數(shù)學分析學習方法與心得體會

1、數(shù)學分析學習方法數(shù)學分析是基礎課、基礎課學不好，不可能學好其他專業(yè)課。工欲善其事，必先利其器。這門課就是器。學好它對計算科學專業(yè)的學生都是極為重要的。這里，就學好這門課的學習方法提一點建議供同學們參考。1.提高學習數(shù)學的興趣首先要有學習數(shù)學的興趣。兩千多年前的孔子就說過：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！边@里的“好”與“樂”就是愿意學、喜歡學，就是學習興趣，世界知名的偉大科學家、相對論學說的創(chuàng)立者愛因斯坦也說過：“在學校里和生活中，工作的最重要動機是工作中的樂趣?！睂W習的樂趣是學習的主動性和積極性，我們經(jīng)?？吹揭恍┩瑢W，為了弄清一個數(shù)學概念長時間埋頭閱讀和思考；為了解答一道數(shù)學習題而廢寢

2、忘食。這首先是因為他們對數(shù)學學習和研究感興趣，很難想象，對數(shù)學毫無興趣，見了數(shù)學題就頭痛的人能夠?qū)W好數(shù)學，要培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣首先要認識學習數(shù)學的重要性，數(shù)學被稱為科學的皇后，它是學習科學知識和應用科學知識必須的工具?？梢哉f，沒有數(shù)學，也就不可能學好其他學科；其次必須有鉆研的精神，有非學好不可的韌勁，在深入鉆研的過程中，就可以領略到數(shù)學的奧妙，體會到學習數(shù)學獲取成功的喜悅。長久下去，自然會對數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，并激發(fā)出學好數(shù)學的高度自覺性和積極性。用興趣推動學習，而不是用任務觀點強迫自己被動地學習數(shù)學。 2.知難而進，迂回式學習首先要培養(yǎng)學習數(shù)學分析的興趣和積極性，還要不怕挫折，有勇氣面對遇到

3、的困難，有毅力堅持繼續(xù)學習，這一點在剛開始進入大學學習數(shù)學分析時尤為重要。中學數(shù)學和大學數(shù)學，由于理論體系的截然不同，使得同學們會在學習該課程開始階段遇到不小的麻煩，這時就一定得堅持住，能夠知難而進，繼續(xù)跟隨老師學習。學習數(shù)學分析時要注意數(shù)學分析和高等數(shù)學要求不同的地方，否則你學習數(shù)學分析就與高等數(shù)學沒有什么區(qū)別了；而且高等數(shù)學強調(diào)的是計算能力,數(shù)學分析強調(diào)的是分析的能力,分析的能力沒有學到,就談不上學好了數(shù)學分析。學好數(shù)學分析課程還有一個重要的原因是新生們體會不到的，數(shù)學分析的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)性和連續(xù)性很強，這些知識學得不扎實，肯定要影響后面知識的學習。同時將來考碩士，還是要考這門課程。如果大學

4、第一年不把這門課程學好，將來可就難了。剛開始學習數(shù)學分析，會感覺很暈。對于老師所講的知識，雖然表面上能聽懂，但卻不明白知識背后的真正原因，所以總是感覺學到的東西不實在。至于做題就更差勁了，課后習題都沒幾個會做的。其實感覺暈是很正常的，而且還得要暈上幾個月才可能就會好的。所以要硬著頭皮跟著老師學了下來。雖然感覺還是不太懂，雖然做作業(yè)仍然感覺很費勁，但始終不要放棄，這種狀態(tài)是學習數(shù)學分析的一個必經(jīng)之路，因此必須克服這個困難才能學好數(shù)學分析理論知識。除了要堅持外，還要注意不要在某些問題的解決上花費過多的時間。因為數(shù)學分析理論十分嚴謹，教科書在講解初步知識時，有時會不可避免地用到一些以后才能學到的理論

