高等數(shù)學第七章第六節(jié)

1、第六節(jié)第六節(jié)一、旋轉(zhuǎn)曲面一、旋轉(zhuǎn)曲面二、二次曲面二、二次曲面旋轉(zhuǎn)曲面和二次曲面研究空間曲面有研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程一、旋轉(zhuǎn)曲面一、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面曲線繞其以一條平面曲線繞其平面上平面上的一條的一條直線直線旋旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸xozy0),( z

2、yf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz 22yxd旋轉(zhuǎn)過程中的特征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd0),(11zyf|1y將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyfxozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 或或tana2222ayxz例例2. 求坐標面求坐標面 x

3、oz 上的雙曲線上的雙曲線12222czax分別繞分別繞 x軸和軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面. .所成曲面方程為所成曲面方程為所成曲面方程為所成曲面方程為xy繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面. .z單葉單葉雙葉雙葉二、二次曲面二、二次曲面高中高中二元一次方程二元一次方程直線直線二元二次方程二元二

4、次方程二次曲線二次曲線橢圓，圓橢圓，圓雙曲線雙曲線拋物線拋物線高數(shù)高數(shù)三元一次方程三元一次方程平面平面三元二次方程三元二次方程二次曲面：二次曲面： 9種種三元二次方程三元二次方程 其基本類型有其基本類型有: 的圖形通常為的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyDxyCzByAxz2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為二次項系數(shù)不全為 0 )二、二次曲面二、二次曲面適當選取直角坐標系可得它們的標準方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法，伸縮變形

5、法伸縮變形法 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面橢球面、拋物面、雙曲面、錐面、柱面柱面1. 橢圓錐面橢圓錐面 ),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓橢圓zxyo1)()(2222t byt ax0t xyz0t 000 ，點橢圓長短軸比例不變，橢圓長短軸比例不變，當當|t|從大到小變化，橢圓從大到小縮為一點從大到小變化，橢圓從大到小縮為一點截痕法截痕法伸縮變形法伸縮變形法對對xoy平面上的圖形，如果把平面上的圖形，如果把y軸方向的長度伸縮軸方向的長度伸縮b/a倍，那么倍，那么 xyxyab1222ayx1b2222yaxybay 在空間，把在空間，把y軸方向的長度伸縮軸方向的

6、長度伸縮b/a倍，那么圓錐面倍，那么圓錐面2222zayx22222zbyax橢圓錐面橢圓錐面zyx2 2. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax范圍：范圍：czbyax,12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)z1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面把旋轉(zhuǎn)橢球面沿把旋轉(zhuǎn)橢球面沿y y軸方向伸縮軸方向伸縮b/ab/a倍，得橢球面。倍，得橢球面。,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可寫為方程可寫為由此看出，球面是特殊的旋轉(zhuǎn)橢球面，旋轉(zhuǎn)橢球面是由此看出，球面是特殊的旋轉(zhuǎn)橢球面，旋轉(zhuǎn)橢球面是特殊的橢球面特殊的橢球面.2

7、222azyx acz方向伸縮1222222 czayaxy y方向伸縮方向伸縮b/ab/a倍倍1222222czbyax2. 雙曲面雙曲面(3)(3)單葉雙曲面單葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1-2222czax由雙曲線由雙曲線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)1222222czayax旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面沿沿y y軸方向伸縮軸方向伸縮b/ab/a倍，得倍，得單葉雙曲面單葉雙曲面。2. 雙曲面雙曲面(4)(4)雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1-2222czax由雙曲線由雙曲線 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222czyax旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲

8、面沿沿y y軸方向伸縮軸方向伸縮b/cb/c倍，得倍，得雙葉雙曲面雙葉雙曲面。xy3. 拋物面拋物面zyx2222ba(5) 橢圓拋物面橢圓拋物面zyxz22ax由拋物線由拋物線 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)z222ayx旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面沿沿y y軸方向伸縮軸方向伸縮b/ab/a倍，得倍，得橢圓拋物面橢圓拋物面。zyx2222b-a用截痕法討論：用截痕法討論：(6) 雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）上的截痕為在平面txzyttxl2222ba:負方向的拋物線軸上開口朝平面zxt22, 0 ,att頂點坐標2222ab-tyz位置平移變化時，截痕形狀不變當t頂點軌跡為22a0y:xzL拋物線以

9、以l為母線，為母線，L為準線，為準線，母線母線l的頂點在準線的頂點在準線L上上滑動，且母線平行移滑動，且母線平行移動，這樣得到的曲面動，這樣得到的曲面便是便是雙曲拋物面雙曲拋物面.zyttxl2222ba:22a0y:xzL（馬鞍面）（馬鞍面）引例引例. . 分析方程分析方程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面 .222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圓表示圓C, 222Ryx過此點作過此點作oC在圓在圓C上任取一點上任取一點 , )0 ,(1yxMlM1M三、柱面三、柱面的坐標也滿足方程的坐標也滿足方程222Ryx對任意對任意 z ,平行平行 z 軸的直線軸的直線 l ,),(zyxM點

10、沿曲線沿曲線C平行于平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面軸的一切直線所形成的曲面稱為稱為圓柱面圓柱面故在空間故在空間222Ryx表示表示圓柱面圓柱面定義定義觀察柱面的形成過程觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 L 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 C 叫柱面叫柱面的的母線母線.l12222byax母線：母線：(7) 橢圓柱面橢圓柱面可看作：平行于可看作：平行于z軸的直線沿軸的直線沿XOY面上的橢圓平行移動面上的橢圓平行移動而形成的。而形成的。平行于平行于z軸軸準線

11、：準線： xoy上的橢圓上的橢圓xyzo1-2222byax母線：母線：(8) 雙曲柱面雙曲柱面可看作：平行于可看作：平行于z軸的直線沿軸的直線沿XOY面上的雙曲線平行移面上的雙曲線平行移動而形成的。動而形成的。平行于平行于z軸軸準線：準線： xoy上的雙曲線上的雙曲線ay2x母線：母線：(8) 拋物柱面拋物柱面可看作：平行于可看作：平行于z軸的直線沿軸的直線沿XOY面上的拋物線平行移面上的拋物線平行移動而形成的。動而形成的。平行于平行于z軸軸準線：準線： xoy上的拋物線上的拋物線xzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x 軸軸; ;平行于平

12、行于 y 軸軸;平行于平行于 z 軸軸; ;準線準線 xoz 面上的曲線面上的曲線 l3.母線母線柱面柱面, ,準線準線 xoy 面上的曲線面上的曲線 l1.母線母線準線準線 yoz 面上的曲線面上的曲線 l2. 母線母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞

13、其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義

14、定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫

15、旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為

16、旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿

17、定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所

18、形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫

19、柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.CL定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定