx那么稱此極限值為函數(shù) 在區(qū)間 上的

4、 ( )f x , a b定積分，記為其中稱為被積函數(shù),為被積表達式，為積分區(qū)間，分別稱為積分下限和上限.( )f x( )df xxx , a b為積分變量，, a b定積分定義的闡明：112200ddxxtt( )d( )dbbaaf xxf tt普通表示為(1)定積分表示一個數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分上、下限，而與積分變量采用什么字母無關，例如：abab( )d0baf xx ab( )d( )dbaabf xxf xx ( )f x , a b( )f x , a b2 定積分的定義中要求積分限 我們補充如下規(guī)定：當時當時上的定積分存在也稱可積。(3) 定積分的存在性：當 在 上延續(xù)

5、或只需有限個第一類延續(xù)點時, 在三、定積分的幾何意義三、定積分的幾何意義01( )dlim( )nbiiaif x xfxyox( )yf xab1、當( )0f x 時，那么( )d0baf xx 此時，( )dbaf xx表示由曲線及 軸所圍成的x曲邊梯形的面積A( )dbaf xxA既A( ),yf x,xaxb2、當( )0f x 時，( )d0baf xx 此時，( )dbaf xx表示由曲線( ),yf x,xaxb及 軸所圍成的曲邊梯形面積A的負值。( )dbaf xxA 即xyAox( )yf xab3、當( )f x在 區(qū)間上有正有負， ( )dbaf xx表示由 , a b

6、( ),yf x,xaxb及 軸所圍成的平面圖形面積位于 軸上方x的面積減去位于 軸下方的面積。如下圖xx即123( )dbaf xxAAAy1Aox( )yf xab2A3A底邊在 軸上各個曲邊梯形面積的代數(shù)和。x四、定積分的性質1 函數(shù)代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和即 ( )( )dbaf xg xx2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可提到積分號外面 即( )d( )dbbaakf xxkf xxk 為常數(shù)( )d( )dbbaaf xxg xx注：對于 ，那么，那么 , ,a b c三點的任何其他相對位置，三點的任何其他相對位置，上述性質仍成立。比如abc( )caf x dx( )d( )d(

7、)dbcbaacf xxf xxf xx 仍有仍有 3 假設acb那么( )dbaf xx( )d( )dcbacf xxf xx( )( )bcabf x dxf x dx( )( )bbacf x dxf x dx , a b4 在區(qū)間上假設( )( )f xg x那么有( )d( )dbbaaf xxg xx5 積分中值定理假設函數(shù)在區(qū)間( )f x , a b( )( )()baf x dxfba上延續(xù)，那么在上至少存在一點，使 , a byox( )yf xab思索題 (1) 11dxx; (2) xxRRRd22; (3) 20sin dx x; (4) 11dxx. 1.如何表述

8、定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推證以下積分的值：五積分上限的函數(shù)當在上變化時對應于每一個值, 積分 就有一個確定的值，因此就有一個確定的值，因此 x , a bx( )xaf x dx是變上限 的一個函數(shù)，記作 ( )dxaf ttx( ) x ()axb為積分上限函數(shù) 稱 ( ) xyox( )yf xabx普通地( )xaf x dx( ) x ( )xaf t dt定理 假設函數(shù) 在 區(qū)間上延續(xù)，那么積分上限函數(shù) ( ) x ( )dxaf tt在 , a b , a b( )f x上 可導， 那么 ( ) x推論 假設函數(shù)在 上延續(xù),那么積分上 ( )f x , a b限函數(shù)

9、( ) x ( )dxaf tt是 在 上 的一個原函數(shù)。 ( )f x , a bd( )ddxaf ttx( )d xaf tt ( )f x例1 計算( ) x 20sin dxtt在0 x ,2x 處的導數(shù)解 20dsin ddxttx( ) x20sin d xtt 2sin x(0)()22sin0 0sin422200coslimxxt dtx例 2 求以下函數(shù)的極限20limcosxx200(cos)lim( )xxt dtx1練習: 計算0( )xt xte dt在0,1xx處的導數(shù)。0( )xt xte dtxxe(0)0e(1)解 六、定積分計算定理2 設函數(shù)在閉區(qū)間上延

10、續(xù)，又 是的任一個原函數(shù)，那么有( )f x , a b( )F x( )f x( )d( )( )baf xxF bF a上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分根本公式.為計算方便，該公式常采用下面的格式： ( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a例1( )d( )( )( )bbaaf xxF xF bF a221x dx32113x331(21 )373例2cos0 x (coscos0) 20sin xdx例320(3sin )xx dx23(cos ) 220 xx23 ()cos2 22231823 (0)cos02例4 2211d()xxx22211(2)d

11、xxx321(2)13xxx321(2 2)32 54611(2 1)31 例52205sin xdx2015(12 )2cos x dx55sin2222400 xx55sin22454例62312d(1)xxx2312212d()1 ()xx23122arcsinx212(arcsinarcsin)32231211x1dxx1211xx dx022111(1)2x dx01221011xx dxxx dx 320211(1)3x23例7122011(1)2x dx321201(1) 3x 22011xdxx練習222200111xdxdxxx2222200111(1)211d xdxxx2

12、2221ln100 xxx51 ln 25 定積分的換元積分法定理1 函數(shù) 在區(qū)間 上延續(xù)； ( )f x , a b2 函數(shù) 在區(qū)間 是單值( )xt , 函數(shù)，且有延續(xù)導數(shù)； 3 當 在區(qū)間 上變化時， t , ( )xt的值在 上變化，且 , a b( ),( )ab 那么有定積分的換元積分公式 ( )d ( ) ( )baf xxftt dt例8401dxx設xt2xt2dxtdt00 xt42xt401dxx2021tdtt解2012(1)d1tt202ln(1)tt4ln2例9ln20e1dxx設0 x e1xt 2e1xt2ln(1)xt221tdxdttln2x 1t 0t 1

13、2021ttdtt當時，當時，ln20e1xdx12012(1)1dtt102(arctan )tt22例101201dxx設sinxtcosdxtdt0 x 1x 2t0t 當時，當時，220cos tdt1201dxx201(1+cos2t)dt2220011dtcos2tdt22201cos2td2t441sin2t 24401(sinsin0)44430211xdxx練習2112txxtdxtdt設0 x 3x 2t 1t 當時，當時，30211xdxx2212(1) 12ttdtt221(46)tdt103例10 設 在區(qū)間上延續(xù),試證明 ( )f x, a a02( )d( )d0

14、aaaf xxf xx由于 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx當 為偶函數(shù)時 ( )f x當 為奇函數(shù)時 ( )f x證0( )daf xx對 作變量代換 設 xt dxdt 0( )daf xx0()aft dt ()aoft dt()aofx dx00( )d()d( )daaaaf xxfxxf xx0 ()( )dafxf xx()( )fxf x假設 為偶函數(shù)即 ( )f x0( )d2( )daaaf xxf xx()( )fxf x 假設 為奇函數(shù)即 ( )f x( )d0aaf xx該題幾何意義是很明顯的，如圖所示該題幾何意義是很明顯的，如圖所示: :

15、 O a x y -a O a a x y 練習題10dxex1221dxexx1321d(11 5 )xx1ln dexx x2205sindx x2201d1xxx20sindx dxdx78325425sin(21)xxdxxx212ee77221(1)4e 5451 ln(25) 700答案例secxatsec tandxattdtxa0t 2xa3t設當時時當2224daaxaxx2224daaxaxx3440tansec tan dsecatatt tat23201sincos dtt ta23201sin d(sin )tta21a2224daaxaxx3440tansec tan dsecatatt tat330s