化歸與轉(zhuǎn)化思想在解題中的重要性

1、 .化歸與轉(zhuǎn)化思想在解中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題時的重要性大理一中 雷蕾摘 要：“數(shù)學(xué)是使人變聰明的一門學(xué)科”.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,是數(shù)學(xué)精神和科學(xué)世界觀的重要組成部分,而化歸與轉(zhuǎn)化思想又是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓,真正的數(shù)學(xué)高手過招,比拼的往往就是數(shù)學(xué)思想.本文根據(jù)前人的研究成果,首先概述了化歸與轉(zhuǎn)化思想的含義、聯(lián)系、區(qū)別,使用化歸與轉(zhuǎn)化思想所遵循的原則、及化歸與轉(zhuǎn)化的幾種常見形式；然后結(jié)合自己的實(shí)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探討怎樣實(shí)施化歸與轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中的滲透,最后通過例題分析淺談自身學(xué)習(xí)化歸與轉(zhuǎn)化思想的經(jīng)驗(yàn).關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；化歸與轉(zhuǎn)化；化歸與轉(zhuǎn)化思想；化歸思想 ；轉(zhuǎn)化思想1引言數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽

2、象和概括,它蘊(yùn)涵于知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程,是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是在研究和解決數(shù)學(xué)問題的過程中所采用的手段、途徑和方式.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是密不可分的.化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是最基本、最常用的兩大數(shù)學(xué)思想方法之一. 系，據(jù)前人的研究成果，首先概述了什么是1.1化歸與轉(zhuǎn)化的含義轉(zhuǎn)化思想是指在研究和解決數(shù)學(xué)學(xué)問題時由一種教學(xué)對象轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對象時所采用的數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)思想.轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化.化歸是“轉(zhuǎn)化歸結(jié)”的簡稱,是轉(zhuǎn)化的一種.簡單的化歸思想就是把那些陌生的或不易解決的問題轉(zhuǎn)化成熟悉、易解決的問題的思想,即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題,通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程,遵循

3、簡單化、熟悉化、具體化、和諧化的原則選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化,歸結(jié)到某個或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題是上去,最終解決原問題的解決問題的思想,稱為化歸思想. 兩者基本上是同一個東西,只是側(cè)重點(diǎn)有一些細(xì)微的差異而已.化歸是把未解決問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)到已經(jīng)解決的問題上去,而轉(zhuǎn)化一般是把較難解決的問題轉(zhuǎn)化為相對比較容易解決的問題上去.化歸是找到我們研究的問題是屬于哪一類型,屬于哪一個知識范圍.轉(zhuǎn)化是我們找到解題的思路之后所進(jìn)行的有目的的一項(xiàng)工作.化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本且典型的數(shù)學(xué)思想.解題的過程實(shí)際上就是化歸與轉(zhuǎn)化的過程.幾乎所有問題的解決都離不開化歸與轉(zhuǎn)化,我認(rèn)為運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想

4、,有這樣的三個問題必須明確：(1) 化歸的對象：解題中需要變更的部分；(2) 化歸的目標(biāo)：把化歸的對象化為熟知的問題,規(guī)范性的問題；(3) 化歸的途徑1：從未知到熟知,從多元到少元,從空間到平面,從高維道低維,從復(fù)雜到簡單.數(shù)學(xué)的解題過程,就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程.它不僅需要有敏銳的洞察力和觀察力,更需要有豐富的知識儲備.1.2化歸與轉(zhuǎn)化在解題時應(yīng)遵循的原則(1)熟悉化原則 將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,以便于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決待解決的問題2；(2)簡單化原則 將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題,通過對簡單問題的解決,達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和

5、依據(jù)；(3)和諧化原則 通過化歸問題的條件或結(jié)論,使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式,或者轉(zhuǎn)化命題,使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律.和諧統(tǒng)一性原則是化歸與轉(zhuǎn)化思想的一項(xiàng)重要原則；(4)回歸原則 無論怎么化歸與轉(zhuǎn)化,無論轉(zhuǎn)化為什么新的問題,都是手段,不是目的.最終的目的是解決原始問題.因而,最后都要回歸到原始問題上來；(5)具體化原則 化歸的方向一般應(yīng)由抽象到具體,即分析問題和解決問題時,應(yīng)著力將問題向較具體的問題轉(zhuǎn)化,以使其中的數(shù)量關(guān)系更易把握,如盡可能將抽象的式用具體的形來表示；將抽象的語言描述用具體的式或形表示,以使問題中的各種概念以及概念之間的相互關(guān)

