統(tǒng)計(jì)技術(shù)培訓(xùn)資料第4部分概率

1、 通常，我們開始對(duì)一件事有所行動(dòng)與作為時(shí)，并無法同時(shí)來決定或判斷，因此無法有百分之百的可靠性正確，為了避免失敗而有統(tǒng)計(jì)學(xué)的演進(jìn)發(fā)展，尤其近代工業(yè)大規(guī)模的生產(chǎn)，過程的原料、設(shè)備、操作、人員之不同，以及制造過程中因素的錯(cuò)綜復(fù)雜，在品質(zhì)的控制上時(shí)會(huì)發(fā)生變化，這些變化，有時(shí)可以馬上觀察獲得，加以改正，但有時(shí)卻變化于不知不覺中，無法由表面馬上發(fā)現(xiàn)其跡象，就不得不藉助于統(tǒng)計(jì)的方法了。那么，什么叫做統(tǒng)計(jì)的方法呢？在前面已有說明，在此，不妨再強(qiáng)調(diào)一遍，所謂統(tǒng)計(jì)方法是根據(jù)過去的事實(shí)，加以收集、整理、分析其將來可能再度發(fā)生的事實(shí)而實(shí)施推論判斷的方法。 今日，利用統(tǒng)計(jì)資料，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法來經(jīng)營(yíng)企業(yè)，協(xié)助困難之解決已是

2、非常普遍，如管制圖、抽樣檢驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)計(jì)劃的應(yīng)用，都是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法，另外，如資料匯整、成本計(jì)算、生產(chǎn)計(jì)劃、銷售預(yù)測(cè)、資料管理、市場(chǎng)調(diào)查等亦皆賴統(tǒng)計(jì)方法之協(xié)助，特別在品質(zhì)管制應(yīng)用方面，統(tǒng)計(jì)占有極重要的份量，成尤其是樣本與群體之關(guān)系及各種分配實(shí)為研究統(tǒng)計(jì)或品管不可忽略的基本知識(shí)。 概率概率 期望值期望值 概率分配的種類概率分配的種類 超幾何分配超幾何分配 二項(xiàng)分配二項(xiàng)分配 卜易生分配卜易生分配 常態(tài)分配常態(tài)分配 各種分配之比較各種分配之比較 概率的定義概率的定義 概率的種類概率的種類 互斥事項(xiàng)與獨(dú)立事項(xiàng)互斥事項(xiàng)與獨(dú)立事項(xiàng) 概率的加法與乖法概率的加法與乖法1.1 概率的定義概率的定義 宇宙間，任何一種現(xiàn)

3、象的發(fā)生，雖然我們無法預(yù)先知道，但是，我們可以根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)，及積累下來合理的數(shù)字加以預(yù)測(cè)與表示，這種方法即是概率。概率也可以說是隨機(jī)的或非決定性的試驗(yàn)。例如研究某項(xiàng)A之出現(xiàn)次數(shù)為fA，與出現(xiàn)各種事項(xiàng)總次數(shù)N之比，即為出現(xiàn)事項(xiàng)A的概率以P(A)表示。1.2 概率的種類概率的種類概率可分為先知概率與經(jīng)驗(yàn)概率 先知概率先知概率 如果一事件已知其可能發(fā)生之各種不同結(jié)果，而這些結(jié)果是互相排斥，而且各有同等機(jī)會(huì)發(fā)生稱之為先知概率，如投擲銅幣，正面反面出現(xiàn)機(jī)會(huì)各為二分之一，且皆有可能出現(xiàn)，我們是已經(jīng)知道它們出現(xiàn)的或然率。 經(jīng)驗(yàn)概率經(jīng)驗(yàn)概率 一種事件之結(jié)果，經(jīng)過數(shù)次的試驗(yàn)，加以歸納而得，其間，某種特性發(fā)生之

4、可能性點(diǎn)總試驗(yàn)的百分比，稱為經(jīng)驗(yàn)概率，當(dāng)試驗(yàn)愈多次，則概率的精確度愈高。1.3 互斥事件與獨(dú)立事件互斥事件與獨(dú)立事件互斥事件與非互斥事件互斥事件與非互斥事件 一事件發(fā)生時(shí)，其余事件皆不能同時(shí)發(fā)生時(shí)，這些事件稱為互斥事件。反之，稱為非互斥事件。獨(dú)立事件與從屬事件獨(dú)立事件與從屬事件 事件發(fā)生與否彼此無關(guān)，稱為獨(dú)立事件，例如第一次擲骰子得一之概率為1/6，第二再擲得一之概率仍為1/6，此兩事件稱為獨(dú)立事件。反之，事件發(fā)生會(huì)影響其它事項(xiàng)出現(xiàn)之概率稱為從屬事件。1.4 概率的加法與乖法概率的加法與乖法 加法定律加法定律 互斥事件互斥事件 非互斥事件非互斥事件 乖法定律乖法定律 獨(dú)立事件獨(dú)立事件 從屬事件

