第12講　反比例函數(shù)及其圖象

1、數(shù)學(xué)第12講反比例函數(shù)及其圖象 第12講反比例函數(shù)及其圖象 1概念：函數(shù)_ykx(k0)_叫做反比例函數(shù)2圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，不與兩坐標(biāo)軸相交的兩條雙曲線3性質(zhì)：(1)當(dāng) k0 時， 其圖象位于_第一、 三象限_， 在每個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而_減小_； (2)當(dāng) k0 時，其圖象位于_第二、四象限_，在每個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而_增大_；(3)其圖象是關(guān)于原點(diǎn)對稱的中心對稱圖形， 又是軸對稱圖形4應(yīng)用：如圖，點(diǎn) A 和點(diǎn) C 是反比例函數(shù) ykx(k0)的圖象上任意兩點(diǎn)，畫 ABx 軸于點(diǎn) B，CDy 軸于點(diǎn) D，則有 SAOBSCOD|k|2； 注意根據(jù)圖象所在象限

2、來確定 k 的符號 一個模型一個模型 反比例函數(shù)關(guān)系在生產(chǎn)、生活、科技等方面廣泛反比例函數(shù)關(guān)系在生產(chǎn)、生活、科技等方面廣泛應(yīng)用應(yīng)用，解決這類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化解決這類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建建立反比例函數(shù)的模型立反比例函數(shù)的模型，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)、然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖象解決問題注意：反比例函數(shù)的圖象反映的變化圖象解決問題注意：反比例函數(shù)的圖象反映的變化規(guī)律明顯規(guī)律明顯，常利用它的圖象找出解決問題的方案常利用它的圖象找出解決問題的方案 一個思想一個思想 數(shù)形結(jié)合思想就是把圖形與數(shù)量關(guān)系巧妙、和諧地?cái)?shù)形結(jié)合思想就是把圖形與數(shù)量關(guān)系巧妙、和諧地結(jié)合起來結(jié)合起來，使數(shù)

3、學(xué)問題更直觀、更容易解決這一思想在使數(shù)學(xué)問題更直觀、更容易解決這一思想在這一講中應(yīng)用非常廣泛例如借助函數(shù)的圖象比較大小這一講中應(yīng)用非常廣泛例如借助函數(shù)的圖象比較大小等等 兩個防范兩個防范 (1)反比例函數(shù)中反比例函數(shù)中，y隨隨x的大小而變化的情況的大小而變化的情況，應(yīng)分應(yīng)分x0與與x0兩種情況討論兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成而不能籠統(tǒng)地說成“k0時時，y隨隨x的增大而增的增大而增大大”雙曲線上的點(diǎn)在每個象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)在每個象限內(nèi)，y隨隨x的變化是一致的的變化是一致的，但在不同但在不同象限內(nèi)的兩個點(diǎn)比較函數(shù)值的大小時象限內(nèi)的兩個點(diǎn)比較函數(shù)值的大小時，當(dāng)當(dāng)k0時時，第一象限內(nèi)的點(diǎn)第一象限內(nèi)的

4、點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正的縱坐標(biāo)都為正，而第三象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為負(fù)；當(dāng)而第三象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為負(fù)；當(dāng)k0時時，第二象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為正第二象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為正，而第四象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都而第四象限內(nèi)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)值都為負(fù)為負(fù) (2)在比較大小時在比較大小時，不可以忽略了反比例函數(shù)的圖象是由兩條分不可以忽略了反比例函數(shù)的圖象是由兩條分支組成的支組成的(分別在不同的兩個象限分別在不同的兩個象限)，在不同的象限是不能用它的性質(zhì)在不同的象限是不能用它的性質(zhì)來判斷的來判斷的，而是要分別討論運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時而是要分別討論運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，要注意在每要注意在每一個象限內(nèi)的要求一個

5、象限內(nèi)的要求 1 (2014株洲)已知反比例函數(shù) ykx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2， 3)，那么下列四個點(diǎn)中，也在這個函數(shù)圖象上的是()A(6，1)B(1，6)C(2，3)D(3，2)2(2014隨州)關(guān)于反比例函數(shù) y2x的圖象， 下 列 說 法正確的是()A圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，1)B兩個分支分布在第二、四象限C兩個分支關(guān)于 x 軸成軸對稱D當(dāng) x0 時，y 隨 x 的增大而減小AD 3(2014杭州)函數(shù)的自變量 x 滿足12x2 時，函數(shù)值 y滿足14y1，則這個函數(shù)可以是()Ay12xBy2xCy18xDy8xA 解析：把解析：把x2(1)2(1)代入四個選項(xiàng)中的解析式可得代入四個選項(xiàng)中的解析式可得