5、思想，因而在初步學習時就對著這種問題不放是十分不劃算的。比如說，在“數(shù)學分析”一開始學習實數(shù)系的確界存在基本定理時，由于當時根本沒什么基礎，所以對于“引入這個定理的目的是什么？”這個問題怎么想也想不通，甚至覺得這個定理沒有什么實質(zhì)的意義。但到后來學到了多元部分的數(shù)學分析，以及專業(yè)課“實變函數(shù)”時，才開始慢慢理解它的真正目的。這里之所以要說明是實數(shù)系有確界存在的性質(zhì)，即相當于有一種連續(xù)的性質(zhì)，目的就是為了后面的極限和連續(xù)做鋪墊的，因為只有在自變量能夠連續(xù)變化的時候，考慮因變量的相應變化才有意義，進而才能研究函數(shù)的性質(zhì)。但是如果沒有學到后面，只了解區(qū)間而不知其它一些怪異的點集時是很難想通這個問題的

6、。所以，在開始學習數(shù)學分析時，可以考慮采取迂回的學習方式。先把那些一時難以想通的問題記下，轉(zhuǎn)而繼續(xù)學習后續(xù)知識，然后不時地回頭復習，在復習時由于后面知識的積累就可能會想通以前遺留的問題，進而又能促進后面知識的深刻理解。這種迂回式的學習方法，使得溫故不但能知新，而且還能更好地知故。但是，也并不是說在初學時就不去思考任何問題。相反，勤于思考是學好數(shù)學必備的好習慣，“數(shù)學是思維的體操”，只有堅持思考才能掌握它的理論體系和邏輯關系。因此，應該在學習時掌握尺度，既要保證有充分的思考，但同時又不能過于鉆牛角尖。3.了解背景，理論式學習數(shù)學分析與中學數(shù)學明顯的一個差異就在于數(shù)學分析強調(diào)數(shù)學的基礎理論體系，而

7、中學數(shù)學則是注重計算與解題。針對這個特點，學習數(shù)學分析就應該注重建立自己的數(shù)學理論知識框架。要學習理論體系，首先就應該知道為什么要建立這種理論，它的作用是什么，這就要了解數(shù)學的歷史背景知識。比如“數(shù)學分析”在一開始就強調(diào)對-N語言的掌握，而它的產(chǎn)生則是由于數(shù)學史上的“第二次數(shù)學危機”引起的。眾所周知，Newton創(chuàng)立的微積分，雖然在其應用方面取得了巨大的成就，但微積分在那時的理論基礎是相當混亂的。Newton在求導數(shù)時先將無窮小量看成非零數(shù)作為分母，后來又將其視做零而舍去，因此這就導致了邏輯上的錯誤。為了給微積分奠定正確而堅實的基礎，大數(shù)學家威爾斯特拉森在Cauchy的基礎上提出了用-N語言的

8、方法來推出極限和導數(shù)的概念。借助-N語言，可以十分清晰地展示出函數(shù)取極限的過程，而且在邏輯上也非常清楚嚴謹。這樣，當了解了這些歷史背景知識之后，就覺得學習-N語言是很必要的，學起來也就自然得多了。除了了解背景幫助我們學習理論知識外，還要下苦功夫去學習。在接觸了這些陌生的數(shù)學理論一段時間后，可能覺得看起來已經(jīng)懂了，但其實自己不一定能真正掌握，尤其是那些證明中內(nèi)含的邏輯關系最容易出錯。所以在學習時，應該適當?shù)赜洃浝碚撝R，有時還應該默寫定理，只有通過默寫才能發(fā)現(xiàn)自己在理論上的漏洞，才能培養(yǎng)出自己嚴密的理論、邏輯能力，這對以后的學習都是很有幫助的。4.把握三個環(huán)節(jié)，提高學習效率(1)課前預習適當?shù)念A