6、系具體明確；(6)標(biāo)準(zhǔn)形式化原則 將待解問題在形式上向該類問題的標(biāo)準(zhǔn)形式化歸,標(biāo)準(zhǔn)形式是指已經(jīng)建立起來的數(shù)學(xué)模式；(7)低層次原則 解決數(shù)學(xué)問題時,應(yīng)盡量將高維空間的待解問題化歸成低維空間的問題,高次數(shù)的問題化歸成低次數(shù)的問題,多元問題化歸為少元問題解決,這是因?yàn)榈蛯哟螁栴}比高層次問題更直觀,更簡單.1.3化歸與轉(zhuǎn)化的幾種常見策略1.3.1陌生向熟悉的轉(zhuǎn)化3例1 函數(shù)的最大值是( ). A、 B、 C、 D、 分析 該題學(xué)生比較陌生,我們應(yīng)該“化生為熟”.首先討論分母的取值范圍.有, 所以的最大值是,故應(yīng)選（）.1.3.2數(shù)形結(jié)合 把函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)形式中的量與量的關(guān)系,同幾何圖形的位

7、置關(guān)系相結(jié)合,以形論數(shù)以數(shù)論形.著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾在一首詩中寫道：數(shù)形結(jié)合百般好,兩家分離萬事休.這一句話道出了數(shù)形結(jié)合的重要性.例2 如果實(shí)數(shù)滿足,那么的最大值是( ).A.B.C.D.分析 由于方程表示的曲線以為圓心,以為半徑的圓(如圖1所示),滿足方程的是圓上的點(diǎn)；而是坐標(biāo)原點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線的斜率,所以題目可轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線的斜率的最大值.結(jié)合圖像,易知直線與圓相切的時候,直線的斜率就是所求斜率的最大值. 圖1解 ,即所求的最大值是,故選D. 1.3.3特殊和一般之間的轉(zhuǎn)化 例3 求證（一般到特殊）分析 本題直接證明顯然不易,若將其看作特殊形式,觀察可知,一般性的結(jié)論為：

8、,這個結(jié)論一旦證明了,原題自然獲解.證明 先證一般性的結(jié)論：當(dāng)時,有： 即 成立.所以,當(dāng)時,有.1.3.4正難則反易原則（反證法） 當(dāng)問題正面討論遇到困難時,可考慮問題的反面,設(shè)法從問題的反面去探求,使問題獲解3； 例4 設(shè)三個方程, ,中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.分析 題設(shè)中給了三個方程,并且其中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根,要求的取值范圍,可以根據(jù)題意將滿足條件的情況分別討論,以求出相應(yīng)的的取值范圍,最后加以歸納、總結(jié).但是,通過進(jìn)一步分析,我們卻發(fā)現(xiàn)“三個方程中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根”具體應(yīng)分為七種情況加以討論,其中步驟的煩瑣可想而知,因此可否換一個角度來思考呢？如從“三個方程中

9、至少有一個方程有實(shí)數(shù)根”的反面考慮,即“三個方程都沒有實(shí)數(shù)根”時求出的取值范圍,然后再從實(shí)數(shù)中排除它,就是所要求的取值范圍.解 (1)當(dāng)時,方程化為一次方程,它有一個實(shí)數(shù)根,故符合題意.(2)當(dāng)時,若三個方程都沒有實(shí)數(shù)根,則有： 解得.從的實(shí)數(shù)中除去,即得,且.綜上所述,得.1.3.5空間向平面的轉(zhuǎn)化4 在數(shù)學(xué)解題中,對立體幾何問題常常需要化歸到熟知的平面幾何問題,化歸的手段主要有平移、旋轉(zhuǎn)、展開、射影和截面等.例5 設(shè)長方體的三條棱,分別是的中點(diǎn).求和的重心間的距離. 圖2(a) 圖2(b)分析 這是一個空間距離問題,直接求解可能有一些困難,我們試圖把空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離.解 設(shè)長方體的對