6、y的值的值，再再把把x2代入解析式可得代入解析式可得y的值的值，然后可得答案然后可得答案 4(2014溫州)如圖，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A 在第一象限，ABx 軸，ADy 軸，且對角線的交點(diǎn)與原點(diǎn) O 重合在邊 AB 從小于 AD 到大于 AD 的變化過程中，若矩形 ABCD 的周長始終保持不變，則經(jīng)過動點(diǎn)A 的反比例函數(shù)ykx(k0)中k的值的變化情況是()A一直增大B一直減小C先增大后減小D先減小后增大A 解析：設(shè)矩形解析：設(shè)矩形ABCD中中，AB2a，AD2b. 矩形矩形ABCD的周長始終保持不變的周長始終保持不變， 2(2a2b)4(ab)為定值為定值， ab為定值為定值矩形對角線的

7、交點(diǎn)與原點(diǎn)矩形對角線的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合重合， kABADab，又又ab為定值時為定值時，當(dāng)當(dāng)ab時時，ab最大最大， 故選故選C 5(2014紹興)如圖，邊長為 n 的正方形 OABC的邊 OA，OC 在坐標(biāo)軸上，點(diǎn) A1，A2， ，An1為OA 的 n 等分點(diǎn)，點(diǎn) B1，B2， ，Bn1為 CB 的 n 等分點(diǎn)，連結(jié) A1B1，A2B2， ，An1Bn1，分別交曲線 yn2x(x0)于點(diǎn) C1， C2， ， Cn1.若 C15B1516 C15A15，則 n 的值為_(n 為正整數(shù))17 解析：正方形 OABC 的邊長為 n，點(diǎn) A1，A2， ，An1為 OA 的 n 等分點(diǎn)，點(diǎn) B1，B2

8、， ，Bn1為 CB 的 n 等分點(diǎn)，OA1515，OB1515.C15B1516C15A15，C15(15，n17)，點(diǎn) C 在曲線 yn2x(x0)上，15n17n2，解得 n17 反比例函數(shù)圖象的確定反比例函數(shù)圖象的確定【例 1】 已知圖中的曲線是反比例函數(shù) ym5x(m 為常數(shù))圖象的一支(1)這個反比例函數(shù)圖象的另一支在第幾象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？(2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y2x 的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為 A， 過 A 點(diǎn)作 x軸的垂線， 垂足為點(diǎn) B， 當(dāng)OAB的面積為 4 時，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式解：這個反比例函數(shù)圖象的另一支在第三象限解：這個反比例

9、函數(shù)圖象的另一支在第三象限， mm50， mm5 解：點(diǎn) A 在直線 y2x 上，設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(x0，2x0)(x00)，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(x0，0)SOAB4，12x02x04，x02(舍去負(fù)值)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2，4)，又點(diǎn) A 在雙曲線 ym5x上，4m52，m58.反比例函數(shù)的解析式為 y8x【點(diǎn)評】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)取決于系數(shù)的值，反過來由圖象的性質(zhì)， 也可以確定系數(shù)的符號 要熟記函數(shù)的性質(zhì)并靈活應(yīng)用這些性質(zhì) 1(1)(2013荊門荊門)若反比例函數(shù)若反比例函數(shù)y 的圖象過點(diǎn)的圖象過點(diǎn)(2，1)，則一次函數(shù)則一次函數(shù)ykxk的圖象過的圖象過( )A第一、二、

10、四象限第一、二、四象限 B第一、三、四象限第一、三、四象限C第二、三、四象限第二、三、四象限 D第一、二、三象限第一、二、三象限kxA (2)(2013畢節(jié)畢節(jié))一次函數(shù)一次函數(shù)ykxb(k0)與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y(k0)的圖象在同一直角坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所的圖象在同一直角坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所示示，則則k，b的取值范圍是的取值范圍是( ) Ak0，b0 Bk0，b0 Ck0，b0 Dk0，b0 (2)(2013畢節(jié)畢節(jié))一次函數(shù)一次函數(shù)ykxb(k0)與反比例函數(shù)與反比例函數(shù)y(k0)的圖象在同一直角坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所的圖象在同一直角坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所示示，則則k，b