9、習是必要的，了解老師即將講什么內(nèi)容，相應地復習與之相關內(nèi)容。如果時間不多，你可以瀏覽一下教師將要講的主要內(nèi)容，獲得一個大概的印象，這可以在一定程度上幫助你在課堂上跟上教師的思路，如果時間比較充裕，除了瀏覽之外，還可以進一步細致地閱讀部分內(nèi)容，并且準備好問題，看一下自己的理解與教師講解的有什么區(qū)別，有哪些問題需要與教師討論。如果能夠做到這些，那么你的學習就會變得比較主動、深入，會取得比較好的效果。(2)認真上課注意老師的講解方法和思路，其分析問題和解決問題的過程，記好課堂筆記，聽課是一個全身心投入聽、記、思相結(jié)合的過程。教師在有限的課堂教學時間中，只能講思路，講重點，講難點。不要指望教師對所有知

10、識都講透，要學會自學，在自學中培養(yǎng)學習能力和創(chuàng)造能力。所以要努力擺脫對于教師和對于課堂的完全依賴心理。當然也不是完全不要老師，不上課。老師能在課堂教學把主要思路，重點與難點交代清楚，從而使你自學起來條理清楚，有的放矢。對于教師在課堂上講的知識，最重要的是獲得整體的認識，而不拘泥于每個細節(jié)是否清楚。學生在課堂上聽課時，也應當把主要精力集中在教師的證明思路和對于難點的分析上。如果有某些細節(jié)沒有聽明白，不要影響你繼續(xù)聽其它內(nèi)容。只要掌握了主要思路，即使某些細節(jié)沒有聽清楚，也沒有關系。你自己完全能夠在這個思路的引導下將全部細節(jié)補足，最后推出結(jié)論。應當在學習的各個環(huán)節(jié)培養(yǎng)自己的主動精神和自學能力，擺脫對

11、教師與課堂的過分依賴。這不僅是今天學習的需要，而且是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的需要。(3)課后復習復習不是簡單的重復，應當用自己的表達方式再現(xiàn)所學的知識，例如對某個定理的復習，不是再讀一遍書或課堂筆記，而是離開書本和筆記，回憶有關內(nèi)容，不清楚之處再對照教材或筆記。另外，復習時的思路不應當教師講課或者教科書的翻版，一個可供參考的方法是采用倒敘式。從定理的結(jié)論倒推，為了得到定理的結(jié)論，是怎樣進行推理的，定理的條件用在何處。這樣倒置思維方式，更加接近這個定理的發(fā)現(xiàn)的思路，是一種創(chuàng)造性的思維活動。5.掌握方法，全面式學習(1)概念的學習方法是： 閱讀概念，記住名稱或符號；背誦定義，掌握特性；舉出正反實例，體會概念

12、反映的范圍；進行練習，準確地判斷；與其它概念進行比較，弄清概念間的關系。 (2)公式的學習方法是：書寫公式，記住公式中字母問的關系； 懂得公式的來龍去脈，了解推導過程；驗算公式，在公式具體化過程中體會公式中反映的規(guī)律；將公式進行各種變換，了解其不同的變化形式。(3)定理的學習方法是：背誦定理；分清定理的條件和結(jié)論； 了解定理的證明過程； 應用定理證明有關問題； 體會定理與逆否定理、逆命題的聯(lián)系。有的定理包含公式，如中值定理、定理，它們的學習還應該同公式的學習方法結(jié)合起來進行。6.數(shù)學分析解題方法在學習數(shù)學分析過程中，更多的困難來自于習題。首先，大家要重視基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一頭

13、扎進題海中去。上面已經(jīng)提及，提高解題能力重要途徑之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面，因為數(shù)學分析題型變化多樣，解題技巧豐富多彩，許多類型的題目并不是只要掌握好基本概念和基本方法就會作的。需要看一些例題，或者需要教師的指點。不要因為某些題目一時找不到思路而失去信心。至于如何解題，很難總結(jié)出幾個適用于所有題目的通用的方法。怎樣提高自己的解題能力？除了天生的智力因素之外，解題能力首先取決于基本概念和基本原理的理解與掌握程度。所以，多下功夫掌握基本概念和基本原理，盡可能地多做題目，在記憶的基礎上理解，在完成作業(yè)中深化，在比較中構(gòu)筑知識結(jié)構(gòu)的框架，是提高解題能力的重要途徑。另外，做題要善于總結(jié)，特

