201x屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十四篇不等式選講第1節(jié)絕對值不等式理 (2)

1、第十四篇不等式選講第十四篇不等式選講( (選修選修45)45)第第1 1節(jié)絕對值不等式節(jié)絕對值不等式知識鏈條完善知識鏈條完善考點(diǎn)專項(xiàng)突破考點(diǎn)專項(xiàng)突破經(jīng)典考題研析經(jīng)典考題研析知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來知識梳理知識梳理 1.1.絕對值不等式絕對值不等式(1)(1)定理定理如果如果a,ba,b是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,那么那么|a+b|a+b| , ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí), ,等號成立等號成立. .(2)(2)如果如果a,b,ca,b,c是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,那么那么|a-c|a-b|+|b-c|.|a-c|a-b|+|b-c|.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)時(shí), ,等號成立等號成立

2、. .(3)(3)由絕對值不等式定理還可以推得以下幾個不等式由絕對值不等式定理還可以推得以下幾個不等式|a|a1 1+a+a2 2+a+an n|a|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|an n|.|.|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a-b|a|+|b|.|a|-|b|a-b|a|+|b|.|a|+|b|a|+|b|ab0ab0(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)02.2.絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法(1)(1)形如形如|ax+b|cx+d|ax+b|cx+d|的不等式的不等式, ,可以利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次可以

3、利用兩邊平方的形式轉(zhuǎn)化為二次不等式求解不等式求解. .-axa-axaxa或或x-ax0)|ax+b|c(c0)和和|ax+b|c(c0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法|ax+b|c|ax+b|c (c0),(c0),|ax+b|c|ax+b|c (c0).(c0).-cax+bc-cax+bcax+bcax+bc或或ax+b-cax+b-c3.|x-a|+|x-b|c(c0)3.|x-a|+|x-b|c(c0)和和|x-a|+|x-b|c(c0)|x-a|+|x-b|c(c0)不等式的解法不等式的解法(1)(1)零點(diǎn)分段討論法零點(diǎn)分段討論法: :利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程

4、的根利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根, ,將數(shù)軸分為將數(shù)軸分為(-,a,(a,b,(b,+)(-,a,(a,b,(b,+)(此處設(shè)此處設(shè)ab)ac(c0)|x-a|+|x-b|c(c0)的幾何意義的幾何意義: :數(shù)軸上到點(diǎn)數(shù)軸上到點(diǎn)x x1 1=a=a和和x x2 2=b=b的距離之和大于的距離之和大于c c的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合. .(3)(3)圖象法圖象法: :作出函數(shù)作出函數(shù)y y1 1=|x-a|+|x-b|=|x-a|+|x-b|和和y y2 2=c=c的圖象的圖象, ,結(jié)合圖象求解結(jié)合圖象求解. .夯基自測夯基自測1.|2x-1|31.|2x-1|3的解集為的解集為( ( ) )(A)

5、(-,-2)(1,+)(A)(-,-2)(1,+) (B)(-,-1)(2,+)(B)(-,-1)(2,+)(C)(-2,1) (C)(-2,1) (D)(-1,2)(D)(-1,2)解析解析: :由由|2x-1|3|2x-1|3得得2x-1-32x-13,2x-13,解得解得x-1x2.x2.B B2.2.不等式不等式1|x+1|31|x+1|3的解集為的解集為( ( ) )(A)(0,2)(A)(0,2)(B)(-2,0)(2,4)(B)(-2,0)(2,4)(C)(-4,0)(C)(-4,0)(D)(-4,-2)(0,2)(D)(-4,-2)(0,2)解析解析: :原不等式等價(jià)于原不等式

6、等價(jià)于1x+131x+13或或-3x+1-1,-3x+1-1,解之得解之得0 x20 x2或或-4x-2.-4xa|x-4|+|x+5|a對于對于xxR R均成立均成立, ,則則a a的取值范圍為的取值范圍為.解析解析: :因?yàn)橐驗(yàn)閨x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|4-x+x+5|=9,|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|4-x+x+5|=9,所以當(dāng)所以當(dāng)a9a0)|ax+b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法【例【例1 1】 解下列不等式解下列不等式. .(1)|2x-3|5;(1)|2x-3|5;(2)|5-4x|9.(2)|5-4x|9.解解: :(1)(1)因

7、為因?yàn)閨2x-3|5,|2x-3|5,所以所以-52x-35,-52x-35,所以所以-22x8,-22x8,所以所以-1x4,-1x4,所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為x|-1x4.x|-1x4.反思?xì)w納反思?xì)w納 |ax+b|c,|ax+b|c |ax+b|c,|ax+b|c型不等式的解法型不等式的解法(1)c0,(1)c0,則則|ax+b|c|ax+b|c可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為-cax+bc;|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|c可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為ax+bcax+bc或或ax+b-c,ax+b-c,然后根據(jù)然后根據(jù)a,ba,b的取值求解即可的取值求解即可. .(2)c0,(2)c0,