11、的取值范圍是的取值范圍是( C )Ak0，b0 Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0解析：一次函數(shù) ykxb 的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，k0，b0，又反比例函數(shù) ykx(k0)的圖象經(jīng)過第二、四象限，k0，綜上所述 k0，b0，故選 C 待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式【例例2】(2014廣安廣安)如圖如圖，反比例函數(shù)反比例函數(shù)y(k為常數(shù)為常數(shù)，且且k0)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)(1)求反比例函數(shù)的解析式；求反比例函數(shù)的解析式；(2)在在x軸正半軸上有一點(diǎn)軸正半軸上有一點(diǎn)B，若若AOB的面積為的面積為6，求直求直線線AB的解析式的解析式解：(1)反比例函數(shù) y

12、kx(k 為常數(shù)，且 k0)經(jīng)過點(diǎn) A(1，3)，3k1，解得 k3，反比例函數(shù)的解析式為 y3x (2)設(shè) B(a，0)，則 BOa，AOB 的面積為 6，12a36，解得 a4，B(4，0)，設(shè)直線 AB 的解析式為 ykxb，經(jīng)過 A(1，3)B(4，0)，3kb，04kb，解得k1，b4，直線 AB 的解析式為 yx4【點(diǎn)評】反比例函數(shù)表達(dá)式中只有一個待定系數(shù)，由一對已知對應(yīng)值即可確定函數(shù)解析式，而一次函數(shù)中有兩個待定系數(shù)，要求出其系數(shù)，需要已知兩對對應(yīng)值 2(2014襄陽)如圖，一次函數(shù) y1x2 的圖象與反比例函數(shù) y2kx的圖象相交于 A，B 兩點(diǎn)，與 x 軸相交于點(diǎn) C.已知

13、tanBOC12，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(m，n)(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)請直接寫出當(dāng) xm 時，y2的取值范圍 解：(1)作 BDx 軸于點(diǎn) D，如圖，在 RtOBD中，tanBOCBDOD12，nm12，即 m2n，把點(diǎn) B(m，n)代入 y1x2 得 nm2，n2n2，解得 n2，m4，B 點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)，把 B(4，2)代入 y2kx得 k4(2)8，反比例函數(shù)解析式為 y28x(2)當(dāng) x4，y2的取值范圍為 y20 或 y22 【點(diǎn)評點(diǎn)評】現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)解答該類問

14、題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式若問題中然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式若問題中兩個變量不是單一的一次函數(shù)或反比例函數(shù)關(guān)系兩個變量不是單一的一次函數(shù)或反比例函數(shù)關(guān)系，而是而是二者的復(fù)合二者的復(fù)合，則應(yīng)分段討論則應(yīng)分段討論，并注意在實(shí)際問題中提煉并注意在實(shí)際問題中提煉出函數(shù)模型出函數(shù)模型，往往要加自變量的取值范圍往往要加自變量的取值范圍 3(2013玉林玉林)工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料煅燒和鍛工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料煅燒和鍛造兩個工序造兩個工序，即需要將材料燒到即需要將材料燒到800 ，然后停止煅燒進(jìn)行鍛然后停止煅燒進(jìn)行鍛造操作造操作，在在8

15、 min時時，材料溫度降為材料溫度降為600 .煅燒時溫度煅燒時溫度y()與時與時間間x(min)成一次函數(shù)關(guān)系；鍛造時成一次函數(shù)關(guān)系；鍛造時，溫度溫度y()與時間與時間x(min)成成反比例函數(shù)關(guān)系反比例函數(shù)關(guān)系(如圖如圖)已知該材料初始溫度是已知該材料初始溫度是32 .(1)分別求出材料煅燒和鍛造時分別求出材料煅燒和鍛造時y與與x的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式，并且寫出并且寫出自變量自變量x的取值范圍；的取值范圍；(2)根據(jù)工藝要求根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料溫度低于當(dāng)材料溫度低于480 時時，須停止操作須停止操作，那么鍛造的操作時間有多長？那么鍛造的操作時間有多長？ 解：(1)停止加熱時，設(shè) ykx(

