數(shù)值實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、北京XX大學(xué) 計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院實(shí) 驗(yàn) 報(bào) 告實(shí)驗(yàn)名稱： 數(shù)值計(jì)算方法課程實(shí)驗(yàn) 學(xué)生姓名：_XX_專 業(yè)：_計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)_班 級(jí)：_XXXX_學(xué) 號(hào)：_XXXXXX_指導(dǎo)教師：_XXXXX_實(shí)驗(yàn)成績(jī)：_實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：_XXXXXXX_實(shí)驗(yàn)時(shí)間：_2017_年_6_月_6_日一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c實(shí)驗(yàn)要求1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)1：探究非線性方程的解法，比較不同解法的優(yōu)劣性，針對(duì)具體問題對(duì)解法進(jìn)行實(shí)踐，并迭代達(dá)到指定的精確度。實(shí)驗(yàn)2：探究一般化曲線擬合的方法，采用最小二乘法對(duì)含有多項(xiàng)式，指數(shù)和對(duì)數(shù)多種形式的函數(shù)進(jìn)行擬合，確定擬合結(jié)果中的系數(shù)。實(shí)驗(yàn)3：探究多種積分的數(shù)值解法，根據(jù)給定的精度，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)值積分方

2、法，確定迭代步數(shù)與步長(zhǎng)，分析積分?jǐn)?shù)值解法的優(yōu)劣性。2、實(shí)驗(yàn)要求實(shí)驗(yàn)1：采用兩種算法求解非線性方程，比較兩種算法的性能。實(shí)驗(yàn)2：用最小二乘法擬合由不超過三階多項(xiàng)式和指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)線性組合成的符合函數(shù)，確定各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)實(shí)驗(yàn)3：自選一種數(shù)值積分方法求解積分值，根據(jù)要求的精度給出最終的迭代步數(shù)和步長(zhǎng)，分析優(yōu)缺點(diǎn)。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備（環(huán)境）及要求實(shí)驗(yàn)1，3采用C語言編寫，編譯環(huán)境為DEV C+。實(shí)驗(yàn)2涉及矩陣操作，故采用MATLAB編寫。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟1、實(shí)驗(yàn)1（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容采用至少兩種不同的算法求解ex+3*x3-x2-2=0在0,1范圍內(nèi)的一個(gè)根，要求兩次迭代誤差小于10-4。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，比較分析不

3、同算法的性能。（2）主要步驟本實(shí)驗(yàn)由C語言實(shí)現(xiàn)。在兩種不同的算法上選用簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法。簡(jiǎn)單迭代法是將方程化成一個(gè)與原方程同解的方程，方程一端化成自變量x，然后判斷迭代函數(shù)是否收斂，如果收斂的話，不停地迭代將使x趨于一個(gè)定值，這個(gè)定值就是原方程的近似解。而牛頓迭代法是直接給出形如xk+1=xk-f(xk)f(xk)的迭代函數(shù)進(jìn)行迭代，如果滿足兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)，f(x)在a,b上不等于零，f(x)在a,b上不變號(hào)且初值x0滿足條件f(x0) f(x0)0，則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于a,b內(nèi)的唯一根。兩種算法在理論上，牛頓迭代法的收斂速度要大于簡(jiǎn)單迭代法，以下進(jìn)行迭代解非線性方程組并驗(yàn)證

4、收斂速度的差異。1.簡(jiǎn)單迭代法：將x3移項(xiàng)，整理，得到迭代函數(shù)如下：x=3-ex+x2+23，選取收斂的初值點(diǎn)x0=0。在實(shí)現(xiàn)上利用for循環(huán)進(jìn)行迭代，直到相鄰兩次的誤差小于10-4。C語言代碼如下：簡(jiǎn)單迭代函數(shù)：float SimpleIteration(float x) /簡(jiǎn)單迭代 return pow (x*x+2-exp(x)/3.0,1.0/3); /pow (double x,double y);函數(shù)為求x的y次方 主函數(shù)中簡(jiǎn)單迭代法部分： a0=SimpleIteration(0); /簡(jiǎn)單迭代法 printf(簡(jiǎn)單迭代法：n); printf(迭代值tt相鄰兩次誤差n); pr

5、intf(%fn,a0); for(i=1;i+) ai=SimpleIteration(ai-1); d1=fabs(ai-ai-1); printf(%ft%fn,ai,d1); if(d11e-4) break; 2.牛頓迭代法：根據(jù)牛頓迭代法迭代函數(shù)的一般形式可以得到具體的迭代函數(shù)如下：x-ex+3x3-x2-2ex+9x2-2x，選取與簡(jiǎn)單迭代法相同的初值x0=0。C語言代碼如下：牛頓迭代函數(shù)：float NewtonIteration(float x) /牛頓迭代 return x-(exp(x)+3*x*x*x-x*x-2)/(exp(x)+9*x*x-2*x);主函數(shù)中牛頓迭代