8、則則|ax+b|c,|ax+b|c,根據(jù)幾何意義可得解集為根據(jù)幾何意義可得解集為;|ax+b|c;|ax+b|c的解集為的解集為R R. .(3)c=0,(3)c=0,則則|ax+b|c|ax+b|c可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為ax+b=0,ax+b=0,然后根據(jù)然后根據(jù)a,ba,b的取值求解即的取值求解即可可;|ax+b|c;|ax+b|c的解集為的解集為R R. .【即時(shí)訓(xùn)練】【即時(shí)訓(xùn)練】解析解析: :(1)(1)原不等式等價(jià)于原不等式等價(jià)于-2x-2x2 2-22,-22,即即0 x0 x2 24.4.所以所以-2x2-2x2且且x0.x0.故不等式的解集為故不等式的解集為(-2,0)(0,2).(

9、-2,0)(0,2).故選故選D.D.(2)(2)由于由于|x-2|-1|1,|x-2|-1|1,即即-1|x-2|-11,-1|x-2|-11,即即|x-2|2,|x-2|2,所以所以-2x-22,-2x-22,所以所以0 x4.0 x4.答案答案: :(1)D(1)D(2)0,4(2)0,4 (1) (1)不等式不等式|x2-2|2|x2-2|0)|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法【例【例2 2】 解不等式解不等式|x-5|+|x+3|10.|x-5|+|x+3|10.解解: :令令|x-5|=0,|x+3|=0,|x-5|=0,|x+3|=0,解得解得x=5,x

10、=-3.x=5,x=-3.(1)(1)當(dāng)當(dāng)x-3x5x5時(shí)時(shí), ,不等式可化為不等式可化為(x-5)+(x+3)10,(x-5)+(x+3)10,即即2x-210.2x-210.解得解得x6.x6.綜上綜上, ,不等式的解集為不等式的解集為(-,-46,+).(-,-46,+).反思?xì)w納反思?xì)w納 解含兩個或多個絕對值符號的不等式利用零點(diǎn)分段討解含兩個或多個絕對值符號的不等式利用零點(diǎn)分段討論法求解時(shí)論法求解時(shí), ,要注意以下三個方面要注意以下三個方面: :一是準(zhǔn)確去掉絕對值符號一是準(zhǔn)確去掉絕對值符號; ;二是求二是求得不等式的解后得不等式的解后, ,要檢驗(yàn)該解是否滿足要檢驗(yàn)該解是否滿足x x的取

11、值范圍的取值范圍; ;三是將各區(qū)間上三是將各區(qū)間上的解集求并集的解集求并集. .【即時(shí)訓(xùn)練】【即時(shí)訓(xùn)練】 解不等式解不等式|2x+1|+|x-1|2.|2x+1|+|x-1|2.已知不等式的解集求參數(shù)已知不等式的解集求參數(shù)考點(diǎn)三考點(diǎn)三 答案答案: :(1)(-,0)2(1)(-,0)2(2)(2)若關(guān)于實(shí)數(shù)若關(guān)于實(shí)數(shù)x x的不等式的不等式|x-5|+|x+3|a|x-5|+|x+3|a無解無解, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是. .答案答案: :(2)(-,8(2)(-,8反思?xì)w納反思?xì)w納 (1) (1)解含參數(shù)的絕對值不等式問題的兩種方法解含參數(shù)的絕對值不等式問題的兩種方法將參

12、數(shù)分類討論將參數(shù)分類討論, ,將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決. .借助于絕對值的幾何意義借助于絕對值的幾何意義, ,先求出相應(yīng)式的最值或值域先求出相應(yīng)式的最值或值域, ,然后再根然后再根據(jù)題目要求據(jù)題目要求, ,求解參數(shù)的取值范圍求解參數(shù)的取值范圍. .更換主元法更換主元法: :不少含參不等式恒成立問題不少含參不等式恒成立問題, ,若直接從主元入手非常困難或不可能解若直接從主元入手非常困難或不可能解決時(shí)決時(shí), ,可轉(zhuǎn)換思維角度可轉(zhuǎn)換思維角度, ,將主元與參數(shù)互換將主元與參數(shù)互換, ,?？傻玫胶喗莸慕夥ǔ？傻玫胶喗莸慕夥? .【即時(shí)訓(xùn)練】【即時(shí)訓(xùn)練】 (1)(1)不等式不等式|x+

13、3|-|x-1|a|x+3|-|x-1|a2 2-3a-3a對任意實(shí)數(shù)對任意實(shí)數(shù)x x恒成立恒成立, ,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a a的取的取值范圍是值范圍是.(2)(2)如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)x x使不等式使不等式|x+1|-|x-2|k|x+1|-|x-2|0;f(x)0;(2)(2)若若f(x)+3|x-4|mf(x)+3|x-4|m對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)x x均成立均成立, ,求求m m的取值范圍的取值范圍. .【例【例2 2】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|.f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)(1)求不等式求不等式f(x)6f(x)6的解集的解集; ;(2)(2)若關(guān)于若關(guān)于x x的不等式的不等式f(x)|a-1|f(x)4,|a-1|4,所以所以a-3a5.a5.即即a a的取值范圍為的取值范圍為(-,-3)(5,+).(-,-3)(5,+).【例【例3 3】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=|x+a|.f(x)=|x+a|.(1)(1)當(dāng)當(dāng)a=-1a=-1時(shí)時(shí), ,求不等式求不等式f(x)|x+1|+1f(x)|x+1|+1的解集的解集; ;(2)(2)若不等式若不等式f(x)+f(-x)2f(x)+f(-x)2|a|,22|a|