10、角面分別與平面,交于,則分別是和的中線,如圖2(a).設(shè),的重心分別為.于是空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題.如圖2(b),只要求出矩形中, 的距離即可.設(shè)在上的射影是,則,.因?yàn)?.于是,所以.1.3.6高次與低次的轉(zhuǎn)化（因式分解） 在解高次方程時,一般都是設(shè)法將未知數(shù)的次數(shù)降低,以達(dá)到便于求解的目的.例6 解方程.分析 這是一個高次方程,直接展開求解是相當(dāng)復(fù)雜的,若采取換元法,則可把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程.解 因?yàn)?則原方程可化為：設(shè),則原方程轉(zhuǎn)化為,求出代入所設(shè)即可求出.1.3.7命題的等價轉(zhuǎn)化例7 已知f(x)為定義在實(shí)數(shù)R上的奇函數(shù),且f(x)在0,+)上是增函數(shù).當(dāng)時,是否存在這樣的實(shí)數(shù)

11、m,使對所有的均成立？若存在,求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m；若不存在,請說明理由.分析 由奇偶性及單調(diào)性f(x)單調(diào)性關(guān)于的不等式一元二次不等式恒成立函數(shù)最值m的范圍.解 由f(x)是R上的奇函數(shù)可得f(0)=0.又在0,+)上是增函數(shù),故f(x)在R上為增函數(shù).由題設(shè)條件可得. 又由f(x)為奇函數(shù),可得.f(x)在R上為增函數(shù),即. 令,.于是問題轉(zhuǎn)化為:對一切0t1,不等式t2-mt+2m-20恒成立.又,. 存在實(shí)數(shù)m滿足題設(shè)的條件.1.3.8函數(shù)與方程例8 （1997年理科24題）設(shè)二次函數(shù)十十（0）,方程=0的兩個根滿足0.(1)當(dāng)時,證明：；(2)設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,證明.分析

12、 本例要分清函數(shù)與方程是兩個不同的條件,是函數(shù)的對稱軸,則是方程的根,它們之間的聯(lián)系通過,b,c隱蔽地給出,因而充分利用二次函數(shù)的性質(zhì),引進(jìn)輔助函數(shù),凸現(xiàn)已知條件的聯(lián)系,是解題的關(guān)鍵.證明 (1)令,因?yàn)?是方程的根,所以不妨設(shè).當(dāng)時,由于, . 又, ,即,而：又 , , 得. 即； (2)由題意知 =. ,是方程的根,即 ,是方程的根.則：,. , .1.3.9多元向一元的轉(zhuǎn)化（消元法）例9 已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,的倒數(shù)也成等差數(shù)列,問之間有什么關(guān)系？分析 題目中有個元素,而解題目標(biāo)是探討之間有什么關(guān)系,因此對求解目標(biāo)是多余的,需要從多元向少元化歸,即在解題時,設(shè)法把消去.解 由題設(shè)

13、為消去,從方程組中解出和,代入得.因?yàn)?則,整理得.因此成等比數(shù)列.1.3.10語言的轉(zhuǎn)化 例10 對任意函數(shù), ,可按右圖構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù),經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出；若,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若,則將反饋回輸入端,再輸出,并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義 ,(1)若輸入,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列,請寫出的所有項(xiàng)；(2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列,試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值；(3)若輸入時,產(chǎn)生的無窮數(shù)列,滿足對任意正整數(shù)n均 圖3有；求的取值范圍. 分析 本題主要考查學(xué)生的閱讀審題,綜合理解及邏輯推理的能力.解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,函數(shù)求值的簡單運(yùn)

14、算、方程思想的應(yīng)用,解不等式及化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.解 (1)的定義域?yàn)?數(shù)列只有三項(xiàng), .(2),即.或.即或2時,有.故當(dāng)時,；當(dāng)時,.(3)解不等式,得或.要使,則或 .對于函數(shù),若,；若時,且.依次類推可得數(shù)列的所有項(xiàng)均滿足：.綜上所述,由,得.1.3.11合與分的轉(zhuǎn)化（分論討論）例11 已知集合 若,則的值為（ ）.分析 該題結(jié)合集合的運(yùn)算考查了分類討論思想,分類的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合集合的性質(zhì)：無序性、互異性、確定性.解 ,.若, 則a=0,此時,則：,故不符合集合元素的互異性.若,則,此時,.若,此方程無實(shí)數(shù)解.1.3.12復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的轉(zhuǎn)化例12 已知復(fù)數(shù),解方程.分析 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,利