6、法的部分： b0=NewtonIteration(0); /牛頓迭代法 printf(n牛頓迭代法：n); printf(迭代值tt相鄰兩次誤差n); printf(%fn,b0); for(j=1;j+) bj=NewtonIteration(bj-1); d2=fabs(bj-bj-1); printf(%ft%fn,bj,d2); if(d21e-4) break; 兩個(gè)迭代法完整C語言代碼如下：#include #include #include #define MAXSIZE 30float SimpleIteration(float x) /簡(jiǎn)單迭代 return pow (x*x

7、+2-exp(x)/3.0,1.0/3); /pow (double x,double y);函數(shù)為求x的y次方 float NewtonIteration(float x) /牛頓迭代 return x-(exp(x)+3*x*x*x-x*x-2)/(exp(x)+9*x*x-2*x);void main() float aMAXSIZE; float bMAXSIZE; float d1=1; float d2=1; int i,j; a0=SimpleIteration(0); /簡(jiǎn)單迭代法 printf(簡(jiǎn)單迭代法：n); printf(迭代值tt相鄰兩次誤差n); printf(%f

8、n,a0); for(i=1;i+) ai=SimpleIteration(ai-1); d1=fabs(ai-ai-1); printf(%ft%fn,ai,d1); if(d11e-4) break; b0=NewtonIteration(0); /牛頓迭代法 printf(n牛頓迭代法：n); printf(迭代值tt相鄰兩次誤差n); printf(%fn,b0); for(j=1;j+) bj=NewtonIteration(bj-1); d2=fabs(bj-bj-1); printf(%ft%fn,bj,d2); if(d21e-4) break; 執(zhí)行程序，結(jié)果如下：可見，牛頓

9、迭代法的收斂速度大于簡(jiǎn)單迭代法，具體詳見實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析。2、實(shí)驗(yàn)2（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容已知如下數(shù)據(jù)：x: 1.0000 1.4000 1.8000 2.2000 2.6000 3.0000 3.4000 3.8000 4.2000 4.6000 5.0000y: 2.7183 6.6448 15.3667 30.1867 52.6542 84.5925 128.1972 186.2022 262.1349 360.7020 488.3660數(shù)據(jù)可能來自于不超過3階多項(xiàng)式和指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)線性組合形成的復(fù)合函數(shù)(1, x, x2, x3, ex, ln(x)，請(qǐng)采用最小二乘算法確定復(fù)合函數(shù)中各個(gè)函數(shù)項(xiàng)的

10、系數(shù)。（2）主要步驟最小二乘法是在確定函數(shù)形式的情況下，找出一條最靠近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線，其判定規(guī)則是i=0mwii2達(dá)到最小。在求解的過程中，用最小二乘法擬合復(fù)合函數(shù)的過程實(shí)際上就是求法方程組的過程。分別寫出各項(xiàng)的內(nèi)積(j,k)和(f,k)然后求解方程組(0,0)(0,n)(n,0)(n,n)a0an=(f,0)(f,n)根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)點(diǎn)和復(fù)合函數(shù)形式，可以定義出如下的6種基函數(shù)，具體的MATLAB代碼如下：function y=f(x,n)if n=1 y=1;endif n=2 y=x;endif n=3 y=x.2;endif n=4 y=x.3;endif n=5 y=exp(x

11、);endif n=6 y=log(x);endend然后在M命令文件中調(diào)用上述函數(shù)，并輸入相應(yīng)的n。整個(gè)法方程組的系數(shù)矩陣可以用一個(gè)三重for循環(huán)實(shí)現(xiàn)，等號(hào)右側(cè)的矩陣用另一個(gè)二重循環(huán)實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)系數(shù)矩陣的MATLAB代碼如下：for k=1:6 %控制行 for i=1:6 %控制列 for j=1:11 %控制所有元素求和 D(k,i)=f(X(j),k).*f(X(j),i)+D(k,i); end endend等式右邊的矩陣的MATLAB代碼如下：for l=1:6%控制行 for m=1:11%控制所有元素求和 F(l)=f(X(m),l).*Y(m)+F(l); endend完整的M

12、ATLAB代碼如下：function a=LS()clcclearformat shortX=1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5;%11個(gè)元素Y=2.7183 6.6448 15.3667 30.1867 52.6542 84.5925 128.1972 186.2022 262.1349 360.7020 488.3660;D=zeros(6);F=zeros(1,6);a=;for k=1:6 for i=1:6 for j=1:11 D(k,i)=f(X(j),k).*f(X(j),i)+D(k,i); end endendfor l=1:6 fo

13、r m=1:11 F(l)=f(X(m),l).*Y(m)+F(l); endenda=DF %求解end得出的結(jié)果如下：a = -2.0006 0.0006 -1.0000 3.0000 1.0000 -5.0008所以，擬合出的復(fù)合函數(shù)應(yīng)為fx=-2.0006+0.0006x-1x2+3x3+ex-5.0008ln(x)3、實(shí)驗(yàn)3（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容選擇一種數(shù)值積分方法求解下列函數(shù)在區(qū)間0,2內(nèi)的積分值，要求精度小于10-5： f(x) = (3x-x2+x3+ex)0.5給出迭代步數(shù)和最終的步長(zhǎng)，并分析你所采用方法的優(yōu)缺點(diǎn)。（2）主要步驟在積分難求出解析解時(shí)通常用數(shù)值解的方法求積分結(jié)果的近似值

