解析幾何中的探究型存在性問題28教案29

1、解析幾何中的存在性問題【教學(xué)目的】1.掌握解決探究型存在性問題的幾種方法；2.提高邏輯推理能力與運算求解能力，培養(yǎng)解決解析幾何問題的自信;3.體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.【教學(xué)重難點】1 .重點：解決探究型存在性問題的幾種方法.2 .難點：代數(shù)運算求解.【教學(xué)過程】一、方法回顧與歸納回顧學(xué)生曾經(jīng)做過的探究型存在性問題，歸納解題方法.問題1已知點A(1,0),B(1,0)，直線I：y=x2上是否存在點P,使得PA+|PB=4?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.分析滿足PA+PB=4的點P的軌跡是以點A(1,0),B(1,0)為焦點，長軸長為4的22橢圓直線Hy=x-2過橢圓的右頂

2、點(2,0)，與橢圓相交.解方程組y=x-2,22£上二143得P(2,0)或P(|,號).由此，我們可以歸納出解決存在性問題的第一種方法構(gòu)造軌跡求交點：在探究點的存在性時，可以從該點滿足的部分條件入手，構(gòu)造該點所在的軌跡曲線，再研究這些曲線的交占八、2問題2已知雙曲線x2y-=1的左頂點為A，右焦點為F,B是雙曲線在第一象限內(nèi)的任3就是傾斜角正切值，只需驗證tan/BFA=tan2/BAF即可(須注意tan/BFA=kBF).解當(dāng)BF垂直于x軸時，B(2,3).此時，/BFA=90°/BAF=45°/BFA=2/BAF.當(dāng)22y°BF不垂直于x軸時，設(shè)

3、B(xo,yo)，因為點B在雙曲線上，所以X)-=1.因為3所以tan/BFA=kBF=y-xo2，tan/BAF=kBA=1tan2._BAF二2tan/BAF21-tan_BAF2y-x-1y-S+1y-X-2二tan._BFA.綜上，存在n=2,使得/BFA=n/BAF恒成立.由此，我們可以歸納出解決存在性問題的第二種方法一一先猜后證：從特殊情況入手,從圖形的對稱性入手，先猜出結(jié)果，再證明.對于存在性問題，更一般的做法是假設(shè)檢驗(反證)法：先假設(shè)對象存在，假設(shè)結(jié)論的某一方面成立，在此假設(shè)條件下，進(jìn)行合理的演繹推理和計算.若得出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，并驗證其他條件準(zhǔn)確無誤，即

4、可肯定假設(shè).但是這種做法一般運算量會稍微大一點，所以建議學(xué)生如果能先猜后證的話，盡量采用先猜后證法.、典型例題2例1(2008廣東文理18)設(shè)A、B分別是橢圓寸=1長軸的左、右端點，試探究在拋2物線x2二8(y-1)上是否存在點P，使得ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由(不必具體求出這些點的坐標(biāo)).分析若A為直角頂點，有一個；若B為直角頂點，也有一個；若P為直角頂點，考慮特以AB為直徑的圓，因為拋物線的頂點在圓的內(nèi)部，所以拋物線與圓有2個交點.綜上，總共有4個點符合題目要求.例2x軸上是否存在異于點P(2,0)定點M，使得以橢圓E:x2+3y2=4的任意一條過點M的

5、弦AB為直徑的圓都過點P?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.分析考慮特殊情況：當(dāng)弦AB垂直于x軸時，與x軸的交點為(1,0).只需要驗證(1,0)是否符合題目要求.解法一(先猜后證法)當(dāng)且僅當(dāng)PA丄PB時，AB為直徑的圓點P.當(dāng)弦AB垂直于x軸時，由橢圓的對稱性可知kPA=1,直線PA的方程為y=x2.與橢圓方程聯(lián)立，消去y,解得x=1以下只需要驗證M(1,0)是否符合題目要求即可.設(shè)Ag,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為x=ky+1與橢圓方程聯(lián)立，消去x，整理得2k3(k2+3)y2+2ky3=0.根據(jù)韋達(dá)定理，有y1+y2=k丁3，y1y2=k"匚3.因為T

6、T卩人=(兇-2,%),PB=(X2-2,y2),所以TTPAPB-2)(X2-2)yy=(k%-1)(ky2T)yy=(k21)y1y2-k(y1y2)1223(kJ.衛(wèi)_k23k23=0.因此，存在符合條件的點M，其坐標(biāo)為M(1,0).解法二(假設(shè)驗證法)假設(shè)存在這樣的點M.設(shè)M(m,0)(mz2)A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為x=ky+m.與橢圓方程聯(lián)立，消去x，整理得(k2+3)y2+2kmy+m24=0.根2/有y1+y2=-3，y2=學(xué)亠3因為k十3k十3據(jù)韋達(dá)定理，PA=(x-2,yi),PB=(x2-2,y2),所以PAPB二(X1-2)(X2-2)妙2=

7、(k%m-2)(ky?m-2)22=(k-1)y°2k(m-2)(力y?)(m-2)(m2-4)(k21)2k2m(m-2)2+(m_2)k234(m-1)(m-2)k23k23當(dāng)m=1時,PA=0恒成立因此，存在符合條件的點M，其坐標(biāo)為M(1,0).解法三當(dāng)且僅當(dāng)PA丄PB時，AB為直徑的圓點P.設(shè)A(Xi,yi),B(X2,Y2)，直線PA的1方程為x=ty+2,則直線PB的方程為x=y+2.不妨設(shè)t>0.聯(lián)立直線FA的方程與橢圓的4t6o-2方程，消去x,整理得(t23)y24ty=0,解得y1=2十3,X1=ty12=2十3.同理可得y2t十3t十3t6t?23-277，X1=3-27.當(dāng)t=1時，A(1,1),B(1,1),此時直線AB的方程為x=1,過x軸3t31上的點(1,0).當(dāng)tMl時，直線右(x-涪)，整理得AB的斜率為k=y2x1=2,故直線AB的方程為y+；2X2x13(tl)t十34ty=2(x1).所以，直線AB恒過定點M(1,0).3(t1丿因此，存在符合條件的點M，其坐標(biāo)為M(1,0).三、小結(jié)事實上，存在性問題