5、從屬事件互斥事件互斥事件 若事件A與B為互斥，則在同一次試行中發(fā)生A或B之概率為該事件分別發(fā)生概率之和。P(A+B)=P(A)+P(B) 例：自一副牌中抽取一張紅牌（紅心與紅磚）的概率為何？例：自一副牌中抽取一張紅牌（紅心與紅磚）的概率為何？ 解：設(shè)抽取一張紅心之概率為解：設(shè)抽取一張紅心之概率為P(A)，抽取一張紅磚之概率為，抽取一張紅磚之概率為P(B)，則：，則： P(A)=1/4, P(B)=1/4 P(A+B)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2非互斥事件非互斥事件 若事件A與事件B為非互斥事件，則在同一次試行中發(fā)生A或B之概率為該兩事件分別發(fā)生概率之和，再減去該兩事件同時(shí)發(fā)生之

6、概率，即：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 例：自一副牌中抽取黑桃之概率，以例：自一副牌中抽取黑桃之概率，以P(A)表示，或抽取各色之表示，或抽取各色之A之概率，以之概率，以P(B)表示，兩者之總概率為何？表示，兩者之總概率為何？ 解：解： P(A)=13/52=1/4 P(B)=4/52=1/13 P(AB)=(1/4)*(1/13)=1/52 P(A+B)=1/4+1/13-1/52=4/13獨(dú)立事件獨(dú)立事件 若n個(gè)事件互為獨(dú)立事件，其發(fā)生之概率為P(A1)、P(A2)P(An)，則此n事件同時(shí)發(fā)生之概率為各概率之乖積，即：P(A1A2An)=P(A1)*P(A2) P(An)

7、 例：從四副牌中，各抽出一張，其均為黑桃之概率為何？例：從四副牌中，各抽出一張，其均為黑桃之概率為何？ 解：從第一副牌中，取出黑桃之概率為解：從第一副牌中，取出黑桃之概率為P(A1)=1/4；第二副、第三副與第四副牌；第二副、第三副與第四副牌中取出黑桃之概率中取出黑桃之概率P(A2)、P(A3)、P(A4)也均等于也均等于1/4 故：故： P(A1A2A3A4)=P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4) =(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1/256從屬事件從屬事件 若事件A、B為從屬事件，則A與B均發(fā)生之概率為發(fā)生A之概率與發(fā)生A后再發(fā)生B之概率之乘積或?yàn)榘l(fā)生B之概率與發(fā)

8、生B后再發(fā)生A之概率之乘積，即：P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B) 例：從一副牌中，連續(xù)抽出兩張，均為黑桃之概率為何？例：從一副牌中，連續(xù)抽出兩張，均為黑桃之概率為何？ 解：抽第一張牌，出現(xiàn)黑桃之概率為解：抽第一張牌，出現(xiàn)黑桃之概率為P(A)=1/4；抽第一張黑桃后，再抽第二張；抽第一張黑桃后，再抽第二張出現(xiàn)黑桃之概率為出現(xiàn)黑桃之概率為P(B/A)=(13-1)/(52-1)=12/51=4/17 故：前后兩種均為黑桃之概率故：前后兩種均為黑桃之概率P(AB)=P(A)*P(B/A) =(1/4)*(4/17)=1/17在一試驗(yàn)中，各變量發(fā)生概率之總和為一，則所有可能出

9、現(xiàn)的數(shù)值，與其相對(duì)概率乖積之和稱為期望值，即：(X)=XiPi=XiP(X=Xi) 例：骰子六面分別為例：骰子六面分別為1、2、3、4、5、6點(diǎn)，各面出現(xiàn)之概率分別為點(diǎn)，各面出現(xiàn)之概率分別為1/6，試求，試求任一次點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)之期望值。任一次點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)之期望值。 解：解：(X)=(1*(1/6)+(2*(1/6)+(3*(1/6)+(4*(1/6)+(5*(1/6)+(6*(1/6) =1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+1 =7/2=3.5 在實(shí)際生產(chǎn)作業(yè)中，所遭遇的問題，往往是千變?nèi)f化的，要一一加以了解，無法做到，科學(xué)分析的方法是必要的，因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家將其歸納成幾種形態(tài)，以數(shù)學(xué)的方法來解決分