15、用復(fù)數(shù)相等的充要條件,建立實(shí)數(shù)方程,化虛為實(shí),解方程組,可以求出復(fù)數(shù).解 設(shè),則方程可化為.由復(fù)數(shù)相等,有,解得.z=i .1.3.13常量與變量的轉(zhuǎn)化 例13 已知,.對于值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù),不等式恒成立,的取值范圍是_.分析 根據(jù)已知條件,建立以參數(shù)為主元的不等式是一個轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,通過轉(zhuǎn)化就可利用一次函數(shù)的單調(diào)性通過數(shù)形結(jié)合解決問題,體現(xiàn)了函數(shù)與不等式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.解 ,原題轉(zhuǎn)化為：恒成立,為的一次函數(shù).當(dāng)時,不等式不成立.令,問題轉(zhuǎn)化為：在上恒大于0,則,解得或.1.3.14 等與不等的轉(zhuǎn)化 相等與不等是數(shù)學(xué)解題中矛盾的兩方面,但是它們在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化,例如有些題目,表面看

16、來似乎只具有相等的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)這些相等關(guān)系又難以解決問題,但若能挖掘其中的不等關(guān)系,建立不等式（組）去轉(zhuǎn)化,往往能獲得簡捷求解的效果.例14 已知都是實(shí)數(shù),且,求證：.分析 利用均值不等式先得到一個不等關(guān)系,再結(jié)合已知中的相等關(guān)系尋求與之間的關(guān)系.利用等與不等之間的辯證關(guān)系,相互轉(zhuǎn)化,往往可以使問題得到有效解決.解 , . 又,且,即.1.3.15 整體與局部的轉(zhuǎn)化例15 函數(shù)滿足對任意,都有,且當(dāng)0,求證.分析 觀察對應(yīng)法則的結(jié)構(gòu)特征,局部對通項(xiàng)變形.整體把握不等式左端數(shù)列和“裂項(xiàng)相消法求和”化簡,創(chuàng)造使用題設(shè)完成證明.解 賦值易知f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)0時,都有0.由于且,故有：.所以局

17、部處理通項(xiàng)逆用對應(yīng)法則有,整體處理不等式左端數(shù)列和有： . 由題設(shè), 恒有,則.故所證不等式成立.2運(yùn)用化歸思想的經(jīng)驗(yàn)(1)熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是化歸與轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的總結(jié)和提煉,要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系.“抓基礎(chǔ),重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙5.(2)有目的的實(shí)施有效的化歸與轉(zhuǎn)化思想,既可以變更問題的條件,也可以變更問題的結(jié)論,既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu),又可以變換問題的外部形式,既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識問題,又可

18、以從幾何的角度去解決問題.(3)注意緊盯化歸與轉(zhuǎn)化目標(biāo),保證化歸與轉(zhuǎn)化的有效性、規(guī)范性.化歸與轉(zhuǎn)化作為一種思想方法,應(yīng)包括化歸與轉(zhuǎn)化的對象、目標(biāo)、途徑三個要素.因此,化歸思想方法的實(shí)施應(yīng)有明確的對象、設(shè)計好目標(biāo)、選擇好方法,而設(shè)計目標(biāo)是問題的關(guān)鍵.在解題過程中,必須始終緊緊盯住化歸的目標(biāo),即應(yīng)該始終考慮這樣的問題：怎樣才能達(dá)到解原問題的目的.在這個大前提下實(shí)施的化歸才是卓有成效的,盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同.(4)轉(zhuǎn)化的等價性,確保邏輯上的正確.轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化,等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實(shí)質(zhì)是一樣的,不等價轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實(shí)質(zhì),需對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正.高中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化大多要求等價轉(zhuǎn)化,等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原題的結(jié)果.如果在解題過程中沒有注意轉(zhuǎn)化的等價性,就會犯不合實(shí)際或偷換論題、偷換概念、以偏概全等錯誤. 數(shù)學(xué)思想方