14、別是從不同的題目中提煉出一些有代表性的思想方法。下面是數(shù)學分析課程中部分內(nèi)容的一些解題方法。(1)數(shù)列的極限重點：了解定義，即證明方法。特別是Cauchy收斂準則。學會反證法的表述法。解法：a.利用壓縮映像或者數(shù)學歸納法及放縮法的到極限存在。然后，假設極限等于c，解出c的具體的值。b.有時可以直接解出數(shù)列的通項公式，然后帶入求得極限。c.Stolz公式。(2)求函數(shù)的極限重點：同1）的重點解法：a.對于一元的情況比較簡單，注意應用極限性質(zhì)時的條件要求。b.對于多元的時候，先處理一個未知數(shù)，再處理第二個。不斷利用放縮法?；蛘邠Q元。c.具體要了解上下極限、上下確界的含義。注意，極限存在也是一個條件

15、，且這個條件是很強的。(3)函數(shù)的連續(xù)性重點：了解定義，和基本證明的方法。了解什么是一致連續(xù)性.解法：a.證明f(x)和g(x)有交點的題目，如果是連續(xù)的，可以用介值定理，否則可以用實數(shù)系的定理來證明。b.有些題目證明f(x)符合某些性質(zhì)，可以先證明整數(shù)、再證明有理數(shù)。最后利用連續(xù)性來證明所有的實數(shù)滿足條件.c.了解什么是一致連續(xù)，能舉得出連續(xù)但不是一致連續(xù)的各種函數(shù)圖像的例子，對于解題時很有幫助的 (4)導數(shù)和微分重點：會求導的各種技巧，并了解定義求導數(shù)的方法。了解可導和連續(xù)的關系。解法：a.一元微分是十分簡單的。二元以上的微分，要用鏈式求導，可能會很繁瑣，但要做到滴水不漏。另外，學會換元的

16、方法。b.對于求最值的題目，首先試試初等方法，不行就用Lagrange乘子法。c.熟練掌握三種中值定理。遇到證明不等式，就想辦法往這三個中值定理靠，構(gòu)造輔助函數(shù)。實在不行，就構(gòu)造f(x)=左邊,g(x)=右邊。證明f(x)-g(x)遞增或者遞減，然后再取邊界的情況討論一下。d.熟練掌握LHospital法則，注意它和Cauchy中值定理的聯(lián)系。注意它的條件必須要導函數(shù)連續(xù)。 c.有些題目可以不用LHospital，直接用Taylor級數(shù)代余項的展開?？赡芨鼮楹啙崱?5)積分重點：熟練不定積分。和多元微積分的各種方法。了解積分中值定理.解法：a.一元微積分比較簡單。多元微積分，強調(diào)技巧。熟練掌握

17、包括換元、 Green（Stokes）定理、Gauss公式。并且注意，使用他們要求有閉曲線，或者封閉曲面。如果沒有封閉的面記得要補上那部分.b.含參變量的積分，掌握萊布尼茲求導公式，剩下的就是求導的各種技巧了。 <1>I(a)=f(a); <2>I(a)=f(a)I(a) <3>題目里面沒有要求求出函數(shù)解析式，只要求一些特殊的值。找到I(x0),I(x0) 的關系，同<2> 具體參見試題。c.積分不等式：積分中值定理或者利用求導的方法證明，基本同前面的導數(shù)的情況。d.學會利用級數(shù)展開的方法求積分，并了解一些特殊的定積分的值。e.了解絕對收斂和相對