14、，在本題的實(shí)現(xiàn)方法上選用復(fù)合Simpson公式進(jìn)行數(shù)值積分的計(jì)算，并從步數(shù)n=2，步長(zhǎng)h=12開始逐步細(xì)化步長(zhǎng)，增大步數(shù)，直到精度滿足題目中的要求10-5。首先在定義一個(gè)題目中給出的待積分的函數(shù)，C語言代碼如下：double function(double x) double s; s=sqrt(3*x-x*x+x*x*x+exp(x); return s; 然后編寫復(fù)合Simpson公式，將其定義在一個(gè)獨(dú)立的函數(shù)中，C代碼如下：double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x) double h,

15、fa,fb,xk,xj; h=(b-a)/n; fa=f(a); fb=f(b); double s1=0.0; double s2=0.0; int k,j; for(k=1;kn;k+) xk=a+k*h; s1=s1+f(xk); for(j=0;j=1e-5;i+) n=i+2; h=1/n; Si=ReiterationOfSimpson(0,2,n,function); printf(%dtt%ft%ft%fn,(int)n,h,Si,Si-Si-1); 程序執(zhí)行的結(jié)果如下：可見，在迭代步數(shù)n為10時(shí)，即步長(zhǎng)為0.1時(shí)，精度達(dá)到要求，且此時(shí)的積分?jǐn)?shù)值約為4.941104。優(yōu)劣性分析

16、見實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析。四：實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析實(shí)驗(yàn)1：通過采用簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法處理同一問題，觀察達(dá)到指定精度時(shí)所需的不同迭代次數(shù)，簡(jiǎn)單迭代法經(jīng)過7步之后誤差小于10-4，牛頓迭代法經(jīng)過6步之后誤差小于10-4，所以在收斂速度上來講，牛頓迭代法的性能優(yōu)于簡(jiǎn)單迭代法。實(shí)驗(yàn)2：通過采用最小二乘法擬合一個(gè)由不超過3階多項(xiàng)式和指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)線性組合形成的復(fù)合函數(shù)，通過解法方程組求解，在求解過程中熟悉了最小二乘法的求解方法和基本概念，包括最小二乘法和插值的區(qū)別所在。在計(jì)算機(jī)中可以通過循環(huán)較容易地求得各個(gè)基函數(shù)的內(nèi)積，從而構(gòu)建求解法方程組。實(shí)驗(yàn)3：通過用數(shù)值積分方法求解一個(gè)函數(shù)在一個(gè)積分區(qū)間的積分值，并根據(jù)具體

17、的精度要求給出迭代步數(shù)和最終步長(zhǎng)。在方法上我選用了復(fù)合Simpson公式法，復(fù)合Simpson公式在Simpson公式的基礎(chǔ)上提高了求積的精度，將a,b等分成n個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上使用低階求積公式計(jì)算，然后把所有子區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果求和。復(fù)合Simpson公式的優(yōu)點(diǎn)在于通過增加子區(qū)間的個(gè)數(shù)可以縮小誤差提高精度，這一點(diǎn)比單純的Simpson公式，梯形公式和Cotes公式要好。但是缺點(diǎn)在于復(fù)合Simpson公式是4階收斂的，在收斂速度上沒有復(fù)合Cotes公式收斂的快，所以需要n=10時(shí)才能達(dá)到精度要求。五：結(jié)論（討論）1、實(shí)驗(yàn)結(jié)論在本次數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)課中一共完成了三個(gè)實(shí)驗(yàn)，分別對(duì)應(yīng)理論課程中三章的

18、內(nèi)容，分別復(fù)習(xí)并實(shí)踐了非線性方程的迭代解法，插值與擬合，積分的數(shù)值解法等內(nèi)容。這三個(gè)實(shí)驗(yàn)涉及到了數(shù)值計(jì)算方法的主要內(nèi)容，熟悉了數(shù)值計(jì)算方法的理論知識(shí)，并加以應(yīng)用，在有一定創(chuàng)新度并結(jié)合各種具體編程環(huán)境的基礎(chǔ)上，在實(shí)踐中體會(huì)到了數(shù)值計(jì)算方法在實(shí)際問題中的作用。在具體實(shí)現(xiàn)上，分別用C語言實(shí)現(xiàn)了1,3兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，用MATLAB實(shí)現(xiàn)了第2個(gè)實(shí)驗(yàn)，鍛煉了把數(shù)值計(jì)算方法結(jié)合到不同應(yīng)用場(chǎng)景的能力，為今后在各領(lǐng)域的使用打下基礎(chǔ)。在具體的實(shí)驗(yàn)上，在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)用了簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法解常見的非線性方程，熟悉了各種非線性方程的解法，包括二分法，簡(jiǎn)單迭代法，牛頓迭代法弦截法和牛頓下山法等。其中應(yīng)用簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法求解了題目中的問題，理解了兩者的區(qū)別，牛頓迭代法