10、歧變化，下列各種分配均為品質(zhì)管制中常用的分配形態(tài)。 間斷分配間斷分配 超幾何分配超幾何分配 二項(xiàng)分配二項(xiàng)分配 卜易生分配（也稱之為卜瓦松分配）卜易生分配（也稱之為卜瓦松分配） 連續(xù)分配連續(xù)分配 常態(tài)分配常態(tài)分配 超幾何分配的定義超幾何分配的定義 超幾何分配的特性超幾何分配的特性 設(shè)有一群體之批量N，批量之不良數(shù)為p。從批量中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本（抽出后不再放回），在此n個(gè)樣本中含有r個(gè)不良品之機(jī)率為P，此種概率之分配，稱之為超幾何分配。 例：袋中有30個(gè)成品，其中20個(gè)良品，10個(gè)不良品，今隨機(jī)抽取5個(gè)成品，問抽出良品3個(gè)、不良品2個(gè)之概率有多少？ 解： NnNpNrnNprCCCP為p個(gè)不良品被

11、抽出r個(gè)不良品之組合數(shù)為(n-np)個(gè)不良品中被抽出n-r個(gè)良品之組合數(shù)為從批量N個(gè)中，隨機(jī)抽取n個(gè)樣本之組合數(shù)0.36263095054321262728293032118192021910305203102NnNpNrnNprCCCCCCPNnCNpNrnCNprC超幾何分配各變量出現(xiàn)概率之總和等于一。此分配之變量為不連續(xù)函數(shù)，范圍由0至n。其期望值(X)=np。當(dāng)其P等于1/2時(shí)為對(duì)稱分配，當(dāng)P小于1/2時(shí)為偏左分配，當(dāng)P大于1/2時(shí)為偏右分配。 二項(xiàng)分配的定義二項(xiàng)分配的定義 二項(xiàng)分配的特性二項(xiàng)分配的特性 若母群體之個(gè)數(shù)N趨近于無限大時(shí)，超幾何分配之極限形態(tài)稱為二項(xiàng)分配，即一無限群體之批

12、量N，批之不良率為p，良率為q，則q=1-p。從批中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，在此n個(gè)樣本中，有r個(gè)不良品之概率為P，此種概率分配稱為二項(xiàng)分配。 例：一袋中有10個(gè)成品，其中8個(gè)是良品，2個(gè)是不良品，今隨機(jī)抽取一個(gè)，把所抽的良品或不良品記錄后，放回袋中再均勻混合，如此反復(fù)抽樣，直到第五次，試求所抽取的成品中，有3個(gè)良品，2個(gè)不良品的概率為何？ 解：抽樣不良品的概率p=2/10=1/5，良品之概率為q=1-1/5=4/5。 N=5 r=2rnrnrqpCP625128125642512145)54()51(CqpCP25252rnrnr二項(xiàng)分配各變量出現(xiàn)的概率為一。此分配的變量，亦為不連續(xù)函數(shù)，其變量范

13、圍為0至n。其期望值(X)=np。當(dāng)P等于1/2時(shí)，此分配為對(duì)稱分配；當(dāng)P小于1/2時(shí)，此分配為偏右分配；當(dāng)P大于1/2時(shí)，此分配為偏左分配。 卜易生分配的定義卜易生分配的定義 卜易生分配的特性卜易生分配的特性 當(dāng)母群體為不良率P極小，且n趨向于無限大時(shí)，則二項(xiàng)分配之極限式稱為卜易生分配。 例：設(shè)一袋中之物品不良率為0.005，今抽樣60，問不良品數(shù)為5之概率為多少？ 解：C=5 np=600.005=0.3C!npePnnpP：不良率 C：抽樣時(shí)不良品數(shù)n：抽樣數(shù) e：自然對(duì)數(shù)（e=2.71828）000015. 012345) 3 . 0()71828. 2(C!npeP53 . 0nnp