18、收斂的區(qū)別。(6)一致連續(xù)和一致收斂重點：充分了解一致收斂的含義。解法：a.大部分題目會和積分或者求和聯(lián)系起來，首先證明（內(nèi)閉）一致收斂，然后用定義證明，將積分區(qū)間分成兩部分，分別趨近于不同的極限.b.證明函數(shù)組一致收斂：AD判別法（注意還有關于積分的AD判別法，參見陳傳璋的版本，歸根到底就是Abel求和公式和分部積分法），或者按照定義作?？赡芤殖蓭讉€區(qū)間，注意這一點，此時是證明對于任意的e，在這幾個區(qū)間中尋找最小的d，使得差小于e。而不是證明分別在這幾個區(qū)間中，一致收斂。c.證明函數(shù)組不是一致收斂的。得到一個數(shù)列xn，如果fn(xn)不趨近于f(x)的話就不是一致收斂的。d.逐項求導和逐項

19、積分要求一致收斂（內(nèi)閉一致收斂也可以）。由于積分和求導都是極限的運算，這就是所謂的極限互相穿越的意思。掌握一定量的題型，對于一些題目，直接知道用什么方法做。有些題目沒有頭緒的時候，可先嘗試找反例，然后想想為什么反例不成功，從中可以的得到不少的啟發(fā)。還有要充分了解函數(shù)的各種性質(zhì)。做題的時候腦子里要有函數(shù)圖像。另外，充分了解定義，特別是一致收斂。了解為什么有時候一致收斂才有題目的結(jié)論，如果條件收斂，是不是也有這樣的條件。多想幾次就有了深刻的了解。遇到不清楚的地方趕快看書，多看幾遍書對于理解題目是非常有用的。再有，盡可能多地參考一些書籍會使你開闊眼界，增長知識，加深理解。每個人有不同的風格。不同的切

20、入角度，會使你有時候讀一些問題豁然開朗。7.學會利用參考書盡可能多地參考一些書籍會使你開闊眼界，增長知識，加深理解。每個作者有不同的風格，不同的切入角度，學會利用參考書會使你對一些問題豁然開朗?？磪⒖紩袃煞N方式，其一是通讀某一本書，不過大家往往沒有太多的時間去通讀教材之外的書。所以我建議大家采用第二種方法：以問題為中心，有選擇地讀參考書，具體地說就是：如果你對數(shù)學分析中的某一部分，或者某個問題有興趣，希望多了解一些，作比較深入的研究，那么可以查閱幾本書，看一看其他書上對這個問題是怎樣論述的，在學習的基礎上，自己可以做一個小結(jié)，在是自學的重要方式。好的輔導書對于幫助自己學習數(shù)學分析也是有用的，

21、但是使用輔導書要注意方法，不要僅僅停留于逐個地看例題，看得懂不等于會做，想到思路不等于做得完全正確。如果你想扎扎實實地提高解題能力，就要認真地、獨立地解題，通過自己動腦動手體會解題的思路、方法和技巧。最后，就是平時沒有事的時候多想想，想想一些定理，自己想不同的方法證明。想想如果沒有其中的某些條件，定理是否仍然成立。總之，掌握了一定方法，再加上自己的努力，必能學好數(shù)學分析這門課，為后繼課程的學習打下扎實的基礎。數(shù)學分析學習心得一、數(shù)學分析內(nèi)容簡介數(shù)學分析內(nèi)容有實數(shù)集與函數(shù)、數(shù)列極限函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、導數(shù)、微分等。書中內(nèi)容大都以證明為主，計算部分較少。二、課前預習課本中每節(jié)的內(nèi)容構(gòu)架都是相似的，大都為引言、定理、定理的證明、例題、課后習題。了解了構(gòu)架。那么我們就應該預習重點部分，在時間充足的的情況下，再看其他未看內(nèi)容。引言，不重要，可以瀏覽一下，也可以不看；定理，是核心的內(nèi)容，不僅看而且要詳細的記住它，所謂詳細的記住是指：把定理的條件不要記錯，這個對證明很有用；接下來是證明，證明影響你對定理的理解程度和運用的熟練程度。可先了解證明思路證明中的計算可以忽略，這樣在老師的講解下就可以明白；最后是例題和習題，例題是對定理最簡單最貼切的應用，所以課前掌握最好，習題可看可不