16、k0)，由題意得 600k8，解得 k4800，當(dāng) y800 時，4800 x800，解得 x6，點(diǎn) B的坐標(biāo)為(6， 800)， 材料加熱時， 設(shè) yax32(a0)，由題意得 8006a32，解得 a128，材料加熱時， y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y128x32(0 x6)停止加熱進(jìn)行操作時 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y4800 x(x6)(2)把 y480 代入 y4800 x，得 x10，1064(分)， 故鍛造的操作時間有 4 分鐘 反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合【例例4】(2014德州德州)如圖如圖，雙曲線雙曲線y(x0)經(jīng)過經(jīng)過OAB的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A和和O

17、B的中點(diǎn)的中點(diǎn)C，ABx軸軸，點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)(1)確定確定k的值；的值；(2)若點(diǎn)若點(diǎn)D(3，m)在雙曲線上在雙曲線上，求直線求直線AD的解析式；的解析式；(3)計(jì)算計(jì)算OAB的面積的面積 解：(1)將點(diǎn) A(2，3)代入解析式 ykx，得 k6(2)將 D(3，m)代入反比例解析式 y6x，得 m632，點(diǎn) D 坐標(biāo)為(3，2)，設(shè)直線 AD 解析式為 ykxb（k0） ，將 A(2，3)與 D(3，2) 代入得2kb3，3kb2，解得 k1，b5，則直線 AD 解析式為 yx5 (3)過點(diǎn) C 作 CNy 軸，垂足為點(diǎn) N，延長 BA，交 y 軸于點(diǎn) M，ABx 軸，BM

18、y 軸，MBCN，OCNOBM，C 為 OB 的中點(diǎn)，即OCOB12，SOCNSOBM(12)2，A，C 都在雙曲線 y6x上，SOCNSAOM3，由33SAOB14，得到 SAOB9，則AOB 面積為 9 4 (1)(2014深圳)如圖， 雙曲線 ykx經(jīng)過 RtBOC斜邊上的點(diǎn) A， 且滿足AOAB23， 與 BC 交于點(diǎn) D， SBOD21，求 k_ 4 (1)(2014深圳)如圖， 雙曲線 ykx經(jīng)過 RtBOC斜邊上的點(diǎn) A， 且滿足AOAB23， 與 BC 交于點(diǎn) D， SBOD21，求 k_8_解析：過 A 作 AEx 軸于點(diǎn) E.SOAESOCD，S四邊形AECBSBOD21，

19、AEBC，OAEOBC，SOAESOBCSOAESOAES四邊形AECB(AOOB)2425，SOAE4，則 k8 (2)(2014玉林)如圖，OABC 是平行四邊形，對角線 OB在 y 軸正半軸上， 位于第一象限的點(diǎn) A 和第二象限的點(diǎn) C 分別在雙曲線 yk1x和 yk2x的一支上，分別過點(diǎn) A， C 作 x 軸的垂線，垂足分別為點(diǎn) M 和 N，則有以下的結(jié)論：AMCN|k1|k2|；陰影部分面積是12(k1k2)；當(dāng)AOC90時，|k1|k2|；若 OABC 是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于 x 軸對稱，也關(guān)于 y軸對稱其中正確的是_(把所有正確的結(jié)論的序號都填上) (2)(2014玉林)如圖，

20、OABC 是平行四邊形，對角線 OB在 y 軸正半軸上， 位于第一象限的點(diǎn) A 和第二象限的點(diǎn) C 分別在雙曲線 yk1x和 yk2x的一支上，分別過點(diǎn) A， C 作 x 軸的垂線，垂足分別為點(diǎn) M 和 N，則有以下的結(jié)論：AMCN|k1|k2|；陰影部分面積是12(k1k2)；當(dāng)AOC90時，|k1|k2|；若 OABC 是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于 x 軸對稱，也關(guān)于 y軸對稱其中正確的是_(把所有正確的結(jié)論的序號都填上) 解析：作 AEy 軸于點(diǎn) E， CFy 軸于點(diǎn) F， 如圖， 四邊形 OABC 是平行四邊形，SAOBSCOB，AECF，OMON，SAOM12|k1|12OMAM，SCON12