14、各變量發(fā)生概率之和為一。此分配為一不連續(xù)函數(shù)，其變量所在之范圍為0至。其期望值為(X)=np。 常態(tài)分配的定義常態(tài)分配的定義 常態(tài)分配曲線之特性常態(tài)分配曲線之特性 常用之常態(tài)曲線概率常用之常態(tài)曲線概率 常態(tài)分配之查表法常態(tài)分配之查表法 在前面介紹過在次數(shù)分配或直方圖之繪制中，若數(shù)據(jù)量無限增大，并將組距縮小時(shí)，所得到之鐘形平滑分配曲線，即為常態(tài)分配曲線，如右下圖所示。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常態(tài)分配是最重要的連續(xù)回?cái)?shù)概率之一，很多自然現(xiàn)象，工業(yè)上之狀況與社會(huì)上各種問題，如為計(jì)量值，且正常之情形下，皆為此種分配曲線。其概率函數(shù)式為： 式中：X為計(jì)量值變量； 為一群X變更之平均值； X為一群X變量之標(biāo)準(zhǔn)差； y

15、為X之概率密度)XX(21XXe21yXX-R通過平均值處，作一縱坐標(biāo)，則此曲線依此縱坐標(biāo)對(duì)稱。曲線以平均值對(duì)應(yīng)之最高點(diǎn)為中心。且為最大值，其處中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)相等。曲線以平均值對(duì)應(yīng)之最高點(diǎn)為中心，向二側(cè)逐漸下降，并且很快的與橫坐標(biāo)相接近，但并不相交。曲線向二側(cè)逐漸下降后，初則逐漸加陡，至?xí)r則逐漸轉(zhuǎn)平，此轉(zhuǎn)向之點(diǎn)謂之反曲點(diǎn)。常態(tài)分配曲線與橫軸所圍的面積等于一，表示全部X變量發(fā)生差率之總和等于100%。oeMMX-以平均值為軸兩邊對(duì)稱各占50%所有面積和等于1（100%）最高點(diǎn)反曲點(diǎn)21Xy 曲線逐漸轉(zhuǎn)平112233XX-Xa XbXaXXbXaXb所在范圍之發(fā)生概率 常態(tài)曲線上之概率，是以

16、任意兩X變量之間所夾面積計(jì)算，如下圖所示，在X=Xa及X=Xb兩縱軸之間，常態(tài)曲線與橫坐標(biāo)所夾的面積即為XaXXb之發(fā)生概率。 曲線由平均值二側(cè)之離散程度（即）在XR，R=1、2、3之概率以百分比表示如下： X=Xbar1之間：68.28% X=Xbar2之間：95.45% X=Xbar3之間：99.73% 應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配來分析研究一個(gè)問題時(shí)，必須確知某一變量值之縱坐標(biāo)之高度，或某兩變量值間與常態(tài)分配曲線所包圍之面積，此計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，必須用積分方法，所幸統(tǒng)計(jì)學(xué)家，在計(jì)算發(fā)生概率時(shí)，通常不用Xbar、X及X值，而將這些數(shù)值交換為“標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)變數(shù)”以Z表示：Z=（X-Xbar)/X 而可直接自常態(tài)

17、分布表中，查出Z在某范圍內(nèi)之發(fā)生概率。 詳盡的常態(tài)分配數(shù)值如右DOC文件。1. 由標(biāo)準(zhǔn)值查縱坐標(biāo)之高度 同標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配由線系對(duì)稱于縱坐標(biāo)，故只要標(biāo)準(zhǔn)值之絕對(duì)值同，其所對(duì)應(yīng)之縱坐標(biāo)高度亦相同，故此縱坐標(biāo)表僅列出標(biāo)準(zhǔn)值為正的側(cè)之縱坐標(biāo)之高度。2. 由標(biāo)準(zhǔn)值查面積 常態(tài)分配數(shù)值中之面積值，系由縱軸至某一特定值Z間之面積。因標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配曲線與橫軸間炎面積為1，且因標(biāo)準(zhǔn)常分配對(duì)稱于縱軸，所以標(biāo)準(zhǔn)值的絕對(duì)值相同之間的面積亦相同，故此面積數(shù)值表與縱坐標(biāo)數(shù)值表同，僅列出標(biāo)準(zhǔn)值為正的一側(cè)之面積值。分配形態(tài)分配形態(tài)常態(tài)分配常態(tài)分配超幾何分配超幾何分配二項(xiàng)分配二項(xiàng)分配卜易生分配卜易生分配分配形態(tài)分配形態(tài)計(jì)算公式計(jì)算公式通用范圍通用范圍計(jì)量值數(shù)據(jù)（即連續(xù)數(shù)據(jù)）之分配計(jì)數(shù)值數(shù)據(jù)之分配（